抽象代數/群論/正規子群和商群

在初步章節中，我們討論了集合上的等價類。如果讀者還沒有掌握這個概念，建議他們在開始本節之前先掌握它。

正規子群

回顧上一節中核的定義。我們將展示它擁有的一個有趣的特徵。具體來說，令 $ak\,,\,k\in \ker \,\phi \leq G$ 屬於陪集 $a\ker \,\phi$ 。那麼存在一個 $k^{\prime }\in \ker \,\phi$ 使得 $k^{\prime }a=ak$ 對所有 $a\in G$ 都成立。這很容易理解，因為核的陪集包含了 $G$ 中對映到特定元素的所有元素。核啟發我們去尋找所謂的正規子群。

定義 1： 一個子群 $N\leq G$ 稱為正規子群，如果對於所有 $g\in G$ 都有 $gNg^{-1}=N$ 。我們有時會寫 $N\trianglelefteq G$ 來強調 $N$ 在 $G$ 中是正規的。

定理 2： 一個子群 $N\leq G$ 是正規子群當且僅當對於所有 $g\in G$ 都有 $gN=Ng$ 。

證明: 根據定義，一個子群是正規的，當且僅當 $gNg^{-1}=N$ ，因為共軛是一個雙射。定理透過在右邊乘以 $g$ 得出。 ∎

我們在引言中提到過，核是一個正規子群，因此我們最好證明一下！

定理 3： 設 $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 是任何同態。那麼 $\ker \phi \leq G$ 是正規的。

證明: 令 $k\in \ker \,\phi$ 且 $g\in G$ 。那麼 $\phi (gkg^{-1})=\phi (g)e^{\prime }\phi (g)^{-1}=e^{\prime }$ ，所以 $gkg^{-1}\in \ker \phi$ ，證明了定理。 ∎

定理 4： 令 $G,G^{\prime }$ 是群， $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 是一個群同態。如果 $H$ 是 $\mathrm {im} \,\phi$ 的正規子群，那麼 $\phi ^{-1}(H)$ 是 $G$ 中的正規子群。

證明: 設 $g\in G$ 且 $h\in \phi ^{-1}(H)$ . 則 $\phi (ghg^{-1})=\phi (g)\phi (h)\phi (g)^{-1}\in H$ ，因為 $H$ 在 $\mathrm {im} \,\phi$ 中是正規子群，因此 $ghg^{-1}\in \phi ^{-1}(H)$ ，證明了定理。 ∎

定理 5: 設 $G,G^{\prime }$ 為群，且 $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 為群同態。則如果 $H$ 是 $G$ 的正規子群，則 $\phi (H)$ 在 $\mathrm {im} \,\phi$ 中是正規子群。

證明：設 $g^{\prime }\in \mathrm {im} \,\phi$ 且 $h\in H$ 。那麼，如果存在 $g\in G$ 使得 $\phi (g)=g^{\prime }$ ，我們有 $g^{\prime }\phi (h){g^{\prime }}^{-1}=\phi (g)\phi (h)\phi (g)^{-1}=\phi (ghg^{-1})=\phi (h^{\prime })\in \phi (H)$ ，其中存在 $h^{\prime }\in H$ ，因為 $H$ 是正規的。因此，對於所有 $g^{\prime }\in \mathrm {im} \,\phi$ 都有 $g^{\prime }\phi (H){g^{\prime }}^{-1}=\phi (H)$ ，因此 $H$ 在 $\mathrm {im} \,\phi$ 中是正規的。∎

推論 6： 設 $G,G^{\prime }$ 為群，且 $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 為滿射群同態。那麼，如果 $H$ 是 $G$ 的一個正規子群，那麼 $\phi (H)$ 是 $G^{\prime }$ 的正規子群。

證明：將定理 5 中的 $\mathrm {im} \,\phi$ 替換為 $G^{\prime }$ 。∎

註記 7： 如果 $H$ 是 $G$ 的一個正規子群，且 $K$ 是 $H$ 的一個正規子群，這不一定意味著 $K$ 是 $G$ 的正規子群。鼓勵讀者提供一個反例。

