抽象代數/群論/群作用於集合

群作用本身很有趣，它也是代數中一個有用的工具，它將使我們能夠證明西洛定理，反過來，它將給我們提供一個工具集來更詳細地描述某些群。

基礎

定義 1.8.1:

令 $X$ 為一個任意集合，令 $G$ 為一個群。一個函式

$f:G\times X\to X$

被稱為 $G$ 對 $X$ 的群作用，當且僅當 ($\iota$ 表示 $G$ 的單位元)

1. $\forall x\in X:f(\iota ,x)=x$ 並且
2. $\forall \sigma ,\tau \in G,x\in X:f(\sigma ,f(\tau ,x))=f(\sigma \tau ,x)$.

當一個特定的群作用在一個上下文中給出時，我們遵循普遍的慣例，簡單地寫成 $\sigma x$ 來表示 $f(\sigma ,x)$。在這個記號中，群作用的要求轉化為

1. $\forall x\in X:\iota x=x$ 並且
2. $\forall \sigma ,\tau \in G,x\in X:\sigma (\tau x)=(\sigma \tau )x$.

對於 $G$ 對 $X$ 的群作用和同態 $G\to S_{X}$ 之間存在一一對應關係。

定義 1.8.2:

設 $G$ 為一個群，$X$ 為一個集合。給定一個同態 $\varphi :G\to S_{X}$，我們可以定義一個對應的群作用：

$\sigma x:=\varphi (\sigma )(x)$.

如果我們給定一個群作用 $G\times X\to X$，那麼

$\varphi (\sigma ):=x\mapsto \sigma x$

是一個同態。這樣定義的同態 $G\to S_{X}$ 和群作用 $G\times X\to X$ 之間的對應關係是雙射的。

證明:

1.

實際上，如果 $\varphi :G\to S_{X}$ 是一個同態，那麼

$\iota x=\varphi (\iota )(x)={\text{Id}}(x)=x$ 並且

$\sigma (\tau x)=\varphi (\sigma )(\varphi (\tau )(x))=(\varphi (\sigma )\circ \varphi (\tau ))(x)=(\sigma \tau )(x)$.

2.

$\varphi (\sigma )$ 對所有 $\sigma \in G$ 都是雙射的，因為

$\varphi (\sigma )(x)=\varphi (\sigma )(y)\Leftrightarrow \sigma x=\sigma y\Leftrightarrow \sigma ^{-1}\sigma x=\sigma ^{-1}\sigma y$.

設 $\tau \in G$。 那麼

$\varphi (\sigma \tau )=x\mapsto (\sigma \tau )x=x\mapsto \sigma (\tau (x))=(x\mapsto \sigma x)\circ (x\mapsto \tau x)=\varphi (\sigma )\circ \varphi (\tau )$.

3.

我們注意到這裡討論的構造是互逆的；事實上，如果我們將一個同態 $\varphi :G\to S_{X}$ 變換成一個作用，透過

$\sigma x:=\varphi (\sigma )(x)$

然後將這個作用轉換成一個同態，透過

$\psi :G\to S_{X},\psi (\sigma ):=x\mapsto \sigma x$,

我們注意到 $\psi =\phi$ 因為 $\psi (\sigma )=x\mapsto \sigma x=x\mapsto \varphi (\sigma )(x)=\varphi (\sigma )$.

另一方面，如果我們從一個群作用 $G\times X\to X$ 開始，將其轉換為一個同態

$\varphi (\sigma ):=x\mapsto \sigma x$

然後將這個同態再轉換回群作用

$\sigma x:=\varphi (\sigma )(x)$,

那麼我們最終得到的將與最初的群作用相同，因為 $\varphi (\sigma )(x)=\sigma x$.$\Box$

例子 1.8.3:

1. $S_{n}$ 作用於 $\mathbb {R} ^{n}$ 透過 $\sigma (x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})$.
2. $GL_{n}(\mathbb {R} )$ 透過矩陣乘法作用於 $\mathbb {R} ^{n}$：$Ax:=Ax$，其中第一個並列表示群作用定義，第二個表示矩陣乘法。

作用型別

定義 1.8.4:

