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請在討論頁面上討論是否應該進行合併。

一個群是一個具有多個特殊性質的集合。群在研究數學的許多不同領域非常有用。群論是對群、其結構和性質的研究。我們在數學中遇到的許多集合，當我們將其與一個運算聯絡起來時，都具有一定的結構。例如，當我們將整數與乘法或加法聯絡起來時，整數具有很多性質。透過以群的形式概括這些性質，我們獲得了一個強大的工具，可以用來描述所有服從群律的數學物件的許多性質。

一個群是一個集合，比如 $G$ ，以及一個二元運算，我們稱之為 $*$ ，滿足以下性質

對 $*$ 的封閉性：如果 $a$ 、 $b$ 屬於 $G$ ，那麼 $a*b$ 也屬於 $G$ 。這意味著，如果我們有兩個來自 $G$ 的元素，而 $a*b$ 不屬於 $G$ ，那麼 $G$ 不能是群。
$*$ 的結合律：如果 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $G$ 的元素， $(a*b)*c=a*(b*c)$ ，就像加法和乘法一樣，但自然數的減法不滿足結合律。
存在單位元：在 $G$ 中存在一個元素，我們將其記為 $e$ ，使得對於任何 $a$ 屬於 $G$ ，有 $e*a=a*e=a$ 。我們稱 $e$ 為單位元，有時也記為 $I$ ， $1$ ，或 $E$ 。
存在逆元：對於任何 $a$ 屬於 $G$ ，存在一個元素 $q$ 屬於 $G$ ，使得 $q*a=a*q=e$ 。我們通常將 $q$ 記為 $a^{-1}$ 。

任何滿足這四個性質的二元運算集合就是一個群。從技術上講，群是一個集合以及一個運算，可以寫成一個有序對 $(G,*)$ ，儘管通常的做法是將群視為集合 $G$ 。但是需要注意的是，給定集合在不同的運算下可以形成不同的群。

注意單位元是唯一的，因為如果 e 和 e' 是單位元，那麼 e=ee'=e'。

術語

如果運算是一種加法，我們將該群稱為 *加法群*。在這種情況下，標準做法是用 $+$ 表示該運算，用 $0$ 表示單位元，用 $-a$ 表示 $G$ 中 $a$ 的逆元。如果運算是一種乘法，我們將該群稱為 *乘法群*。在這種情況下，我們經常使用 $*$ 或一個點表示運算，並簡寫為 $ab$ 來表示 $a*b$ 。我們經常用 $e$ 或 $1$ 表示單位元，用 $a^{-1}$ 表示 $G$ 中 $a$ 的逆元。

請注意，在我們上面的群公理中，我們並沒有假設 *交換律*（這意味著如果我們有任意兩個元素 $x$ 和 $y$ ，那麼 $x*y=y*x$ ），這是我們在對實數進行代數運算時習慣擁有的性質。這種性質在某些群中成立，而在另一些群中則不成立；如果它對某個特定群成立，我們將該群稱為 *阿貝爾群*，以紀念數學家尼爾斯·阿貝爾。按照慣例，只有當群是阿貝爾群時才會談論加法群（這是因為有很多非交換乘法（例如矩陣乘法）的常見例子，但沒有加法的例子）。

我們稱集合 $G$ 中元素的個數（即 $G$ 的基數）為群的 *階*，我們記作 $|G|$ （也可以記作 $O(G)$ 甚至 $\#G$ ，但我們主要使用 $|G|$ ）。群可以具有 *有限* 階或 *無限* 階，我們分別稱之為有限群和無限群。此外，元素 a 在 G 中的階是指第一個使得 $a^{n}$ 為單位元的自然數 n。如果不存在這樣的 n，則認為它的階為無限，並且 a 的所有冪都是不同的。

示例

讓我們看看一些簡單的有限群，看看這些規則是如何應用的，然後再看看一些無限群的例子。

(Z₂,+)

Z₂={0,1}（參見群表）是整數除以 2 後得到的餘數集合。只有兩種可能的餘數，0 和 1。所以在 Z₂ 中，我們有兩個元素 {0,1}。這個集合被稱為 *模 2 的整數集合*。請注意，一個整數等於它模 2 的餘數。例如，9 模 2 等於 1，因為當您將 9 除以 2 時，您最終得到的餘數為 1。我們用 "+" 表示模 2 加法運算，定義為整數的普通加法。那麼 (Z₂,+) 是一個群嗎？

讓我們逐一檢查要求。

封閉性：可以透過遍歷所有可能的情況來快速驗證：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0。*因此封閉性成立*。
結合律：a+(b+c)=(a+b)+c（透過遍歷所有可能的情況進行證明並不困難，您應該自己驗證）。*結合律成立*。
單位元：0+0=0，1+0=1，0+1=1，所以 0 是單位元。*因此存在單位元，事實上它是 0*。
逆元：1+1=2=0 模 2，所以 1 是 1 的逆元。0+0=0，所以 0 是 0 的逆元。由於 0 和 1 是唯一的元素，因此每個元素都有逆元。*因此存在逆元*。

我們已經證明了群的每個性質都滿足。所以 (Z₂,+) 是一個群。此外，每個元素都是它自己的逆元，並且單位元是 0。

同理可以證明 Z_m={0,1,...m-1}，即整數除以 m 後得到的餘數集合，也是一個群。運算為模 m 加法。

( (Z₅)^*, × )

在 (Z₅)^* 中，（參見群表）這意味著 Z₅ 去掉 0 後，我們有 {1,2,3,4}。這些只是 Z₅ 中具有乘法逆元的元素（參見數論）。令 × 表示模 5 的普通乘法。

同樣，讓我們逐一檢查要求。

封閉性：可以透過觀察快速驗證：例如，3×4=12=2 模 5。剩下的情況也很容易驗證。*因此封閉性成立*。
結合律：a×(b×c)=(a×b)×c（同樣，透過情況進行證明並不困難）。*結合律成立*。
單位元：1×1=1，1×2=2，1×3=3，1×4=4。所以 1 是乘法運算的單位元。*因此存在單位元*。
逆元：1×1=1，所以 1 是 1 的逆元。2×3=6=1 模 5，所以 2 和 3 互為逆元。而 4×4=16=1 模 5，所以 4 是它自己的逆元。*因此存在逆元*。

因此 ((Z₅)^*, ×) 是一個群。

注意

Z₅={0,1,2,3,4} 是模 5 的 *加法* 群，(Z₅)^*={1,2,3,4} 是模 5 的 *乘法* 群。乘法群只是加法群去掉了 0。原因是，要形成一個群，我們需要每個元素都有逆元。但 0 沒有乘法逆元（也就是說，不存在整數 a 使得 0×a=a×0=1），因此我們把它排除在外，形成乘法群。

