抽象代數/群論/迴圈群

• 由 g 生成的 迴圈群 是

• $\langle g\rangle =\lbrace g^{n}\;|\;n\in \mathbb {Z} \rbrace$

• 其中 $g^{n}={\begin{cases}\underbrace {g\ast g\cdots \ast g} _{n},&n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0\\\underbrace {g^{-1}\ast g^{-1}\cdots \ast g^{-1}} _{-n},&n\in \mathbb {Z} ,n<0\end{cases}}$

• 歸納法表明：$g^{m+n}=g^{m}\ast g^{n}{\text{ and }}g^{mn}=[g^{m}]^{n}$

定理

設 C_m 是階為 m 的迴圈群，由 g 生成，其中 $\ast$

設 $(\mathbb {Z} /m,+)$ 是模 m 的整數加法群

C_m 與 $(\mathbb {Z} /m,+)$ 同構

引理

設 n 是使得 gⁿ = e 的最小正整數

$g^{i}=g^{j}\leftrightarrow i=j~{\text{mod}}~n$

引理證明

設 i > j。設 i - j = sn + r，其中 0 ≤ r < n，s、r、n 都是整數。

1. $g^{i}=g^{j}\;$
2. $e=g^{i-j}=g^{sn+r}=[g^{n}]^{s}\ast g^{r}=[e]^{s}\ast g^{r}=g^{r}$	因為 i - j = sn + r，並且 gn = e
3. $g^{r}=e$
4. $r=0$	因為 n 是使得 gn = e 成立的最小正整數 並且 0 ≤ r < n
5. $i-j=sn$	0. 和 7.
6. $i=j~{\text{mod}}~n$

證明

0. 定義   ${\begin{aligned}f\colon C_{m}&\to \mathbb {Z} /m\\g^{i}&\mapsto i~{\text{mod}}~m\end{aligned}}$

引理表明 f 是定義良好的（對每個輸入只有一個輸出）。

f 是同態

$f(g^{i})+f(g^{j})=i+j~{\text{mod}}~m=f(g^{i+j})=f(g^{i}\ast g^{j})$

f 根據引理是單射的

f 是滿射的，因為 $\mathbb {Z} /m$ 和 $C_{m}$ 都有 m 個元素，並且 f 是單射的

迴圈群

在上一節關於子群的討論中，我們看到如果 $G$ 是一個群，並且 $g\in G$，那麼 $g$ 的冪的集合，$\langle g\rangle =\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ 構成了 $G$ 的一個子群，稱為由 $g$ 生成的迴圈子群。在本節中，我們將推廣這個概念，並在此過程中獲得一個結構豐富的重要的群族。

定義 1： 令 $G$ 是一個具有元素 $g\in G$ 的群，使得 $\langle g\rangle =G$。那麼 $G$ 被稱為迴圈群，而 $g$ 被稱為 $G$ 的生成元。或者，$g$ 被稱為生成 $G$。如果存在一個整數 $n$ 使得 $g^{n}=e$，而 $n$ 是最小的正整數，那麼 $G$ 被記作 $C_{n}$，階為 $n$ 的迴圈群。如果不存在這樣的整數，那麼 $G$ 被記作 $C_{\infty }$，無限迴圈群。

無限迴圈群也可以記作 $F_{\{g\}}$，自由群，只有一個生成元。這預示著後面章節的內容，現在可以暫時忽略。

定理 2： 任何迴圈群都是阿貝爾群。

證明: 令 $G$ 是一個迴圈群，其生成元為 $g$。則如果 $h,k\in G$，那麼 $h=g^{n}$ 以及 $k=g^{m}$，其中 $n,m\in \mathbb {Z}$。為了證明交換性，觀察到 $hk=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m+n}=g^{m}g^{n}=kh$，因此得證。 ∎

定理 3: 迴圈群的任何子群都是迴圈群。

Proof: Let $G$ be a cyclic group with generator $g$, and let $H\leq G$. Since $G=\langle g\rangle$, in particular every element of $H$ equals $g^{n}$ for some $n\in \mathbb {Z}$. We claim that if $a$ the lowest positive integer such that $g^{a}\in H$, then $H=\langle g^{a}\rangle$. To see this, let $g^{n}\in H$. Then $n=qa+r$ and $0\leq r<a$ for unique $q,r\in \mathbb {Z}$. Since $H$ is a subgroup and $g^{a}\in H$, we must have $g^{n}(g^{a})^{-q}=g^{qa+r}g^{-qa}=g^{r}\in H$. Now, assume that $r>0$. Then $g^{r}\in H$ contradicts our assumption that $a$ is the least positive integer such that $g^{a}\in H$. Therefore, $r=0$. Consequently, $g^{n}\in H$ only if $n=qa$, and $H=\langle g^{a}\rangle$ and is cyclic, as was to be shown. ∎

正如敏銳的讀者已經注意到，前面的證明中使用了數論中常見的帶餘除法的概念。我們對迴圈群的處理將與數論中的概念密切相關。這並非巧合，正如接下來的一些陳述所表明的那樣。事實上，本節的另一個標題可以是 "模運算和整數理想"。理想的概念可能對讀者來說還不熟悉，請耐心等待關於環的章節。

定理 4: 令 $\mathbb {Z} _{n}=\{0,1,2,...,n-1\}$，其中加法運算定義為模 $n$。也就是說 $a+b\equiv r\,\mathrm {mod} \,n$，其中 $a+b=qn+r$。我們用 $a+_{n}b=r$ 表示該運算。然後 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是一個迴圈群。