群作用 $G\times X\to X$ 被稱為

1. 忠實 當且僅當 $(\forall x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow \sigma =\tau$ ('對 $x$ 的所有元素恆等意味著對 $G$ 的恆等')
2. 自由 當且僅當 $(\exists x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow \sigma =\tau$ ('不同的群元素將一個 $x$ 對映到 $X$ 的不同元素')，以及
3. 傳遞 當且僅當對於所有 $x,y\in X$ 存在 $\sigma \in G$ 使得 $y=\sigma x$。

如果我們注意到一個作用是忠實的當且僅當對於兩個不同的 $\sigma \neq \tau \in G$ 存在 $x\in X$ 使得 $\sigma x\neq \tau x$，並且它是自由的當且僅當元素 $\sigma x,\sigma \in G$ 對所有 $x\in X$ 都不同，那麼在現實生活中就可以發現一些微妙的類比。

定理 1.8.5:

非空集合上的自由運算式忠實的。

證明: $(\forall x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow (\exists x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow \sigma =\tau$.$\Box$

現在我們嘗試刻畫這三個定義，即我們試圖找到與每個定義等價的條件。

定理 1.8.6:

群作用 $G\times X\to X$ 是忠實的，當且僅當誘導同態 $\varphi :G\to S_{X}$ 是單射的。

證明:

首先，給定一個忠實作用 $G\times X\to X$。假設 $\varphi (\sigma )=\varphi (\tau )$。那麼對於所有 $x\in X$ $\sigma x=\varphi (\sigma )(x)=\varphi (\tau )(x)=\tau x$，因此 $\sigma =\tau$。現在讓 $\varphi$ 是單射的。那麼 ${\displaystyle }$.

一個重要的推論如下

推論 1.8.7（凱萊）:

每個群都與對稱群的某個子群同構。

證明:

群透過左乘作用在自己身上是忠實的。因此，根據前面的定理，存在一個單同態 $G\to S_{G}$.$\Box$

為了刻畫另外兩個定義，我們需要更多術語。

軌道和穩定子

定義 1.8.8:

讓 $G\times X\to X$ 是一個群作用，並讓 $x\in X$。那麼

• $G(x):=\{\sigma x|\sigma \in G\}$ 稱為 $x$ 的軌道，並且
• $G_{x}:=\{\sigma \in G|\sigma x=x\}$ 稱為 $x$ 的穩定子。更一般地，對於子集 $Y\subseteq X$，我們定義 $G_{Y}:=\{\sigma \in G|\forall y\in Y:\sigma y\in Y\}$ 作為 $Y$ 的穩定子。

使用這個術語，我們得到了自由運算的一個新特徵。

定理 1.8.9:

運算 $G\times X\to X$ 是自由的當且僅當對每個 $x\in X$，$G_{x}$ 是平凡的。

證明：令運算為自由的，並令 $x\in X$。然後

$\sigma \in G_{x}\Leftrightarrow \sigma x=x=\iota x$.

由於運算是自由的，$\sigma =\iota$。

假設對於每個 $x\in X$，$G_{x}$ 是平凡的，並令 $y\in X$ 使得 $\sigma y=\tau y$。後者等價於 $\tau ^{-1}\sigma y=y$。因此 $\tau ^{-1}\sigma \in G_{y}=\{\iota \}$。$\Box$

我們還對使用軌道進行的傳遞操作進行了新的表徵

定理 1.8.10:

操作 $G\times X\to X$ 是傳遞的當且僅當對於所有 $x\in X$ $G(x)=X$.

證明:

假設對於所有 $x\in X$ $G(x)=X$，並令 $y,z\in X$。由於 $G(y)=X\ni z$，因此傳遞性成立。

假設傳遞性，並令 $x\in X$。然後對於所有 $y\in X$，存在 $\sigma \in G$ 使得 $\sigma x=y$，因此 $y\in G(x)$.$\Box$

關於穩定器，我們有以下兩個定理

定理 1.8.11:

令 $G\times X\to X$ 是一個群作用，並且 $x\in X$。則 $G_{x}\leq G$.