(Z, +)

整數在加法運算 + 下構成一個群。同樣，為了證明這一點，我們只需要檢查上面的四個群公理是否滿足即可。

封閉性：我們需要的是，如果 a 和 b 是整數，那麼 a+b 也是整數。但這根據定義是正確的。*封閉性成立*。
結合律：我們需要的是，如果 a、b 和 c 是整數，那麼 (a+b)+c=a+(b+c)。但是，我們知道這在普通加法中是正確的。*因此結合律成立*。
單位元：0 是單位元，因為 0+a=a+0=a，對於任何整數 a 都是如此。*因此存在單位元*。
逆元：a 的逆元是 -a，因為 -a+a=a+-a=0，對於任何整數 a 都是如此。*因此存在逆元*。

所以 (Z,+) 是一個群。

(Q, ×)

Q 是所有有理數的集合；即可以表示為兩個整數的比率的數， $a/b$ .

(Q, ×) *不是* 一個群。封閉性、結合律和單位元公理都成立，但由於 0 ∈ Q，0 的逆元必須是 1/0，而這沒有意義；0 沒有逆元，所以 (Q, ×) 不是一個群。如果我們從 Q 中去掉 0，我們就能得到一個群。

然而，它 *是* 一種稱為 *么半群* 的物件，這基本上是一個“沒有逆元的群”。還有幾種其他型別的類似物件（例如，“類群”和“半群”），它們滿足一些群性質，但不滿足其他性質。在本節中，我們不會討論它們。

置換

群可以不僅僅是數字的抽象概念。讓我們考慮一下*排列*：排列是對一些符號的重新排列，使得這些符號處於不同的順序。因此，例如，(a, b, c) 的一個排列可以是 (b, c, a)。我們已經重新排列了 (a, b, c)，所以 a 是最後的。暫時，讓我們用箭頭來寫 (a, b, c) 的排列，因此上面的排列可以寫成 (a, b, c) → (b, c, a)。我們甚至可以給這個排列起一個名字，所以，我們可以說 (a, b, c) → (b, c, a) 是一個排列 p。

具有三個元素的排列集合構成一個群。如果我們將 * 作為我們的運算，那麼讓 x*y 表示 “對三個元素的順序進行 y，然後再進行 x”。

例如，如果我們讓

x 表示 (a, b, c) → (c, b, a)，並且

y 表示 (a, b, c) → (a, c, b)，那麼我們有

x*y 首先將 (a, b, c) 變成 (a, c, b)（記住我們先進行 y），

然後將其變成 (b, c, a)。

注意：我們先進行 y 而不是 x 的原因可能看起來很奇怪，但這是因為這種運算基於函式的組合。

閉包：所有三個符號的重新排列也是重新排列；像 (a,b,c) → (a,a,b) 這樣的情況不可能發生。
結合律：這可以透過檢查來驗證。
單位元： (a,b,c) → (a,b,c)。
逆元：這可以透過檢查來驗證。如果我們對某些東西進行排列，我們顯然可以撤銷我們的操作以獲得我們開始時的狀態。如果我們翻轉前兩個元素，我們可以再次翻轉它們來撤銷我們的操作。

所有對 n 個物件（即 {1,...,n}）進行排列的群是一個重要的群。它被稱為對稱群，記為 S_n，其階為 n!（n 的階乘）。我們可以將其擴充套件到任何集合 S 的排列 - 在這種情況下，我們寫成 Sym(S)。

注意：這是一個很好的例子，說明一個群不是阿貝爾群。從上面的例子中可以看到

x*y(a,b,c)=(a,c,b)

而

y*x(a,b,c)=(c,a,b)

。（嘗試自己驗證這一點。）這通常是大多數排列的真實情況。

子群

在數學中的其他概念中，通常存在類似俄羅斯套娃的結構。

如果我們開啟套娃，通常裡面會有一個相同但更小的套娃。如果我們開啟那個套娃，裡面又會有一個更小的套娃，以此類推。

這種類似俄羅斯套娃的行為遍佈諸如向量空間、域等事物。在某些向量空間內部，可能存在另一個更小的向量空間，以此類推。我們在群中也擁有這種屬性。在群內部可能存在其他更小的群。

定義

子群是一個群的子集，它本身也是一個群。為了證明一個子群是一個群，我們只需要檢查以下幾點：

閉包
單位元的存在
逆元的存在

我們不需要檢查結合律，因為這是由更大的群“給定”的。如果群是有限的，那麼我們不需要檢查第三條，因為如果子群中一個元素的階為 n，那麼 $a^{n-1}$ 是它的逆元。

很明顯，只包含單位元 ({e}, *) 的集合始終是一個子群。在上面 Z₂ 的例子中，({0}, +) 是一個子群。只包含單位元的子群被稱為平凡子群。

例如，在加法下偶數構成在加法下整數的一個子群。但是，奇數不構成子群（因為 1+1=2，它不是奇數，所以違反了閉包，並且 0 不是奇數，所以它們沒有單位元）。

習題

根據上述規則，回答以下問題（偶數題的答案在後面）。

Z₂ 在加法下是否是 Z 的子群？
(Z₂, ×) 是一個群嗎？（× 表示模 2 乘法）。(Z₂^*, ×) 呢？
找出 Z₃ 的所有子群
找出 (Z, +) 的一個子群
證明三個元素的排列是結合的，並且有逆元。（提示：寫出所有有效的排列）
找到三個元素排列的一個非平凡子群。
Z₂ 在模 5 加法下是否是 Z₅ 的子群？
令 S 是群 G 的一個子集。我們定義由 S 生成的集合，記為 <S>，為所有有限乘積 x₀x₁x₂...x_n 的集合，其中對於每個 i，0<i>n，x_i 或 x_i⁻¹ ∈ S。證明 <S> 是 G 的子群。