定理 8： 設 $G$ 為群，且 $H,K$ 為子群。那麼

i) 如果

H

是正規子群，那麼

HK=KH

是

G

的一個子群。

ii) 如果

H

和

K

都是正規子群，那麼

HK=KH

是

G

的正規子群。

iii) 如果

H

和

K

都是正規子群，那麼

H\cap K

是

G

的正規子群。

證明: i) 設 $H$ 為正規子群。首先，由於對於每個 $k\in K$ ，都存在 $h,h^{\prime }\in H$ 使得 $kh=h^{\prime }k$ ，所以 $KH=HK$ 。為了證明 $HK$ 是一個子群，設 $hk,h^{\prime }k^{\prime }\in HK$ 。那麼 $h^{\prime }k^{\prime }(hk)^{-1}=h^{\prime }k^{\prime }k^{-1}h^{-1}=h^{\prime }h^{\prime \prime }k^{\prime }k^{-1}\in HK$ 對於某個 $h^{\prime \prime }\in H$ ，因為 $H$ 是正規子群，所以 $HK$ 是一個子群。

ii) 令 $g\in G$ 且 $hk\in HK$ 。由於 $H$ 和 $K$ 都是正規子群，因此存在 $h^{\prime }\in H\,,\,k^{\prime }\in K$ 使得 $ghkg^{-1}=ghg^{-1}k^{\prime }=gg^{-1}h^{\prime }k^{\prime }=h^{\prime }k^{\prime }\in HK$ 。由此可知 $gHKg^{-1}=HK$ ，因此 $HK$ 是正規子群。

iii) 令 $g\in G$ 且 $h\in H\cap K$ 。由於 H 是正規子群，因此 $ghg^{-1}\in H$ ，同理 $ghg^{-1}\in K$ 。因此 $ghg^{-1}\in H\cap K$ ，由此可知 $H\cap K$ 是正規子群。 ∎

正規子群的例子

在下文中，令 $G$ 為任何群。然後 $G$ 具有與其相關的以下正規子群。

i) 群

G

的中心，記作

Z(G)

，是與群中所有元素都可交換的元素構成的子群。

Z(G)=\{z\in G\mid (\forall g\in G)zg=gz\}

。很容易驗證

Z(G)

是一個正規子群，留給讀者證明。

ii) 群

G

的 *交換子群*，記為

G^{(1)}

或

[G,G]

，是由子集

\{[g,h]\mid g,h\in G\}

生成的子群，其中

[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh

對所有

g,h\in G

成立。對於

s\in G

，我們引入簡寫符號

sgs^{-1}=g^{s}

。那麼我們有

s[g,h]s^{-1}=[g^{s},h^{s}]

，因此對於任何交換子乘積

[g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}]...[g_{n},h_{n}]

，其中所有元素都在

G

中，我們有

s[g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}]...[g_{n},h_{n}]s^{-1}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}][g_{2}^{s},h_{2}^{s}]...[g_{n}^{s},h_{n}^{s}]

，因此

G^{(1)}

是正規子群。

注 9: 我們可以迭代交換子群構造，並定義 $G^{(0)}=G$ 和 $G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]$ 對所有 $n\in \mathbb {N}$ 。我們在本書的後續結果中不會使用交換子群，所以對我們來說它僅僅是一個奇特之處。

群上的等價關係

為什麼正規子群很重要？在初步的章節中，我們討論了等價關係和相關的等價類集合。如果 $G$ 是一個群，並且 $\sim$ 是一個等價關係，那麼什麼時候 $G/\sim$ 允許一個群結構？當然，我們必須在 $G/\sim$ 上指定乘法。我們現在就來做這件事。

定義 10: 令 $G$ 是一個群，並且 $\sim$ 是 $G$ 上的等價關係，我們在 $G/\sim$ 中的等價類上定義乘法，使得對所有 $a,b\in G$ ，

[a][b]=[ab]

這確實是唯一自然的方式。取兩個等價類，選擇代表，計算它們的乘積，並取其等價類。警覺的讀者心中只會有一件事：這定義良好嗎？對於一般的等價關係，答案是否定的。讀者可以嘗試舉出一個例子。更有趣的是，什麼時候它定義良好？根據上面的定義，我們顯然需要投影對映 $\pi \,:\,G\rightarrow G/\sim$ 由 $a\mapsto [a]$ 定義，成為同態。事實上，我們可以將要求壓縮為兩個，這兩個要求都與消去律有關。

定理 11： 設 $G$ 是一個群， $\sim$ 是 $G$ 上的等價關係。那麼 $G/\sim$ 在自然乘法下是一個群，當且僅當對於所有 $a,b,g\in G$

a\sim b\,\Leftrightarrow ag\sim bg\wedge ga\sim gb

.