證明:

首先，$\iota \in G_{x}$。令$\sigma ,\tau \in G_{x}$。那麼$(\sigma \tau )x=\sigma (\tau x)=\sigma x=x$，因此$\sigma \tau \in G_{x}$。此外$\sigma ^{-1}x=\sigma ^{-1}\sigma x=x$，因此$\sigma ^{-1}\in G_{x}$。$\Box$

定理 1.8.12:

令$Y\subseteq X$。如果我們寫成$\sigma Y:=\{\sigma y|y\in Y\}$，對於每個$\sigma \in G$，那麼

$G_{\sigma Y}=\sigma G_{Y}\sigma ^{-1}$.

證明:

${\begin{aligned}\tau \in G_{\sigma Y}&\Leftrightarrow \tau \sigma Y=\sigma Y\\&\Leftrightarrow \sigma ^{-1}\tau \sigma Y=Y\\&\Leftrightarrow \sigma ^{-1}\tau \sigma Y\in G_{Y}\\&\Leftrightarrow \tau \in \sigma G_{Y}\sigma ^{-1}\end{aligned}}$$\Box$

基數公式

以下定理將推匯出 $G_{x}$、$|G|$、$(G:G_{x})$ 或 $X$ 的基數公式。

定理 1.8.13:

令一個作用 $G\times X\to X$ 給定。關係 $x\sim y:\Leftrightarrow \exists \sigma \in G:\sigma x=y$ 是一個等價關係，其等價類由該作用的軌道給出。此外，對於每個 $x\in X$，函式

$\{\sigma G_{x}|\sigma \in G\}\to G(x),\sigma G_{x}\mapsto \sigma x$

是一個定義明確的雙射函式。

證明:

1.

• 自反性：$\iota x=\iota$
• 對稱性：$\sigma x=y\Leftrightarrow x=\sigma ^{-1}y$
• 傳遞性：$\sigma x=y\wedge \tau y=z\Rightarrow (\tau \sigma )x=z$.

2.

令 $[x]$ 為 $x$ 的等價類。那麼

$y\in [x]\Leftrightarrow \exists \sigma \in G:\sigma x=y\Leftrightarrow y\in G(x)$.

3.

令 $\sigma G_{x}=\tau G_{x}$。由於 $G_{x}\leq G$，$\tau ^{-1}\sigma \in G_{x}$。因此，$\tau ^{-1}\sigma x=x\Leftrightarrow \tau x=\sigma x$。因此，定義良好。滿射性由定義得出。令 $\sigma x=\tau x$。則 $\tau ^{-1}\sigma x=x$，因此 $\tau ^{-1}\sigma G_{x}=G_{x}$。因此，單射性。$\Box$

推論 1.8.14（軌道-穩定子定理）:

令作用 $G\times X\to X$ 給定，並令 $x\in X$。則

$|G(x)|=(G:G_{x})$，或等價地 $|G(x)|\cdot |G_{x}|=|G|$.

證明：根據前一個定理，函式 $\{\sigma G_{x}|\sigma \in G\}\to G(x),\sigma G_{x}\mapsto \sigma x$ 是一個雙射。因此，$(G:g_{x})=|G(x)|$。此外，根據拉格朗日定理 $(G:G_{x})={\frac {|G|}{|G_{x}|}}$。$\Box$

推論 1.8.15（軌道方程）:

給定一個作用 $G\times X\to X$，設 $G(x_{1}),\ldots ,G(x_{n})$ 是所有軌道的完整且唯一的列表。那麼

$|X|=\sum _{j=1}^{n}\left|G\left(x_{j}\right)\right|=\sum _{j=1}^{n}(G:G_{x_{j}})$.

證明：第一個等式直接由定理 1.8.13 中關係的等價類對 $X$ 進行劃分得到，第二個等式由推論 1.8.14 得到。$\Box$

推論 1.8.16:

給定一個作用 $G\times X\to X$，設 $Z=\{x\in X|\forall \sigma \in G:\sigma x=x\}$，設 $G(x_{1}),\ldots ,G(x_{m})$ 是所有非平凡軌道的完整且唯一的列表（如果 $x\in X$ 的軌道滿足 $G(x)=\{x\}$，則稱該軌道為平凡軌道）。那麼

$|X|=|Z|+\sum _{j=1}^{m}\left|G\left(x_{j}\right)\right|$.