術語和公式的“語法”可能令人困惑。嘗試將以下群公式從“加法”符號轉換為“乘法”符號。假設 a,b,c∈G，但不假設群是阿貝爾群，即使我們使用的是加法符號！

a + b - c
2b + c
a + b - a
a - a = 0
如果 a + b = 0，則 b = -a

現在嘗試將這些“乘法”公式轉換為“函式組合”語法。理想情況下，您可以將 ab 翻譯成 a ° b 或 a(b(x))。

a × b × c⁻¹ = 1
aba⁻¹ ∈ H

答案

2. Z₂ 不是，因為 0 沒有乘法逆元。Z₂^* 是。

4. 偶數是在 (Z, +) 下的一個子群

6. {(a,b,c)→(a,b,c), (a,b,c)→(c,b,a)}

8. 我們需要檢查三個屬性來確保 H=<S> 是一個子群。

閉包：由於 H 中的元素是 S 中元素或其逆元乘以彼此的有限序列，對於 H 中的兩個元素，我們可以取 S 的兩個序列並將它們連線起來以得到另一個 S 中元素的序列，這將產生另一個 H 中的元素。
單位元：由於對於 S 中的任何元素 x，x 和 x^-1 都在 H 中，根據閉包，x * x^-1 = 1（單位元）也在 H 中。
逆元：這在 H 的定義中給出。

然後 H 是 G 的子群。

10. b² × c 或 b²c

12. a × a^-1 = 1 or aa^-1 = 1 or even a ÷ a = 1. 注意“單位元”元素的名稱是如何改變的。

14. a ° b °C^-1 = I，其中 I 是恆等函式 I(x) ≡ x，對於所有 x。 or
a(b(c^-1(x))) = x

沒有答案的問題

以下是一些證明題，供您嘗試。這裡沒有答案，因為可能有多種方法來回答以下問題。

考慮一個有限群 G。證明對於所有 x ∈ G，存在一個整數 n 使得 xⁿ=e。滿足此條件的最小正整數稱為元素 x 的階；我們在此用 |x| 表示階。
設 a ∈ G。證明如果 a*b =e，則 b*a = e。也就是說，任何右逆都是左逆。
證明單位元是唯一的。
證明元素的逆元是唯一的。
設 a ∈ G。證明 (a⁻¹)⁻¹ = a。
(困難) 設 G 是一個有限阿貝爾群。證明存在 x₀,x₁,x₂,...,x_k 使得 x₀^a₀x₁^a₁x₂^a₂...x_k^a_k 唯一地生成 G 的元素，其中 0 ≤ a_m ≤ |x_m| 對於 0 ≤ m ≤ k。

陪集

陪集與子群的概念有關。假設我們有一個群 G 的子群 H。如果我們取一個元素 g ∈ G，並形成集合 {g*h|h ∈ H}，我們就得到了 H 的左陪集，我們寫成 gH。由於交換律沒有保證，我們也有 H 的右陪集，它是 {h*g|h ∈ H}，寫成 Hg。

示例

讓我們看一下 (Z4,+), 其中 + 表示模 4 加法。Z4 包含 {0,1,2,3}，並且，Z4 的一個子群是 {0, 2}。

現在，根據我們的定義，我們可以找到 Z4 的左陪集。我們有 {g+h|h ∈ H}，其中 g 是 G 中的某個元素。

首先，我們取 0 ∈ G。那麼我們遇到的第一個陪集是 {0+h|h ∈ H}={0, 2}。

取 1 ∈ G，所以 {1+h|h ∈ H}，我們得到 {1, 3}。

取 2 ∈ G，我們得到 {2, 0}={0, 2}。

最後，取 3 ∈ G，我們再次得到最後的陪集 {1, 3}。

示例

在 (Z12,+) ("時鐘算術") 中，有幾個子群可供選擇，因此有許多陪集集合需要檢查。我們的群 G 是 Z12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}；讓我們看一下 H6、H4、H3 和 H2。

查詢 Z12 子群的陪集

H6 的陪集
H6 =	{	0	,	6	}
1 →	{	1	,	7	}
2 →	{	2	,	8	}
3 →	{	3	,	9	}
4 →	{	4	,	10	}
5 →	{	5	,	11	}

H4 的陪集
H4 =	{	0	,	4	,	8	}
1 →	{	1	,	5	,	9	}
2 →	{	2	,	6	,	10	}
3 →	{	3	,	7	,	11	}

H3 的陪集
H3 =	{	0	,	3	,	6	,	9	}
1 →	{	1	,	4	,	7	,	10	}
2 →	{	2	,	5	,	8	,	11	}

H2 的陪集
H2 =	{	0	,	2	,	4	,	6	,	8	,	10	}
1 →	{	1	,	3	,	5	,	7	,	9	,	11	}

定義：子群 H 的指數是它在 G 中具有的陪集數量。有時寫成 [G:H]

屬性

從上面我們可以推斷出什麼？我們可以看到，如果 G 是群，H 是子群，

陪集劃分 G；G 中的每個元素都屬於一個且僅屬於一個陪集。換句話說，陪集要麼相同，要麼 不相交。這意味著我們得到的陪集要麼必須相等（如上所述，{0, 2}、{2, 0} = {0, 2} 都是同一個集合），要麼它們沒有共同元素（如上所述，{1, 3} 和 {0, 2} 沒有共同元素）。
x 和 y 在同一個陪集 iff x⁻¹y ∈ H - 因為這是一個等價關係，所以我們有上面的劃分事實。
gH 的大小等於 H 的大小，因為 h → gh 是一個雙射，如果兩個集合之間存在雙射，那麼這些集合的大小必須相同。

拉格朗日定理和陪集

陪集用於證明一個有趣的結論，稱為 拉格朗日定理，它告訴我們子群的大小如何與較大群的大小相關。為了使用我們的俄羅斯套娃類比，它告訴我們裡面所有玩偶會小到什麼程度。

首先，拉格朗日定理告訴我們

如果 G 是一個群，H 是一個子群，那麼 |G|=[G:H]|H|。

因此，我們可以使用拉格朗日定理在群是有限的情況下獲得群具有的陪集數量。

如果 G 是一個群，H 是一個子群，那麼有 |G|/|H| 個陪集。

我們將 H 在 G 中的陪集數量寫成 (G:H)。

為什麼這是真的？請記住，群的陪集會將其劃分；群中的每個元素都屬於一個且僅屬於一個陪集 - 如果我們取所有陪集的並集，我們就會得到原始群。顯然，所有陪集中的元素數量將是相同的；回想一下我們的定義，{g*h|h∈H} 會給我們一個陪集，我們將 H 的所有元素乘以 g。

因此，如果我們在一個陪集中有 |H| 個元素，並且我們有 n 個陪集（並且由於我們不能有陪集的一部分）|H| 必須整除 |G|。

特殊群

在您學習群論時，您可能會反覆遇到許多群。實際上，它們可能是相當特殊的群，在本節中，我們將討論其中的一些群。

正規子群、半直積和商群

考慮群 (Z, +) 和 Z 的子集，該子集由 n 的倍陣列成，它是 (Z,+) 的一個子群，我們可以寫成 (n Z, +)。這兩個群都是阿貝爾群，因為通常的加法是可交換的。如果考慮這個群及其陪集，我們就會得到模 n 的整數群 Z/n Z - 這只是 Z_n。