證明：我們首先需要證明 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是一個群，然後找到一個生成元。我們驗證群公理。結合律是從整數繼承而來的。元素 $0\in Z_{n}$ 是關於 $+_{n}$ 的單位元。元素 $a\in Z_{n}$ 的逆元是一個元素 $b$ 使得 $a+_{n}b=0$。因此 $b+a|n$。那麼，$b\equiv n-a\equiv -a\,\mathrm {mod} \,n$，因此 $b=n-a=-a$，並且 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是一個群。現在，由於 $a=a\cdot 1=\underbrace {1+...+1} _{a\,\mathrm {terms} }$，$1$ 生成 $\mathbb {Z} _{n}$，因此 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是迴圈群。 ∎

除非另有明確說明，$\mathbb {Z} _{n}$ 始終指的是迴圈群 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$。由於 $\mathbb {Z} _{n}$ 生成器的論證對於任何整數 $a$ 都成立，這表明 $\mathbb {Z}$ 也是迴圈群，其生成器為 $1$。

定理 5： 元素 $a\in \mathbb {Z} _{n}$ 是生成器當且僅當 $\gcd(a,n)=1$。

證明：我們需要數論中的以下定理：如果 $m,n$ 是整數，則存在整數 $r,s$ 使得 $rm+sn=1$，當且僅當 $\gcd(m,n)=1$。我們在這裡不做證明。可以在數論部分找到證明。

對於右邊的蘊含關係，假設$\langle a\rangle =\mathbb {Z} _{n}$。那麼對於所有$b\in \mathbb {Z} _{n}$，$b\equiv pa\,\mathrm {mod} \,n$ 對於某個整數$p$。特別地，存在一個整數$s$ 使得$sa\equiv 1\,\mathrm {mod} \,n$。這意味著存在另一個整數$r$ 使得$sa-rn=1$。根據數論中的上述定理，我們有$\gcd(a,n)=1$。對於左邊的蘊含關係，假設$\gcd(a,n)=1$。那麼存在整數$s,r$ 使得$sa-rn=1\,\Rightarrow \,sa\equiv 1\,\mathrm {mod} \,n$，這意味著$sa=1$ 在$\mathbb {Z} _{n}$ 中。由於$1$ 生成了$\mathbb {Z} _{n}$，因此$a$ 也是一個生成元，證明了該定理。∎

我們可以透過觀察迴圈群中元素的階來稍微推廣定理 5。

定理 6：設 $H=\langle g\rangle \leq \mathbb {Z} _{n}$。那麼，$|H|=|a|={\frac {n}{\gcd(a,n)}}$。

證明：回想一下，$a\in \mathbb {Z} _{n}$的階定義為最小的正整數 $r$，使得 $ra=0$ 在 $\mathbb {Z} _{n}$ 中成立。由於 $\langle g\rangle$ 是迴圈群，存在整數 $s$ 使得 $ra=sn$ 最小且為正數。這是最小公倍數的定義；$\mathrm {lcm} (a,n)=ra=|a|a$。回想一下數論中的結論 $\mathrm {lcm} (a,n)\cdot \gcd(a,n)=an$。因此，$|a|={\frac {\mathrm {lcm} (a,n)}{a}}={\frac {an}{a\cdot \gcd(a,n)}}={\frac {n}{\gcd(a,n)}}$，證畢。∎

定理 7：$\mathbb {Z}$ 的每個子群都有如下形式 $n\mathbb {Z} =\{na\mid a\in \mathbb {Z} \}$。

證明: 任何 $\mathbb {Z}$ 的子群是迴圈的，這是由定理 3 推出的。因此，令 $n$ 生成 $H\leq \mathbb {Z}$。然後我們可以立即看到 $H=n\mathbb {Z}$。 ∎

定理 8: 令 $a,b\in \mathbb {Z}$ 為固定值，令 $H=\{ra+sb|r,s\in \mathbb {Z} \}$。那麼 $H$ 是 $\mathbb {Z}$ 的一個子群，由 $\gcd(a,b)$ 生成。

證明：首先需要證明 $H$ 是一個子群。這是直接的，因為 $(ra+sb)-(r^{\prime }a+s^{\prime }b)=(r-r^{\prime })a+(s-s^{\prime })b\in H$。從定理 3 的證明中，我們看到 $\mathbb {Z}$ 的任何子群都是由其最小的正元素生成的。數論定理指出，最小的正整數 $d$ 使得 $d=ra+sb$ 對固定整數 $a,b$ 和 $r,s\in \mathbb {Z}$ 等於 $a$ 和 $b$ 的最大公約數，即 $\gcd(a,b)$。因此，$\gcd(a,b)$ 生成 $H$。 ∎

定理 9： 設 $n\mathbb {Z}$ 和 $m\mathbb {Z}$ 是 $\mathbb {Z}$ 的子群。那麼 $n\mathbb {Z} \cap m\mathbb {Z}$ 是由 $\mathrm {lcm} (n,m)$ 生成的子群。

證明：$n\mathbb {Z} \cap m\mathbb {Z}$ 是一個子群是顯而易見的，因為 $n\mathbb {Z}$ 和 $m\mathbb {Z}$ 都是子群。為了找到 $n\mathbb {Z} \cap m\mathbb {Z}$ 的生成元，我們必須找到它的最小正元素。也就是說，最小的正整數 $p$，使得 $p$ 既是 $n$ 的倍數，也是 $m$ 的倍數。這就是 $n$ 和 $m$ 的最小公倍數的定義，即 $\mathrm {lcm} (n,m)$，結論成立。 ∎

現在應該很清楚 $C_{n}$ 和 $\mathbb {Z} _{n}$，以及 $C_{\infty }$ 和 $\mathbb {Z}$ 是相同的群。這將在後面的章節中得到精確的解釋，但可以透過將 $C_{n}$ 或 $C_{\infty }$ 的任何生成元用 $1$ 來表示來直觀地理解。

在擁有更多工具後，我們將對迴圈群有更多討論。