證明： 假設 $G/\sim$ 是一個群。由於 $a\sim b\,\Leftrightarrow [a]=[b]$ ，該性質來自 $G$ 中的消去律。現在假設該性質成立。那麼它的乘法規則是定義良好的，並且必須驗證 $G/\sim$ 是一個群。令 $a,b,c\in G$ ，那麼結合律來自 $G$

([a][b])[c]=[ab][c]=[(ab)c]=[a(bc)]=[a][bc]=[a]([b][c])

.

$G/\sim$ 中的單位元是 $e\in G$ 的等價類， $[e]$

[e][a]=[ea]=[a]=[ae]=[a][e]

.

最後， $[a]$ 的逆是 $[a^{-1}]$

[g][g^{-1}]=[gg^{-1}]=[e]=[g^{-1}g]=[g^{-1}][g]

.

因此， $G/\sim$ 確實定義了一個群結構，證明了該定理。∎

我們將稱等價關係 $\sim$ 與 $G$ 是 “相容” 的，如果 $G/\sim$ 是一個群。那麼， $G/\sim$ 被稱為 $G$ 關於 $\sim$ 的 “商群”。另外，作為一個直接的結果，這也使 $\pi \,:\,G\rightarrow G/\sim$ 成為一個同態，但不僅僅是任何同態！它滿足一個泛性質！

定理 12: 設 $\sim$ 是與 $G$ 相容的等價關係，並且 $\phi \,:\,G\rightarrow H$ 是一個群同態，使得 $a\sim b\,\Rightarrow \,\phi (a)=\phi (b)$ 。那麼存在一個唯一的同態 ${\tilde {\phi }}\,:\,G/\sim \rightarrow H$ 使得 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi$ 。

證明：在集合論的初步章節中，我們展示了集合的對應陳述，所以我們知道 ${\tilde {\phi }}$ 作為集合之間的函式存在。我們需要證明它是一個同態。這立即成立：由於 ${\tilde {\phi }}([a])=\phi (a)$ 由交換律得出，我們有 ${\tilde {\phi }}([a]){\tilde {\phi }}([b])=\phi (a)\phi (b)=\phi (ab)={\tilde {\phi }}([ab])={\tilde {\phi }}([a][b])$ 。正如前面所說， ${\tilde {\phi }}([a])=\phi (a)$ 表明唯一性，證明了定理。 ∎

引理 13：設 $\sim$ 是群 $G$ 上的等價關係，使得 $a\sim b\,\Leftrightarrow ga\sim gb$ 。那麼 $H=[e]$ 是 $G$ 的子群，並且 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H\,\Leftrightarrow \,aH=bH$ 。

證明：首先， $H$ 不是空的，因為 $e\in H$ 。令 $a,b\in H$ 。然後 $b\sim e\,\Leftrightarrow \,e\sim b^{-1}$ ，透過在左邊乘以 $b^{-1}$ 可以得到。然後由於 $e\sim a$ ，我們有 $a^{-1}\sim e$ ，透過相同的論證可以得到。應用傳遞性得到 $a^{-1}\sim b^{-1}$ 。最後，在左邊乘以 $a$ 得到 $e\sim ab^{-1}$ ，從而得到 $ab^{-1}\in H$ ，因此 $H=[e]$ 是一個子群。

假設 $a\sim b$ 對於 $a,b\in G$ 。然後 $[a]=[b]$ ，這意味著 $[a^{-1}b]=[e]$ 。因此 $a^{-1}b\in [e]$ 。現在假設 $a^{-1}b\in [e]$ 。那麼 $[a^{-1}b]=[e]$ ，因此 $[a]=[b]$ ，最後得到 $a\sim b$ 。