更一般地，對於任何阿貝爾群 G 和子群 H，我們可以構建上面這樣的群，我們稱之為 G 對 H 的商群，如下所示。如果我們定義 G 的兩個元素是等價的，如果它們的差值在 H 中，即它們屬於同一個陪集。由於陪集將群 G 分割，所以它顯然是一個等價關係。

現在讓我們定義 G 的兩個子集 H 和 K 的半直積 HK，簡單地是所有元素 hk，其中 h 在 H 中，k 在 K 中。我們使用以下結果來建立 HK 是一個群的事實。

定理：設 H 和 K 是 G 的子群。HK 是一個子群當且僅當 HK=KH，並且 HK 是 H 和 K 並集生成的群。

證明：由於 HK 是一個子群，其逆元的群 $(HK)^{-1}$ 必須相同。由於 $HK=(HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH$ ，因為 H 和 K 都是群。因此，HK=KH。反之，假設 HK=KH。那麼逆元的集合 $(HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH=HK$ ，所以它包含所有逆元。此外，它是封閉的，因為 (HK)(HK)=H(KH)K=(HH)(KK)=HK。子群 HK 必須包含 H 和 K，因此它是其並集生成的群。

現在考慮陪集 gH 和 g'H。兩個陪集 gH 和 g'H 的乘積是否與 (gg')H 相同？並不總是這樣，但可以證明在滿足一個條件的情況下，情況確實如此。

定理：設 H 是 G 的一個子群。那麼，兩個陪集 (gH)(g'H) 的乘積與陪集 (gg')H 相同當且僅當 $aHa^{-1}=H$ 對 G 中的所有 a 成立。

證明：假設 $aHa^{-1}=H$ 對 G 中的所有 a 成立。那麼 (gH)(g'H)= $(gg'(g'^{-1}Hg'H)=gg'HH=gg'H$ 。反之，假設 (gH)(g'H)=(gg')H。那麼 $aHa^{-1}$ 必須是 $aHa^{-1}H$ 的子集，因為 H 包含單位元。當然，這與 $aa^{-1}H$ =H 相同，這意味著 $aHa^{-1}$ 是 H 的子集。這也意味著 H 是 $a^{-1}Ha$ 的子集，用 $a^{-1}$ 代替 a，我們得到 H 是 $aHa^{-1}$ 的子集，這意味著 $aHa^{-1}$ 與 H 相同。

如果 g 是 G 的任意元素，H 是任意子群，則以下語句等價，如果它們成立，則 H 被稱為正規子群。

gHg⁻¹=H
gHg⁻¹⊂H
gH = Hg
每個左陪集都是右陪集。
每個右陪集都是左陪集。

注意，阿貝爾群的任何子群都是正規子群。這很容易看出來 - 取 gH 和 Hg（同樣，H 是 G 的一個子群）。如果我們寫 H={h₀=e, h₁, ..., h_n}，那麼 gH = {gh₀=e, gh₁, ..., gh_n}，但是，由於 G 是阿貝爾群，我們可以寫 {h₀g=e, h₁g, ..., h_ng}，它恰好是 Hg。

請注意，3. 並不意味著 g 與 H 中的每個元素都可交換，而只是與集合 H 可交換。

現在我們可以構造商群。設 H 是 G 的一個正規子群。然後取 H 的左陪集（或右陪集，結果相同）。然後定義

(aH)(bH)=(ab)H。

請注意，這是定義良好的，因為這個群運算本質上是集合乘積，因此，如果 a' 和 b' 在 aH 和 bH 中，那麼 a'H 和 b'H 是相同的陪集，所以 (a'b')H=(a'H)(b'H) 與 aH 和 bH 的乘積相同。

現在我們證明在該運算下陪集集合是一個群。首先，它顯然是封閉的，因為正如我們之前證明的那樣，兩個陪集的乘積本身就是一個陪集。該集合中的結合性遵循群中的結合性，因為 (aH)(bH)=(ab)H。單位元是 1H=H，即子群 H 本身。aH 的逆是 $a^{-1}H$ .

這個 H 在 G 中的陪叢集被稱為商群，記作 G/H。

示例

考慮三個元素上的置換群。為簡單起見，將 (2,3,1) 用於置換 (1,2,3)→(2,3,1)。然後，如果我們取 N 為正規子群 { (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) }，該群與 S₃ 的每個元素都可交換。考慮 S₃ 中的每個元素 s

s = (1,2,3): sN = N = Ns
s = (1,3,2): sN = { (1,3,2)(1,2,3), (1,3,2)(2,3,1), (1,3,2)(3,1,2) } = { (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1) } = { (1,3,2), (3,2,1), (2,1,3) } = { (1,2,3)(1,3,2), (2,3,1)(1,3,2), (3,1,2)(1,3,2) } = Ns。
對於其他元素 s ∈ S，sN 給出上述兩個陪集之一。你可以自己檢查一下。

請注意，(1,3,2) 不與 N 的兩個元素交換，但它確實與子群 N 本身交換。

迴圈群

讓我們看看群 (Z₅, +)。這是一個加法群。讓我們看一下 Z₅ 中的一個特定元素：2。

觀察，在 Z₅ 中

2 = 2（當然）

2+2 = 4

2+2+2 = 6 = 1

2+2+2+2 = 8 = 3

2+2+2+2+2 = 10 = 0

在將 2 不斷加到自身後，我們看到這樣已經生成了整個集合 Z₅！因此，我們稱這個元素為一個 生成元（可能存在一個元素無法生成整個集合的情況，但原始群的子集可以做到，在這種情況下，我們稱該集合為一個 生成集）。

如前所述，無論群運算加法還是乘法，我們將對某個元素 a 進行 n 次群運算的應用寫為 aⁿ，因此，如果我們想在 Z₅ 中表示 2+2+2+2，我們通常只寫 2⁴。

具有一個元素生成群的性質的群被稱為 迴圈群。

示例

(Z,+)

在加法下的整數群 (Z,+) 中，每個元素 x 都可以寫成 $x=1^{n}=1+1+...+1$ 的形式，其中 n = x。這意味著 1 是該群的生成元。

屬性

值得注意的一個有趣的性質是，所有迴圈群都是阿貝爾群，因為對於任何 x = g^a, y = g^b ∈ G

x\cdot y=g^{a}\cdot g^{b}=g^{a+b}=g^{b+a}=g^{b}\cdot g^{a}=y\cdot x

.