證明：這由前一個推論和 $|Z|$ 等於所有平凡軌道的基數之和得到。$\Box$

以下引理，俗稱伯恩賽德引理，實際上是柯西提出的。

推論 1.8.17（柯西引理）:

令作用 $G\times X\to X$ 給定，其中 $G,X$ 是有限的。對於每個 $\sigma \in G$，我們記 ${\displaystyle }$.

類方程

定義 1.8.18:

令群 $G$ 透過共軛作用於自身，即 $\sigma x:=\sigma x\sigma ^{-1}$ 對於所有 $\sigma ,x\in G$。對於每個 $x\in G$，$x$ 的中心化子定義為集合

${\mathcal {C}}_{G}(x):=G_{x}$.

使用我們上面開發的工具，我們現在可以為 $G$ 的基數建立一個公式。為了做到這一點，我們需要一個初步的引理。

引理 1.8.19:

令 $G$ 透過共軛作用於自身，並令 $x\in G$。則 $x$ 的軌道是平凡的當且僅當 $x\in Z(G)$.

證明: $x\in Z(G)\Leftrightarrow \forall \sigma \in G:\sigma x\sigma ^{-1}=x\Leftrightarrow G(x)=\{x\}$.$\Box$

推論 1.8.20（類方程）:

令 $G$ 是一個群，透過共軛作用於自身，並令 $G(x_{1}),\ldots ,G(x_{m})$ 是該作用的非平凡軌道的完整且唯一的列表。那麼

$|G|=|Z(G)|+\sum _{j=1}^{m}(G:{\mathcal {C}}_{G}(x_{j}))$.

證明：由引理 1.8.19 和推論 1.8.16 可得。$\Box$

特殊主題

等變函式

一個集合加上作用在其上的群，構成了一個代數結構。因此，我們可以為這些結構定義某種態射。

定義 1.8.21:

設群 $G$ 作用於集合 $X$ 和 $Y$。函式 $f:X\to Y$ 被稱為等變當且僅當

$\forall \sigma \in G,x\in X:\sigma f(x)=f(\sigma x)$.

引理 1.8.22:

p-群

我們現在將研究以下內容

定義 1.8.24:

設 $p$ 為素數。如果 $G$ 是一個群，使得 $|G|=p^{k}$ 對某個 $k\in \mathbb {N}$ 成立，則 $G$ 被稱為$p$-群。

推論 23：設 $G$ 為 $p$-群，作用於集合 $S$。則 $|S|\equiv |Z|\ \mathrm {mod} \ p$.

證明：因為 $G$ 是一個 $p$-群，$p$ 整除 $|G*a|$，對於每一個 $a\in A$，其中 $A$ 如引理 21 中定義。因此 $\sum _{a\in A}|G*a|\equiv 0\ \mathrm {mod} \ p$。 ∎

群表示

線性群作用在向量空間上尤其有趣。這些具有特殊的名稱，並構成群論中的一個獨立子領域，稱為群表示論。我們在這裡只略微涉及它。

定義 24： 令 $G$ 是一個群，$V$ 是一個在域 $F$ 上的向量空間。那麼 $G$ 在 $V$ 上的表示是一個對映 $\Phi \,:\,G\times V\rightarrow V$，使得

i) $\Phi (g)\,:\,V\rightarrow V$ 由 $\Psi (g)(v)=\Psi (g,v)$ 給出，$v\in V$，線上性上是關於 $v$ 在 $F$ 上的。

ii) $\Phi (e,v)=v$

iii) 對於所有 $g_{1},g_{2}\in G$，$v\in V$，$\Phi \left(g_{1},\Phi (g_{2},v)\right)=\Phi (g_{1}g_{2},v)$。

V 被稱為表示空間，$V$ 的維度（如果它有限）被稱為表示的維度或度數。

注 25: 等價地，$G$ 在 $V$ 上的表示是一個同態 $\phi \,:\,G\rightarrow GL(V,F)$。表示可以透過列出 $V$ 和 $\phi$ 來給出，$(V,\phi )$。

由於表示是群作用的一種特殊型別，我們為作用引入的所有概念都適用於表示。

定義 26: 如果 $\phi \,:\,G\rightarrow GL(V,F)$ 是單射，則稱群 $G$ 在向量空間 $V$ 上的表示稱為忠實或有效。