在初步部分，我們介紹了集合上的兩種重要構造：直積和不相交併。在本節中，我們將為群構造類似的構造。
定義 1： 設 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} 集合 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} G × H {\displaystyle G\times H} ( g 1 , h 1 ) , ( g 2 , h 2 ) ∈ G × H {\displaystyle (g_{1},h_{1}),(g_{2},h_{2})\in G\times H} ( g 1 , h 1 ) ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 g 2 , h 1 h 2 ) {\displaystyle (g_{1},h_{1})(g_{2},h_{2})=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})} G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} 直積 。
備註 2： 乘積群 是 群，單位元為 ( e G , e H ) {\displaystyle (e_{G},e_{H})} ( g , h ) − 1 = ( g − 1 , h − 1 ) {\displaystyle (g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1})} G × H {\displaystyle G\times H} | G × H | = | G | | H | {\displaystyle |G\times H|=|G||H|}
定理 3： 設 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} π 1 : G × H → G {\displaystyle \pi _{1}\,:\,G\times H\rightarrow G} π 2 : G × H → H {\displaystyle \pi _{2}\,:\,G\times H\rightarrow H} π 1 ( g , h ) = g {\displaystyle \pi _{1}(g,h)=g} π 2 ( g , h ) = h {\displaystyle \pi _{2}(g,h)=h} ( g , h ) ∈ G × H {\displaystyle (g,h)\in G\times H} 投影 。
證明 ：投影顯然是同態，因為它們在一個因子上是恆等對映，而在另一個因子上是平凡同態。 ∎
推論 4： 設 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} G × H H ≈ G {\displaystyle {\frac {G\times H}{H}}\approx G} G × H G ≈ H {\displaystyle {\frac {G\times H}{G}}\approx H}
證明 ：這直接由將第一同態定理應用於定理 3 並利用 G × { e H } ≈ G {\displaystyle G\times \{e_{H}\}\approx G} { e G } × H ≈ H {\displaystyle \{e_{G}\}\times H\approx H} ∎
定理 5： 設 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} G × { e H } {\displaystyle G\times \{e_{H}\}} { e G } × H {\displaystyle \{e_{G}\}\times H} G × H {\displaystyle G\times H}
證明 ：我們證明定理適用於 G × { e H } {\displaystyle G\times \{e_{H}\}} { e G } × H {\displaystyle \{e_{G}\}\times H} g , g ′ ∈ G {\displaystyle g,g^{\prime }\in G} h ∈ H {\displaystyle h\in H} ( g , h ) ( g ′ , e H ) ( g , h ) − 1 = ( g g ′ g − 1 , h h − 1 ) = ( g g ′ g − 1 , e H ) ∈ G × { e H } {\displaystyle (g,h)(g^{\prime },e_{H})(g,h)^{-1}=(gg^{\prime }g^{-1},hh^{-1})=(gg^{\prime }g^{-1},e_{H})\in G\times \{e_{H}\}} ∎
顯示直接積滿足的普遍性質的交換圖。 我們指出這是一個類似於集合直接積的構造。 我們的意思是它滿足與直接積相同的普遍性質。 事實上，為了被稱為“乘積”，一個構造必須滿足這個普遍性質。
定理 6： 令 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} K {\displaystyle K} ϕ 1 : K → G {\displaystyle \phi _{1}\,:\,K\rightarrow G} ϕ 2 : K → H {\displaystyle \phi _{2}\,:\,K\rightarrow H} u : K → G × H {\displaystyle u\,:\,K\rightarrow G\times H} ϕ 1 = π 1 ∘ u {\displaystyle \phi _{1}=\pi _{1}\circ u} ϕ 2 = π 2 ∘ u {\displaystyle \phi _{2}=\pi _{2}\circ u}