練習

驗證 1、3 和 4 也是 (Z₅, +) 的生成元。
設 G 的階為 n，並設它由 a 生成。然後證明以下等價
1. $a^{x}$ 的階為 n。
2. n 和 x 互質。
3. 存在一個數 y 使得 xy 與 1 模 n 同餘。

對稱群

我們之前已經接觸過對稱群，所以讓我們回顧一下：n 個元素的對稱群是所有 n 個物件的置換的群。我們也可以談論集合 J 的對稱群，其中置換是 J 的元素的置換。

如果我們指的是 n 個元素的對稱群，我們寫 S_n，如果是集合 J，我們寫 Sym(J)。

S_n 的階是 n!。因此，隨著 n 的增加，S_n 中的元素數量增長得非常快。

交錯群

對稱群的一個特例是交錯群。

現在，讓我們先假設對於任何有限的物件序列，任何奇數個換位的組合都不會給出恆等置換。我們稍後會回到這個語句的證明。

首先，如果我們對一些物件進行了一些置換，並且我們希望將它恢復到物件的恆等置換（恢復順序），我們可以不斷交換兩個物件，直到所有物件都恢復順序。如果我們必須交換這些物件奇數次，我們稱該置換為 奇置換，同樣，如果我們必須交換偶數次，我們稱該置換為 偶置換。

僅包含偶置換的群也是一個群，我們稱它為 n 個元素的 交錯群，我們記為 A_n

二面體群

階為 2n 的二面體群是具有生成元 R 和 F 的群，使得

$R^{n}$ =I, $F^{2}$ =I, $RF=FR^{-}$ ，其中 I 表示單位元。

這裡，我們可以將 R 視為旋轉，將 F 視為反射。直觀地，我們可以將二面體群理解為正多邊形所有對稱性的集合。

群同態

到目前為止，我們只考慮瞭如何觀察一個集合與其關聯的運算之間的關係，即群本身是如何運作的。但是，我們如何檢查兩個群之間的關係呢？

我們透過考慮從一個群中獲取元素並將其對映到另一個群中的特殊函式來檢視群之間的關係。我們將這些函式稱為一個特殊的名稱，同態，它們有不同的型別

同態
- 單同態是單射或一對一同態。
- 滿同態是滿射或映上的同態。
- 同構是雙射同態。
- 自同態是從一個群到自身的同態。
- 自同構是從一個群到自身的同構。

（同構和自同構是同態的特殊情況）

檢查同態允許我們對群之間的關係進行重要分析。例如，如果兩個群之間存在同構，那麼這兩個群本質上是相同的。事實上，子群與原始群之間的關係可以透過單射同態來表徵（見下文）。

所有這些同態都具有一個重要且基本的性質：據說它們“尊重群結構”。我們將在下面看到這意味著什麼。

同態

如果我們有兩個群 (G₁, *) 和 (G₂, o)，一個同態是從 G₁ 到 G₂ 的一個對映或函式 f，其中 x 和 y 是 G₁ 中的元素，使得

f(x * y) = f(x) o f(y).

重要的是要認識到對映沒有限制。這種對映的行為與函式完全相同：它可以是單射——同態將 G₁ 中的所有元素對映到 G₂ 的唯一元素（在這種情況下，同態有時被稱為單同態），或者它可以是滿射——同態將 G₁ 中的一些（或全部）元素對映到 G₂ 中的所有元素（在這種情況下，同態有時被稱為滿同態），甚至兩者兼而有之，在這種情況下它是一個同構。

就像抽象代數的其他領域（如線性代數（其中線性變換隻是同態）一樣，在群論中我們也有核的概念。同態是一個群中某些元素到另一個群的對映。這種同態的核是對映到另一個群的單位元的所有群元素的集合。

因此，如果我們有最平凡的同態，即對映整個群到 ({0},+) 的同態，那麼核將是整個群。在頻譜的另一端，同構的核只包含單位元。事實上，它的逆命題也是正確的。

一個例子

你已經遇到過三個元素上的排列群，我們有這個群的一個子群，即 {(a,b,c)→(a,b,c), (a,b,c)→(c,b,a)} 在執行第一個排列然後是第二個排列的操作下——將其表示為 *。為方便起見，我們將寫 e=(a,b,c)→(a,b,c)，以及 x=(a,b,c)→(c,b,a)。

我們還遇到了群 Z₂，{0, 1} 在模 2 加法運算下。

如果你願意，請驗證這兩個群實際上是群，以進行練習。

我們將定義一個對映 f，使得 e 對映到 0，x 對映到 1。我們可以透過情況來證明 f 是一個同態，因為這些群很小。但是，當它們很大時，如果 f 被適當定義，我們可以透過代數來做到這一點。

f(e*x)=f(e)+f(x)=0+1=1, f(e*x)=f(x)=1

f(x*e)=f(x)+f(e)=1+0=1, f(x*e)=f(x)=1

f(e*e)=f(e)+f(e)=0, f(e*e)=f(e)=0

f(x*x)=f(x)+f(x)=0, f(x*x)=f(e)=0

所以 f 因此是一個群同態。

核

我們將 G₁ 中對映到 G₂ 單位元的所有元素稱為 f 的核，表示為 Ker(f)。我們可以從這個集合中發現什麼呢？

假設 a,b ∈ G₁ 且 f(a) = f(b) = 1_G₂，也就是說，a 和 b 在核中。那麼 f(a * b) = f(a) o f(b) = 1_G₂，所以 a * b 也在核中。也就是說，核是封閉的。此外，f(1_G₁) = f(1_G₁ * 1_G₁) = f(1_G₁) o f(1_G₁)，所以 f(1_G₁) = 1_G₂。也就是說，G₁ 的單位元在核中。還有一件事是 1_G₂ = f(1_G₁) = f(a * a⁻¹) = f(a) o f(a⁻¹) = 1_G₂ o f(a⁻¹) = f(a⁻¹)，即核包含逆元。核是封閉的，有單位元，並且包含其元素的逆元。這意味著核是 G₁ 的一個子群。

核也是一個正規子群。證明。令 b ∈ Ker(f) 且 a ∈ G。現在 f(a * b * a⁻¹) = f(a) o f(b) o f(a⁻¹) = f(a) o e o f(a⁻¹) = f(a) o f(a)⁻¹ = e，這意味著 a * b * a⁻¹ ∈ Ker(f)，因此它是一個正規子群。

所以每個同態都會在 G₁ 中給我們一個正規子群。反之也是正確的：每個正規子群 N 都會產生一個同態。同態由 f(a) = aN = Na 給出，其中 a ∈ G₁ 且 aN ∈ G₂。也就是說，G₂ 的元素是 N 的陪集。嘗試透過檢查 f(a * b) = f(a) o f(b) 來驗證這是一個同態。G₂ 被稱為 G₁ 的商群，這種關係寫成 G₂ = G₁/N。稍後將詳細介紹。

