抽象代數/環的層次結構

交換環

定義 11.1:

一個環 $R$ 乘法為 $\cdot$ 被稱為 **交換** 當且僅當 $a\cdot b=b\cdot a$ 對於所有 $a,b\in R$.

示例 11.2:

• 整數 $\mathbb {Z}$ 是交換的。
• 矩陣環 $\mathbb {R} ^{n\times n}$ 的 $n$ 行 $n$ 列實矩陣，矩陣乘法和逐元素加法，對於 $n\geq 2$ 不是交換的。

在交換環中，左理想是右理想，因此是雙邊理想，而右理想也是。

整環

定義 11.3:

一個 **整環** 被定義為交換環（也就是說，我們透過定義假設交換性），使得只要 $ab=0$（$a,b\in R$），那麼 $a=0$ 或 $b=0$.

我們可以用另一種方式來刻畫整環，這涉及所謂的 *零因子*。

定義 11.4:

令 $R$

因此，一個環是整環當且僅當它沒有零因子。

唯一分解整環

定理 11.?:

假設 $R$ 是一個交換環

主理想整環

由於在代數中的重要性，我們將簡要介紹*諾特環*的定義，它是一類相當廣泛的環，其中許多有用的性質成立。諾特環的理論得到了充分的研究，功能強大且內容廣泛，我們將在關於交換代數的華夏公益教科書中詳細研究它。我們在這裡給出定義的原因是主理想整環是諾特環，這將意味著它們實際上是唯一分解整環。

定義 11.?:

令$R$ 為交換環。$R$ 稱為諾特環，當且僅當對於 $R$ 的每一個理想序列 $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，使得

$I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots$

存在一個$N\in \mathbb {N}$ 使得 $I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots$.

這個條件可以解釋為說明每一個上升的理想鏈都穩定下來。諾特環以埃米·諾特的名字命名。

定理 11.?:

每一個 PID 都是諾特環。

證明:

我們之前觀察到，環的所有理想的集合是歸納的，並對。因此，如果我們得到一個上升的理想鏈

定理 11.?:

每一個 PID 都是 UFD。

證明:

令$R$ 為 PID，令$a\in R$.

歐幾里得整環

例 11.？（高斯整數）:

我們已經看到$\mathbb {Z}$ 是一個歐幾里得整環。現在考慮環

$\mathbb {Z} [i]:=\{a+ib|a,b\in \mathbb {Z} \}\subseteq \mathbb {C}$

其中加法和乘法由$\mathbb {C}$ 的加法和乘法誘導。我們將在練習中看到，這確實是一個帶單位元的交換環。此外，我們在此定義一個歐幾里得函式如下

$N(a+ib):=a^{2}+b^{2}$

這確實是一個歐幾里得函式，$\mathbb {Z} [i]$ 的單位元是 $\{+1,-1,+i,-i\}$，此外，我們可以精確地描述 $\mathbb {Z} [i]$ 的素元，並將它們與 $\mathbb {Z}$ 的素元聯絡起來。

1. 如果 $p\in \mathbb {Z}$ 是 $\mathbb {Z}$ 中的素數，那麼它要麼已經是 $\mathbb {Z} [i]$ 中的素數，要麼存在 $\pi \in \mathbb {Z} [i]$ 為高斯素數，使得 $p=\pi {\overline {\pi }}$.
2. 如果 $\pi \in \mathbb {Z} [i]$ 是高斯素數，那麼令 $n:=\pi {\overline {\pi }}$。要麼我們有 $n$ 是 $\mathbb {Z}$ 中的素數，要麼 $n=p^{2}$，其中 $p$ 是 $\mathbb {Z}$ 中的素數。
3. 在 1. 中，如果 $p\neq 2$，前一種情況當且僅當 $p\equiv 1\mod 4$ 發生，後一種情況當且僅當 $p\equiv 3\mod 4$ 發生。

證明:

首先，$N$ 的乘法性證明留作練習，也就是說，你將在練習中證明

$N((a+ib)(c+id))=N(a+ib)N(c+id)$.

然後我們必須證明帶餘除法成立。因此，令 $\sigma :=a+ib$ 和 $\tau :=c+id$ 為 $\mathbb {Z} [i]$ 中的元素。

由於$1=(-1)^{2}=i^{4}=(-i)^{4}$，$1,-1,i,-i$ 是單位元。任何其他單位元都必須具有$a+ib$ 的形式，其中$|a|+|b|\geq 2$。設$c+id$ 是它的逆元。那麼$1=N((a+ib)(c+id))=N(a+ib)N(c+id)=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 2$，產生矛盾。

最後，讓我們證明關於高斯素數與整數素數關係的陳述。

1. 由於 $\mathbb {Z} [i]$ 是一個歐幾里得整環，我們得到了 $p$ 在 $\mathbb {Z} [i]$ 中的素元分解，例如，$p=u\pi _{1}\cdots \pi _{n}$，其中 $u\in \{+1,-1,+i,-i\}$ 是 $\mathbb {Z} [i]$ 中的一個單位。如果 $n=1$，我們完成了。如果 $n\geq 2$，觀察到 $p^{2}=N(p)=N(\pi _{1})\cdots N(\pi _{n})$，由於 $p$ 是素數，整數的素因子分解唯一性意味著最多兩個 $N(\pi _{1}),\ldots ,N(\pi _{n})$ 不等於 1，而等於 1 的則是 $p$ 或 $p^{2}$。如果其中一個是 $p^{2}$，那麼 $p^{2}$ 在 $\mathbb {Z} [i]$ 中只有一個素因子，這是荒謬的，因為 $p^{2}$ 顯然不可約。如果 ${\displaystyle }$

練習

1. 證明如上定義的高斯整數確實形成了一個具有單位元的交換環。利用你對複數的知識（參見複分析華夏公益教科書中的相關章節）。