證明 ：根據直積的定義， u : K → G × H {\displaystyle u\,:\,K\rightarrow G\times H} π 1 ∘ u {\displaystyle \pi _{1}\circ u} π 2 ∘ u {\displaystyle \pi _{2}\circ u} u : K → G × H {\displaystyle u\,:\,K\rightarrow G\times H} u ( ( g , h ) ) = ( ϕ 1 ( g ) , ϕ 2 ( h ) ) {\displaystyle u((g,h))=(\phi _{1}(g),\phi _{2}(h))} ∎
定理 7： 元素 ( a , b ) ∈ Z m × Z n {\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}} | ( a , b ) | = l c m ( | a | , | b | ) {\displaystyle |(a,b)|=\mathrm {lcm} (|a|,|b|)}
證明 ：使得 ( a , b ) c = ( a c , b c ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (a,b)^{c}=(ac,bc)=(0,0)} c {\displaystyle c} a c = r m {\displaystyle ac=rm} b c = s n {\displaystyle bc=sn} r , s {\displaystyle r,s} c {\displaystyle c} | a | {\displaystyle |a|} | b | {\displaystyle |b|} ∎
定理 8： Z m × Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}} Z m n {\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n}
Proof : We begin with the left implication. Assume Z m × Z n ≈ Z m n {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}\approx \mathbb {Z} _{mn}} Z m × Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}} m n {\displaystyle mn} ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle (a,b)\neq (0,0)} Z m × Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}} l c m ( | a | , | b | ) = m n {\displaystyle \mathrm {lcm} (|a|,|b|)=mn} l c m ( m , n ) = m n {\displaystyle \mathrm {lcm} (m,n)=mn} gcd ( m , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(m,n)=1} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} a {\displaystyle a} Z m {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}} b {\displaystyle b} Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} gcd ( m , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(m,n)=1} l c m ( m , n ) = m n {\displaystyle \mathrm {lcm} (m,n)=mn} | ( a , b ) | = m n {\displaystyle |(a,b)|=mn} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} Z m × Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}} m n {\displaystyle mn} Z m n {\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}} ∎
定理 9（有限阿貝爾群的刻畫）： 設 G {\displaystyle G} p 1 , . . . , p n {\displaystyle p_{1},...,p_{n}} r 1 , . . . , r n {\displaystyle r_{1},...,r_{n}}
G ≈ Z p 1 r 1 × . . . × Z p n r n {\displaystyle G\approx \mathbb {Z} _{p_{1}^{r_{1}}}\times ...\times \mathbb {Z} _{p_{n}^{r_{n}}}} 證明 ：這個定理的證明目前超出了我們的能力範圍。但是，我們會在關於模的章節中討論它。 ∎
定義 10： 兩個群 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} 子直積 是 G × H {\displaystyle G\times H} K {\displaystyle K} π 1 ( K ) = G {\displaystyle \pi _{1}(K)=G} π 2 ( K ) = H {\displaystyle \pi _{2}(K)=H}
示例 11： 令 G {\displaystyle G} Δ = { ( g , g ) ∣ g ∈ G } ⊆ G × G {\displaystyle \Delta =\{(g,g)\mid g\in G\}\subseteq G\times G} G {\displaystyle G}