然後，來自 G₁ 的同態與 G₁ 的正規子群一一對應。同態和正規子群實際上是觀察同一事物的兩種方式。

一個例子

核在表徵子群方面也很有用。這裡有一個例子。回想一下，交錯群是 S_n 的子群，包含偶排列。在選擇偶排列時，我們從 S_n 到 (Z₂,+) 建立了一個滿射同態。偶排列對映到單位元 0，而奇排列對映到 1。

然後，核是 S_n 的所有偶排列。

請注意，這也表明為什麼我們不選擇所有奇排列，因為選擇核更自然。

同構

在考慮某類數學物件時，一個合乎邏輯的問題是詢問兩個物件何時相同。例如，我們通常認為全等三角形是相同的。但是，請注意，通常有多種方式來定義相同性的關係。例如，在不同的上下文中，我們可能想要將所有相似三角形稱為相同。群的相同性關係稱為同構。

在處理集合時，如果兩個集合具有相同的基數，我們認為這兩個集合相同——也就是說，如果一個集合可以雙射對映到另一個集合。由於群是集合，因此為了使兩個群相同，它們應該作為集合相同，因此為了使兩個群 G 和 G' 同構，我們要求存在從 G 到 G' 的雙射對映。但是，群比集合具有更多的結構，因此我們應該要求我們對相同性的概念保留這種結構。

考慮到這一點，我們定義兩個群 (G, *) 和 (G', o) 是同構的，如果存在一個雙射 f: G → G'，使得 f(x * y) = f(x) o f(y)。這種雙射稱為從 G 到 G' 的同構。

任何核僅包含單位元的滿射同態 f 都是同構。為了證明這一點，我們必須證明 f 是單射。假設 f(g) = f(h)。則 f(g*h⁻¹) = f(g)*f(h⁻¹) = f(g)*f(h)⁻¹ = 1_G₂ => g*h⁻¹ = 1_G₁ => g = h。

一個例子

讓我們看看兩個小的群 B=(Z₂,+) 和 C=({1, -1}, ×)，其中 + 表示模 2 加法。

為了清楚起見，我們將 B 中的元素 “1” 表示為 1_B，並將 C 中的元素 “1” 表示為 1_C。我們可以透過定義 f 將 0 對映到 1_C，將 1_B 對映到 -1 來建立一個同構。

我們需要證明 f 滿足同構的定義屬性。顯然 f 是雙射，因為它透過觀察是單射和滿射。現在只需證明 f 尊重群結構，我們就證明了 B 和 C 是同構的。

回想一下，要證明 f 尊重群結構，我們需要證明 f(x+y)=f(x)×f(y)。由於這兩個群仍然相對較小，我們可以透過情況來輕鬆做到這一點，但是當它們很大時，如果 f 定義得當，我們可以透過代數來做到這一點。

f(0+0)=f(0)×f(0)=1_C×1_C=1_C, f(0+0)=f(0)=1_C

f(0+1_B)=f(0)×f(1_B)=-1, f(0+1_B)=f(1_B)=-1

f(1_B+0)=f(1_B)×f(0)=-1×1_C=-1, f(1_B+0)=f(1_B)=-1

f(1_B+1_B)=f(1_B)×f(1_B)=-1×-1=1_C, f(1_B+1_B)=f(0)=1_C

f 是同構，所以 B 和 C 是同構的。

兩個群具有相同元素集的例子

我們來看看我們熟悉的朋友 (Z₃\{0}, ×)

通常，我們有乘法表

{\begin{matrix}\times &1&2\\1&1&2\\2&2&1\\\end{matrix}}

然後考慮同態 f，使得 f(x)=2×x（當然模 3）。應用此同態，我們得到乘法表

{\begin{matrix}\times &1&2\\1&2&1\\2&1&2\\\end{matrix}}

凱萊定理

傳統上，只考慮置換群。我們公理化的處理方法消除了無關的因素，但它實際上並沒有給我們一類更一般的物件。因為有一個由阿瑟·凱萊提出的定理，它說每個有限群都同構於一個置換群的子群——對稱群。

證明

我們證明 G 同構於其自身置換群 Sym(G) 的一個子群。給定一個元素 g ∈ G，我們將 g 與函式 G → G 識別，該函式將元素 h ∈ G 傳送到 g*h。我們需要證明這個函式是雙射，因此是一個置換。假設 g*x = g*y。然後在左邊乘以 g⁻¹，我們看到 x = y，所以這個函式是單射。為了證明它是滿射，設 y ∈ G，那麼這個函式將 g⁻¹*y 傳送到 g*g⁻¹*y = y。因此這個函式是滿射和一個轉置。

我們必須證明每個元素 g 都定義一個不同的置換。要看到這一點，假設 g*x = g'*x。然後在右邊乘以 x⁻¹，我們看到 g = g'。

最後，我們必須證明我們的對映 G → Sym(G) 尊重群結構。這留給讀者作為練習。

自同構

定義

如果我們有一個從群 (G, *) 到 (G, *) 的同構——本質上是群與其自身的同構？當我們能夠建立這種同構時，我們稱之為自同構。

一種特定型別的自同構是內自同構，它對所有元素進行共軛，這意味著它是一種形式為 f:G->G 的自同構，由 f(h)=ghg⁻¹ 給出。如果一個自同構不是內自同構，那麼我們稱之為外自同構。

一個例子

在 Z₃ 中，我們將 1 和 2 互換。

在這個群中，“0” 是不同的，但“1” 和“2” 本質上是相同的：將其中一個加到自身會得到另一個，將兩者加起來得到 0，將 0 加到任何元素都會得到（當然）相同的。因此，在乘法表中互換 1 和 2 會得到相同的表。我們可以認為“1” 和“2” 是兩個相同事物的不同標籤——自同構交換了這兩個標籤。如果我們有一個這個群的乘法（加法）表，但元素標記為 a、b 和 c，我們可以識別出哪個是單位元，但我們無法區分另外兩個。

Z₃
+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Z_abc : 0→a, 1→b, 2→c
+	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

Z_acb : 0→a, 1→c, 2→b
+	a	c	b
a	a	c	b
c	c	b	a
b	b	a	c

請注意 Z_abc = Z_acb。例如，在兩個群中 b + c = a。

以下包含一些未排序的定義

簡單群是一個沒有真正常子群的群。群的自同構群是所有保留群結構的雙射變換的群。如果我們有一個滿射同態 f:G->K，其核為 H，以及一個同態 g:K->G，使得 fg:K->K 是單位同態，那麼我們說 G（同構於）H 和 K 的半直積。群的中心是與群中所有其他元素交換的子群。