假設 $a^{-1}b\in H$ 。由於 $H$ 是一個子群，所以有 $a^{-1}bH=H$ ，因此 $aH=bH$ 。最後，假設 $aH=bH$ 。那麼 $a^{-1}bH=H$ 。特別地，由於 $e\in H$ ，這表明 $a^{-1}b\in H$ ，完成了證明。 ∎

使用右陪集和等價關係 $a\sim b\,\Leftrightarrow ag\sim bg$ 和 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,ab^{-1}\in H\,\Leftrightarrow \,Ha=Hb$ 的映象版本完全類似。陳述定理和寫出證明留給讀者作為練習。

我們已經展示了等價關係如何定義 $G$ 的一個子群。實際上，等價類都是這個子群的所有陪集。現在我們將反過來，展示一個子群如何定義 $G$ 上的等價關係。

引理 14: 令 $H$ 是群 $G$ 的一個子群。那麼，

i)

a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H\,\Leftrightarrow \,aH=bH

是一個等價關係，使得對於所有

g\in G

，都有

a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow \,ga\sim _{L}gb

。

ii)

a\sim _{R}b\,\Leftrightarrow \,ab^{-1}\in H\,\Leftrightarrow \,Ha=Hb

是一個等價關係，使得對於所有

g\in G

，有

a\sim _{R}b\,\Leftrightarrow \,ag\sim _{R}bg

。

證明：我們將證明 i)。 ii) 的證明類似，留給讀者作為練習。

在子群部分已經證明了 $\sim$ 是一個等價關係，以及 $a^{-1}b\in H\,\Leftrightarrow \,aH=bH$ 。假設 $a\sim _{L}b$ 。然後對於所有 $g\in G$ ，有 $(ga)^{-1}(gb)=a^{-1}g^{-1}gb=a^{-1}b\in H$ ，因此 $ga\sim _{L}gb$ 。現在假設 $ga\sim _{L}gb$ ，則 $a^{-1}b=a^{-1}g^{-1}gb=(ga)^{-1}(gb)\in H$ ，因此 $a\sim _{L}b$ ，完成證明。 ∎

定理 15：對於 G 上的每個等價關係 $\sim _{L}$ ，使得 $a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow ga\sim _{L}gb$ ，存在 G 的唯一子群 $H$ ，使得 $G/\sim$ 正好是 $H$ 的左陪集。

證明：這直接來自引理 13 和引理 14。

同樣，映象語句是完全類似的。定理的陳述留給讀者作為練習。

關於正規子群的商群

引理 16：設 $\sim _{L}$ 是由 $a\sim _{L}b:\Leftrightarrow aH=bH$ 給出的等價關係，其中 $H$ 是 G 的子群。那麼我們知道 $\sim _{L}$ 相容當且僅當 $H$ 是正規子群。

證明：假設 $\sim _{L}$ 是相容的， $g\in G$ 且 $a\in H$ 。那麼 $a\sim _{L}e$ ，相容性給出我們 $gag^{-1}\sim _{L}gg^{-1}=e$ ，所以 $gag^{-1}\in H$ 。由於 $a$ 是任意的，我們得到 $gHg^{-1}=H$ 對於所有 $g\in G$ ，因此 $H$ 是正規的。現在假設 $H$ 是正規的。那麼 $aH=bH\,\Leftrightarrow a^{-1}b\in H$ ， $Ha=Hb\,\Leftrightarrow ab^{-1}\in H$ 且 $aH=Ha$ 對於所有 $a,b\in G$ 。利用這一點，我們得到 $a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow ab^{-1}=ab^{-1}bg(bg)^{-1}\sim _{L}e\,\Leftrightarrow ab^{-1}bg=ag\sim _{L}bg$ ，類似地對於右側情況，所以 $\sim _{L}$ 與 $G$ 相容。 ∎

定義 17： 當等價關係由指定一個正規子群 $H$ 給出時，關於此等價關係的商群表示為 $G/H$ 。然後我們稱 $G/H$ 為 $G$ 關於 $H$ 的商群，或者 $G$ 模 $H$ 。注意，這與之前對該符號的定義相符。