定義 12： 令 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} Q {\displaystyle Q} ϕ : G → Q {\displaystyle \phi \,:\,G\rightarrow Q} ψ : H → Q {\displaystyle \psi \,:\,H\rightarrow Q} G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} Q {\displaystyle Q} 纖維積 ，記為 G × Q H {\displaystyle G\times _{Q}H} G × H {\displaystyle G\times H} G × Q H = { ( g , h ) ∈ G × H ∣ ϕ ( g ) = ψ ( h ) } {\displaystyle G\times _{Q}H=\{(g,h)\in G\times H\mid \phi (g)=\psi (h)\}}
在本小節中，我們將證明子直積與纖維積之間的等價性。具體來說，每個子直積都是一個纖維積，反之亦然。為此，我們需要古爾薩定理 。
定理 13（古爾斯定理）： 設 G {\displaystyle G} G ′ {\displaystyle G^{\prime }} H ⊆ G × G ′ {\displaystyle H\subseteq G\times G^{\prime }} G {\displaystyle G} G ′ {\displaystyle G^{\prime }} N = ker π 2 {\displaystyle N=\ker \,\pi _{2}} N ′ = ker π 1 {\displaystyle N^{\prime }=\ker \,\pi _{1}} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N ′ {\displaystyle N^{\prime }} G ′ {\displaystyle G^{\prime }} H {\displaystyle H} G / N × G ′ / N ′ {\displaystyle G/N\times G^{\prime }/N^{\prime }} G / N ≈ G ′ / N ′ {\displaystyle G/N\approx G^{\prime }/N^{\prime }}
證明 :
關於有限阿貝爾群的自同構群的更多內容。一些結果需要群作用論和環論，這些內容將在後面的章節中介紹。
http://arxiv.org/pdf/math/0605185v1.pdf
為了正確定義自由群，以及後續的自由積，我們需要一些預備定義。
定義 10： 設 A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} 詞 是 A {\displaystyle A} a 1 a 2 . . . a n {\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{n}} n {\displaystyle n} 詞長 。
定義 11： 設 x = a 1 . . . a n {\displaystyle x=a_{1}...a_{n}} y = a n + 1 . . . a n + k {\displaystyle y=a_{n+1}...a_{n+k}} A {\displaystyle A} 連線 為詞 x y = a 1 . . . a n a n + 1 . . . a n + k {\displaystyle xy=a_{1}...a_{n}a_{n+1}...a_{n+k}}
現在，我們想要建立一個群，由給定集合 A {\displaystyle A} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 0 {\displaystyle 0} 簡化 為 不可簡化 的詞。這些術語將在下面定義。
定義 12： 設 A {\displaystyle A} W ( A ) {\displaystyle W(A)} A {\displaystyle A} 冪 的詞的集合。也就是說，如果 a 1 , . . . , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in A} r 1 , . . . , r n ∈ Z {\displaystyle r_{1},...,r_{n}\in \mathbb {Z} } a 1 r 1 . . . a n r n ∈ W ( A ) {\displaystyle a_{1}^{r_{1}}...a_{n}^{r_{n}}\in W(A)}
定義 13： 設 x = a 1 r 1 . . . a n r n ∈ W ( A ) {\displaystyle x=a_{1}^{r_{1}}...a_{n}^{r_{n}}\in W(A)} x {\displaystyle x} j , j + 1 {\displaystyle j,j+1} a j = a j + 1 {\displaystyle a_{j}=a_{j+1}} a j r j + r j + 1 {\displaystyle a_{j}^{r_{j}+r_{j+1}}} a j r j a j + 1 r j + 1 {\displaystyle a_{j}^{r_{j}}a_{j+1}^{r_{j+1}}} x ( 1 ) = a 1 r 1 . . . a j − 1 r j − 1 a j r j + r j + 1 a j + 2 r j + 2 . . . a n r n {\displaystyle x_{(1)}=a_{1}^{r_{1}}...a_{j-1}^{r_{j-1}}a_{j}^{r_{j}+r_{j+1}}a_{j+2}^{r_{j+2}}...a_{n}^{r_{n}}} x = x ( 1 ) {\displaystyle x=x_{(1)}}
如果 x ∈ W ( A ) {\displaystyle x\in W(A)} n {\displaystyle n} x ( n ) {\displaystyle x_{(n)}}