習題

證明群的中心始終是一個子群。
證明置換群 S_n 的共軛類與 n 的劃分之間存在一一對應關係。

同構定理

因子定理 設 G 為一個群，N 為一個正常子群。設 f 為從 G 到 H 的同態，其核 K 包含 N。設 g 為從 G 到商空間 G/N 的同態，其中 g(a)=gN，即從元素到包含它的陪集的對映。則存在從 G/N 到 H 的同態 f'，使得 f'(g(a))=f(a) 對 G 的所有元素都成立。當且僅當 f 本身是滿射時，此 f' 將是滿射，並且當且僅當核 K 不包含除 N 之外的任何元素時，它將是單射，即 K=N。

證明為了使 f'(g(a)) 等於 f(a)，f'(aN) 必須等於 f(a)，這表明 f' 是唯一的。這個函式是良定義的，因為假設 a 和 b 屬於同一個陪集。那麼 $ab{-1}$ 屬於 N，因此屬於 K，表明 f( $ab{-1}$ )=f(a)f( $b{-1}$ )=1，表明 f(a)=f(b)。

為了檢查這個函式是否是同態，f'(aNbN)=f'((ab)N)=f(ab)=f(a)f(b)=f'(aN)f'(bN)，所以它是一個同態。

現在，顯然 f' 的像與 f 的像相同，當 f 是滿同態時，f' 是滿同態。現在假設核 K=N，並且 f'(aN)=f'(bN)。那麼 f(a)=f(b)，所以 f( $ab{-1}$ )=1，所以 $ab{-1}$ 在核內，因此在 N 內。這表明 a 和 b 屬於同一個陪集，因此 aN 和 bN 是相同的陪集。

注意，這個定理的結果是，當 f 是滿同態且 K=N 時，f' 是同構。

以下是一個直接的結果

第一同構定理

令 f 是從 G 到 H 的同態，核為 K。那麼 f 的像是與 G/K 同構的。

證明使用上面的因式定理，子群與核相同，同態是其像上的滿同態，G/K 必須與 H 同構。

現在令 N 為一個正規子群，令 H 為任何子群。我們這裡有有用的

定理

HN=NH，所以 HN 是 G 的一個子群。
N 是 HN 的正規子群
H 和 N 的交集是 H 的正規子群。

證明

hN=Nh 對 H 內的每個 h 成立。
aN=Na 對 G 內的任何 a 成立，所以 aN=Na 對 HN 內的任何 a 成立。
由於 N 是一個正規子群，因此對於 H 內的任何 h，hN=Nh。由於 H∩N 完全在 H 內，讓 h 為 h 的元素，h(H∩N) 完全在 H 內，並且是 hN 的子集，實際上是 H∩(hN)，因為它本質上包含陪集 hN 中的所有 H 元素，並且不可能包含任何其他元素。類似地，(H∩N)h 也是 Nh 的子集，H∩(Nh)。由於 hN=Nh，因此 h(H∩N)=(H∩N)h。

第二同構定理

令 G 為一個群，令 H 為 G 的一個子群，令 N 為 G 的一個正規子群。那麼 H/(H∩N) 與 (HN)/N 同構。

證明令 f 是從 G 到 G/N 的一個函式，使得 f(a)=aN。現在我們將函式的定義域限制在 H 內的點。那麼這個函式是從 H 到 G/N 的一個函式，核為 H∩N。因此，H/(H∩N) 與這個限制函式的像同構，這個像本質上是所有 aN，其中 a 在 H 內。這僅僅是 (NH)/N，因為 NH 包含所有可能的陪集 hN，其中 h 在 H 內，因此商群僅僅是所有 hN，其中 h 在 H 內。

第三同構定理

令 G 為一個群，令 N 為 G 的一個正規子群，令 H 為包含在 N 中的 G 的一個正規子群。那麼 G/N 與 (G/H)/(N/H) 同構。

證明定義函式 $f:(G/N)\rightarrow G/H$ 為 f(aN)=aH。如果 aN=bN，那麼它們屬於 N 的同一個陪集，並且由於 N 是 H 的子群，因此屬於 H 的同一個陪集，因此它是良定義的。很明顯這是一個滿同態。核是對映到 H 的所有元素，因此是 N 的所有在 H 中的陪集，本質上意味著 H/N。因此，根據第一同構定理，G/N 與 (G/H)/(N/H) 同構。

對應定理

同構定理的主要結果實際上被稱為因式定理。設 N 為 G 的任意正規子群，H 為包含 N 的 G 的任意子群。很明顯，N 是 H 的正規子群。定義函式 f(A)=A/N 將包含 N 的 G 的子群集對映到 G/N 的子群。這是一個一一對應。此外， $H_{1}$ 是 $H_{2}$ 的子群當且僅當 $H_{1}/N$ 是 $H_{2}/N$ 的子群，並且兩種情況下的陪集個數相同。此外，H 是 G 的正規子群當且僅當 H/N 是 G/N 的正規子群，並且 $H_{1}$ 是 $H_{2}$ 的正規子群當且僅當 $H_{1}/N$ 是 $H_{2}/N$ 的正規子群。

Proof Given the fact that this is one-to-one, we can also form the inverse of f by using $f^{-1}(A/N)=A$ , which is also a one-to-one function. Thus, f is a bijection. It is also quite obvious that when $H_{1}$ is a subgroup of $H_{2}$ , that $H_{1}/N$ is a subgroup of $H_{2}/N$ . Conversely, when $H_{1}/N$ is a subgroup of $H_{2}/N$ , the application of the inverse of f also makes it obvious that $H_{1}$ is a subgroup contained within $H_{2}$ , automatically making $H_{1}$ a subgroup of $H_{2}$ . We prove that the number of cosets in both cases is the same by defining the bijection $g(aH_{1})=(aN)(H_{1}/N)$ which is well-defined because if $aH_{1}=bH_{1}$ then they belong to the same coset of $H_{1}$ , they also belong to the same coset of $H_{1}/N$ . Now suppose that H is a normal subgroup of G. Then $(aN)(H/N)(aN)^{-1}=(aHa^{-1})/N=H/N$ indicating that H/N is a normal subgroup of G/N. Now let H/N be a normal subgroup of G/N. Now consider the function $h(x)=(xN)(H/N)$ which is obviously a homomorphism. The kernel of this is all elements which map onto H/N, and is thus all cosets of N which map onto an element of H. Thus, H is the kernel of this, and so is a normal subgroup of G. Now suppose that $H_{1}$ is a normal subgroup of $H_{2}$ . Then if we consider N as a normal subgroup of $H_{2}$ , then we immediately get the result that whenever $H_{1}/N$ is normal in $H_{2}/N$ , that $H_{1}$ is normal in $H_{2}$ from what we had already proven. Conversely just use the third isomorphism theorem to prove the converse.