在 $G/H$ 中的乘法如前所述，為 $(aH)(bH)=(ab)H$ ，單位元為 $H$ ，並且 $(aH)^{-1}=a^{-1}H$ 對於所有 $a,b\in G$ 成立。

定義 18： 令 $H$ 為 $G$ 的一個正規子群。然後我們定義投影同態 $\pi \,:\,G\rightarrow G/H$ 為 $\pi (a)=aH$ 對於所有 $a\in G$ 成立。

定理 19： 一個子群是正規子群當且僅當它是某個同態的核。

證明：我們已經證明了左邊的蘊含關係。對於右邊的蘊含關係，假設 $H$ 是正規子群。那麼 $G/H$ 是一個群，我們有投影同態 $\pi \,:\,G\rightarrow G/H$ 如上定義。由於對於所有 $h\in H$ 我們有 $\pi (h)=hH=H$ ， $\ker \,\pi =H$ ，因此 $H$ 是一個同態的核。 ∎

定理 20： 令 $G,G^{\prime }$ 為群， $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 為一個同態， $H$ 為 $G$ 的一個正規子群，使得 $H\subseteq \ker \,\phi$ 。那麼存在一個唯一的同態 ${\tilde {\phi }}\,:\,G/H\rightarrow G^{\prime }$ 使得 ${\tilde {\phi }}\circ \pi =\phi$ 。

證明：這可以從定理 12 中透過令 $a\sim b\,\Leftrightarrow aH=bH$ 得到。 ∎

同構定理

定理 21（第一同構定理）： 設 $G,G^{\prime }$ 是群， $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 是一個同態。那麼 $G/\ker \,\phi \approx \mathrm {im} \,\phi$ .

證明：由定理 20 可知，存在一個唯一的同態 ${\tilde {\phi }}\,:\,G/\ker \,\phi \rightarrow G^{\prime }$ 使得 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi$ 。我們需要證明 ${\tilde {\phi }}$ 當限制到 $\mathrm {im} \,\phi$ 時是一個同構。這是顯然的，因為根據引理 13， $\phi (a)=\phi (b)\,\Leftrightarrow a\ker \phi =b\ker \phi$ ，因此 ${\tilde {\phi }}$ 是單射的，並且對於任意的 $g^{\prime }\in \mathrm {im} \,\phi$ ，都存在一個 $g\in G$ 使得 $\phi (g)={\tilde {\phi }}(g\ker \,\phi )=g^{\prime }$ ，因此它是滿射的，所以也是同構。 ∎

引理 22： 設 $G$ 是一個群， $H$ 是一個子群， $K$ 是 $G$ 的一個正規子群。那麼 $H\cap K$ 是 $H$ 的一個正規子群。

證明：設 $h\in H$ 且 $k\in H\cap K$ 。則 $hkh^{-1}\in H$ ，因為 $h,k\in H$ 且 $H$ 是一個子群，並且 $hkh^{-1}\in K$ ，因為 $k\in K$ ， $h\in G$ 且 $K$ 在 $G$ 中是正規的。因此， $hkh^{-1}\in H\cap K$ ，並且 $H\cap K$ 在 $H$ 中是正規的。 ∎

定理 23（第二同構定理）： 設 $G$ 是一個群， $H$ 是一個子群， $K$ 是 $G$ 的一個正規子群。則 $HK/K\approx {\frac {H}{H\cap K}}$ 。

證明：定義 $\phi \,:\,H\rightarrow HK/K$ 為 $\phi (h)=hK$ ，對於所有 $h\in H$ 。 $\phi$ 是滿射，因為 $HK$ 中的任何元素都可以寫成 $hk$ ，其中 $h\in H$ 且 $k\in K$ ，所以 $\phi (h)=\pi (hk)=hkK=hK$ 。我們還有 $\ker \,\phi =\{h\in H\mid hK=K\}=\{h\in H\mid h\in K\}=H\cap K$ ，因此根據第一同構定理有 $HK/K\approx {\frac {H}{H\cap K}}$ 。 ∎

引理 24： 令 $G$ 為一個群，令 $H,K$ 為 $G$ 的正規子群，使得 $K\subseteq H\subseteq G$ 。那麼 $H/K$ 是 $G/K$ 的一個正規子群。