定義 14： 在集合 A {\displaystyle A} 自由群 F ( A ) {\displaystyle F(A)} n {\displaystyle n} x ∈ W ( A ) {\displaystyle x\in W(A)} x ( n ) ∈ F ( A ) {\displaystyle x_{(n)}\in F(A)} F ( A ) ⊆ W ( A ) {\displaystyle F(A)\subseteq W(A)} F ( A ) {\displaystyle F(A)} x , y ∈ F ( A ) {\displaystyle x,y\in F(A)} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} x ∗ y {\displaystyle x*y} ( x y ) ( n + m ) {\displaystyle (xy)_{(n+m)}}
定理 15： F ( A ) {\displaystyle F(A)} 是 一個群。
證明 :
例 16： 我們將考慮 1 和 2 個字母的自由群。令 A 1 = { a } {\displaystyle A_{1}=\{a\}} A 2 = { a , b } {\displaystyle A_{2}=\{a,b\}}
F ( A 1 ) = { a n ∣ n ∈ Z } {\displaystyle F(A_{1})=\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}} a n a m = a n + m {\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}} F ( A 2 ) = { ∏ i = 1 n a i b i ∣ a i ∈ F ( { a } ) , b i ∈ F ( { b } ) } {\displaystyle F(A_{2})=\{\prod _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\mid a_{i}\in F(\{a\}),b_{i}\in F(\{b\})\}} a i ≠ e {\displaystyle a_{i}\neq e} i > 1 {\displaystyle i>1} b i ≠ e {\displaystyle b_{i}\neq e} i < n {\displaystyle i<n} ( a 2 b − 3 a ) ( a − 1 b a ) = a 2 b − 3 a a − 1 b a = a 2 b − 3 b a = a 2 b − 2 a {\displaystyle (a^{2}b^{-3}a)(a^{-1}ba)=a^{2}b^{-3}aa^{-1}ba=a^{2}b^{-3}ba=a^{2}b^{-2}a} 在本節中，我們將簡要介紹另一種定義群的方法，即透過指定群表示 。
定義 17： 設 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} 正規閉包 定義為包含 H 的 G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} H {\displaystyle H}
N = ⋂ H ⊆ K K ⊴ G K {\displaystyle N=\bigcap _{\stackrel {K\trianglelefteq G}{H\subseteq K}}K} 定義 18： 設 S {\displaystyle S} R ⊆ F ( S ) {\displaystyle R\subseteq F(S)} N {\displaystyle N} R {\displaystyle R} F ( S ) {\displaystyle F(S)} ⟨ S ∣ R ⟩ = F ( S ) / N {\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F(S)/N} S {\displaystyle S} 生成元 ， R {\displaystyle R} 關係式 。如果 G {\displaystyle G} G ≈ ⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle G\approx \langle S\mid R\rangle } ⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle \langle S\mid R\rangle } G {\displaystyle G} 表示 。
使用前面定義的群表示的概念，我們現在可以定義另一種群積。
定義： 設 G {\displaystyle G} G ′ {\displaystyle G^{\prime }} ⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle \langle S\mid R\rangle } ⟨ S ′ ∣ R ′ ⟩ {\displaystyle \langle S^{\prime }\mid R^{\prime }\rangle } G {\displaystyle G} G ′ {\displaystyle G^{\prime }} 自由積 ，記作 G ∗ G ′ {\displaystyle G*G^{\prime }} ⟨ S ∪ S ′ ∣ R ∪ R ′ ⟩ {\displaystyle \langle S\cup S^{\prime }\mid R\cup R^{\prime }\rangle }
備註： 根據上下文，特別是當我們只處理阿貝爾群時，我們可能需要阿貝爾群的自由積是阿貝爾群。在這種情況下，自由積等於直積。這是阿貝爾群比非阿貝爾群表現更好的另一個例子。
引理： 自由積包含其構成群作為子群。
備註： 自由積不是先前討論意義上的積。它不滿足其他積所滿足的泛性質。相反，它滿足“相反”或*對偶*性質，透過反轉交換圖中所有箭頭的方向得到。我們通常稱滿足這種泛性質的構造為*餘積*。
問題 1： 令 H {\displaystyle H} K {\displaystyle K} H × K {\displaystyle H\times K} H {\displaystyle H} K {\displaystyle K}