群作用

在我們繼續進行技術細節之前，讓我們考察一下群的一種應用。對具有底層集合論結構的結構起作用的對稱性（即保持結構的自同構）的描述通常可以使用一個稱為群作用的概念來完成。它基本上告訴我們任何特定的對稱性如何作為集合上的變換起作用。我們已經看到了很多這種群的使用。

示例

共軛

給定一個群 $G$ 和一個元素 $a$ 在 $G$ 中，很容易看出對映 $\phi :G\to G$ 由 $\phi (x)=a^{-1}xa$ 定義是一個自同構 $G$ ，因此 $G$ 中的每個元素都產生了一個自同構。不同的元素可能會產生相同的自同構。例如，如果 $G$ 是阿貝爾群，那麼所有這樣的自同構都是恆等對映。在這個意義上，我們說群 $G$ 作用於集合 $G$ 上：對於集合 $G$ 中的任何 $x$ ，群 $G$ 作用於它，將 $x$ 傳送到 $a^{-1}xa$ 。

定義

給定一個群 $G$ 和一個集合 $X$ ， $G$ 在 $X$ 上的作用是一個同態 $\rho$ ，從 $G$ 到 $X$ 的置換群。回想一下， $X$ 上的置換形成一個群，其群運算為對映的複合，因此 $\rho$ 是一個同態意味著，首先， $G$ 中的單位元對映到單位置換，其次，給定 $g$ 和 $h$ 在 $G$ 中，以及 $x$ 在 $X$ 中， $g(h(x))=(gh)(x)$ ；也就是說， $G$ 中兩個元素的乘積與依次應用每個元素的作用效果相同。

軌道、穩定子與類方程

當一個群作用在一個集合上時，很自然地會問，給定集合中的一個元素，群如何影響這個單個元素？群會把它送到哪些位置？這就是元素的軌道。給定 $X$ 中的一個元素 $x$ ， $x$ 的軌道，記為 $G_{x}$ ，是所有點 $g(x)$ 的集合，其中 $g$ 是 $G$ 中的所有元素。

練習：軌道是一個等價類；也就是說，對於任何在 $X$ 中的 $x$ ， $y$ ，由 $x\sim y$ 定義的關係，當且僅當 $\exists g\in G$ 使得 $g(x)=y\,$ 是一個等價關係。

有可能 $G$ 中的兩個元素，它們在 $X$ 上的排列是不同的，但將 $x$ 傳送到同一個位置。那麼如何找到 $x$ 可能的不同目的地的數量，即 $G_{x}$ 的階數？與其將 $G$ 中的每個元素應用到 $x$ 上，看看它們是否以不同的方式工作，我們尋找另一個極端，即 $G$ 中的不會移動 $x$ 的元素。

For any $x$ in $X$ , the stabilizer of $x$ , denoted by $S(x)$ , is the set of elements of $G$ that leaves $x$ fixed. It can be checked that $S(x)$ is a subgroup in $G$ . Consider the left cosets of $S(x)$ . Any element in a left coset $aS(x)$ can be written as the product $as_{1}$ for some $s_{1}$ in $S(x)$ . The action of $as_{1}$ on $x$ then becomes $as_{1}(x)=a(s_{1}(x))=a(x)$ . On the other hand, given an element $b$ in $G$ that has the same effect on $x$ as $a$ , we have $a(x)=b(x)$ so $b^{-1}a(x)=x$ . This implies $b^{-1}a$ belongs to $S(x)$ , and $a$ , $b$ must belong to the same left coset of $S(x)$ .

我們已經證明了以下內容

定理： $G$ 是一個作用於集合 $X$ 的群。給定 $x\in X$ ， $S(x)$ 的左陪集與 $x$ 的軌道一一對應。

因為 $S(x)$ 是 $G$ 的一個子群，陪集的數目等於 ${|G| \over |S(x)|}$ 。由於軌道是劃分集合 $X$ 的等價類，我們有以下結論。

定理（類方程）： $|X|=\sum _{x\in X}{|G| \over |S(x)|}$ ，其中元素 $x$ 取自每個等價類。

如果 $X$ 中每個元素的穩定子群都是平凡子群，則稱 $G$ 作用是自由作用。

習題

證明任何 G 作用於 X 會將 X 分割成不相交的軌道。（順便說一句，這解釋了為什麼如果 H 是 G 的子群，H 會將 G 分割成陪集。G 上存在一個規範的左 H 作用。）
證明 G 作用於任何軌道也是一個 G 作用。
證明穩定子群總是子群。

如果 G 作用於 X 只包含一個軌道，則稱它是傳遞作用。如果 ρ 是單射，則稱 G 作用是忠實作用。

凱萊定理：每個群 G 都有一個傳遞且自由作用的 G 作用（這兩個性質合稱為單傳遞）。此外，這個 G 作用在同構意義下是唯一的。

推論：每個群 G 都同構於某個置換群的子群（它不一定是有限的）。

定理：X 中任何元素 x 的軌道同構於 G 作用於 G/Stab(x)，其中 Stab(x) 是 x 的穩定子群。

即使如此，在談論指數運算時，我們也需要考慮上述符號。在一般情況下，b^c 表示 b×b×b×...，即 b 自身相乘 c 次。然而，在加法群中，我們仍然寫 b^c，但它表示 b+b+b...=cb。第一次看到像 $2^{3}=6$ 或 $1^{4}=4$ 這樣的表示式時，可能會讓人感到困惑。-->

直積

術語

示例

(Z2,+)

( (Z5)*, × )

注意

(Z, +)

(Q, ×)

置換

子群

定義

習題

答案

沒有答案的問題

陪集

示例

示例

屬性

拉格朗日定理和陪集

特殊群

正規子群、半直積和商群

示例

迴圈群

示例

(Z,+)

屬性

練習

對稱群

交錯群

二面體群

群同態

同態

一個例子

核

一個例子

同構

一個例子

兩個群具有相同元素集的例子

凱萊定理

證明

自同構

定義

一個例子

習題

同構定理

第一同構定理

定理

第二同構定理

第三同構定理

對應定理

群作用

示例

共軛

定義

軌道、穩定子與類方程

習題

直積

(Z₂,+)

( (Z₅)^*, × )