證明: 令 $h\in H$ 且 $g\in G$ 。則 $ghg^{-1}=h^{\prime }$ 對於某個 $h^{\prime }\in H$ 成立，因為 $H$ 是正規的。因此 $(gK)(hK)(gK)^{-1}=(ghg^{-1})K=h^{\prime }K$ ，表明 $H/K$ 在 $G/K$ 中是正規的。∎

定理 25（第三同構定理） 令 $G$ 為一個群，令 $H,K$ 為 $G$ 的正規子群，使得 $K\subseteq H\subseteq G$ 。則 ${\frac {G/K}{H/K}}\approx G/H$ 。

證明: 令 $\phi \,:\,G/K\rightarrow G/H$ 由 $\phi (gK)=gH$ 給出。由於 $K\subseteq H$ ，它定義良好且滿射，並且是一個同態。它的核由 $\ker \,\phi =\{gK\in G/K\mid gH=H\}=\{gK\in G/K\mid g\in H\}=H/K$ 給出，因此根據第一同構定理， ${\frac {G/K}{H/K}}\approx G/H$ 。 ∎

定理 26（對應定理）： 設 $G$ 是一個群， $K$ 是一個正規子群。現在設 $A=\{H\leq G\mid K\leq H\}$ 和 $B=\{H^{\prime }\mid H^{\prime }\leq G/K\}$ 。那麼 $\pi \,:\,H\mapsto \pi (H)$ 是從 $A$ 到 $B$ 的一個保持序的雙射。

證明：我們需要證明單射性和滿射性。對於單射性，注意到如果 $K\leq H$ ，那麼 $\pi ^{-1}(\pi (H))=HK=H$ ，所以如果 $H_{1},H_{2}\in A$ 使得 $\pi (H_{1})=\pi (H_{2})$ ，那麼 $H_{1}=\pi ^{-1}(\pi (H_{1}))=\pi ^{-1}(\pi (H_{2}))=H_{2}$ ，證明了單射性。對於滿射性，設 $H^{\prime }\in B$ 。那麼 $K\leq \pi ^{-1}(H^{\prime })\leq G$ ，使得 $\pi ^{-1}(H^{\prime })\in A$ ，且 $\pi (\pi ^{-1}(H^{\prime }))=H^{\prime }$ ，證明了滿射性。最後，由於 $H_{1}\subseteq H_{2}$ 意味著 $\pi (H_{1})\subseteq \pi (H_{2})$ ，雙射是保序的。 ∎

注 27： 同態定理有時被稱為第四同構定理。

定理 28: 令 $H\in A$ 來自定理 26. 那麼 $H$ 是正規子群當且僅當 $\pi (H)$ 在 $G/K$ 中是正規子群，此時 $G/H\approx {\frac {G/K}{\pi (H)}}$ .

證明: 由於 $\pi$ 是滿射， $H$ 是正規子群意味著 $\pi (H)$ 是正規子群。假設 $\pi (H)$ 是正規子群。那麼 $\pi ^{-1}(\pi (H))=H$ ，因此 $H$ 是正規子群，因為它是一個正規子群的原像。為了證明同構，令 $\phi \,:\,G\rightarrow {\frac {G/K}{\pi (H)}}$ 由投影的複合構成: $\phi \,:\,\pi _{\pi (H)}\circ \pi _{K}$ 。那麼 $\ker \,\phi =\{g\in G\mid \phi (g)=\pi (H)\}=\{g\in G\mid \pi (g)\in \pi (H)\}=\pi ^{-1}(\pi (H))=H$ ，因此根據第一同構定理， $G/H\approx {\frac {G/K}{\pi (H)}}$ 。 ∎

推論 29： 令 $G$ 為一個群， $H$ 為一個正規子群。則對於任意 $K^{\prime }\leq G/H$ ，存在唯一子群 $K\leq G$ 使得 $H\leq K\leq G$ 且 $K=K^{\prime }H$ 。此外， $K$ 在 $G$ 中為正規子群當且僅當 $K^{\prime }$ 在 $G/H$ 中為正規子群。