抽象代數/線性代數

讀者需要對線性代數有一定的瞭解。例如，以下陳述

給定向量空間 $V$ 和 $W$，基底分別為 $B$ 和 $C$，維數分別為 $n$ 和 $m$，則線性對映 $f\,:\,V\to W$ 對應於一個唯一的 $m\times n$ 矩陣，該矩陣取決於基底的選擇。

應該熟悉。不可能在一節中總結線性代數的相關主題，因此建議讀者閱讀線性代數書籍。

無論如何，線性代數的核心是研究線性函式，即具有性質 $f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$ 的函式，其中希臘字母表示標量，羅馬字母表示向量。

有限生成向量空間理論的核心是以下內容

每個有限維向量空間$V$都與$\mathbb {F} ^{n}$同構，其中$\mathbb {F}$是某個域，$n\in \mathbb {N}$是某個自然數，稱為$V$的維數。指定這樣的同構等同於為$V$選擇一個基。因此，任何維數為$n$和$m$的向量空間之間的線性對映$f\,:\,V\to W$，在給定基$\phi$和$\psi$的情況下，會誘導一個唯一的線性對映$[f]_{\phi }^{\psi }\,:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$。這些對映正是$m\times n$矩陣，該矩陣稱為$f$關於基$\phi ,\psi$的矩陣表示。

備註：將向量空間的基與$\mathbb {F} ^{n}$的同構進行識別，對讀者來說可能是一個新的概念，但基本原理是一樣的。向量空間的另一個術語是座標空間，因為空間中的任何點都可以用某個特定基表示為域元素的序列。（所有基在某個非奇異線性變換下都是等價的。）與箭頭、長矛或匕首等尖銳物體相關的名稱，對於那些不希望拿起這種武器的愛好和平的人來說是令人厭惡的。座標空間中一個點的方向或方向隱含在實數軸的正方向中（如果該域是實數），或者隱含在域的乘法群的極座標表示式中設立的方向中。

一個具有基底 $\{e_{1},e_{2},...e_{n}\}$ 的座標空間 V 的向量可以表示為 $v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}=(x_{1},x_{2},...x_{n}).$，其中 e_i 除第 i 個位置為 1 外，其餘位置均為 0。

作為代數結構，V 是一個阿貝爾群 (向量的加減)、一個標量域 F (x_i 的來源)、其乘法群 F *，以及一個群作用 F * x V → V 的結合體，給出

$(k,v)\mapsto \sum _{i=1}^{n}kx_{i}e_{i}=(kx_{1},kx_{2},...kx_{n}).$ 群作用是標量-向量乘法。

線性變換是從一個座標空間 V 到另一個座標空間 W 的對映，對應於一個矩陣 (a_{i j} )。假設 W 的基底是

$\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\ {\text{and vectors}}\ \ w=\sum _{i=1}^{n}y_{i}f_{i}=(y_{1},y_{2},...y_{n}).$

那麼矩陣 (a_{i j} ) 的元素由 y_j 依賴於 x_i 的變化率給出

$a_{ij}={\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}=$ 常數。

一個常見的案例涉及 V = W 且 n 是一個較小的數字，例如 n = 2。當 F = {實數} = R 時，矩陣集表示為 M(2,R)。作為代數結構，M(2,R) 有兩個二元運算，使其成為環：按分量加法和矩陣乘法。參見關於 2x2 實數矩陣 的章節，瞭解 M(2,R) 被分解為平面代數的鉛筆。

更一般地，當 dim V = dim W = n 時，(a_{i j} ) 是一個方陣，是 M(n, F) 的元素，它是一個具有 + 和 x 二元運算的環。這些代數基準作為表示。特別地，當此類矩陣的行或列線性無關時，則存在一個矩陣 (b_{i j} ) 作為關於單位矩陣的乘法逆。可逆矩陣的子集稱為一般線性群，GL(n, F)。該群及其子群承擔著證明與其相關的物理對稱性的責任。

該領域的先驅包括 w:索菲斯·李，他將連續群視為從 1 沿所有方向演變，遵循一個現在以他命名的“代數”。w:赫爾曼·外爾 在愛德華·施圖迪的激勵下，探索並命名了 GL(n, F) 及其子群，稱它們為經典群。