聲學/貝塞爾函式和定音鼓

簡介

在課堂上，我們已經開始討論多維波動方程的解。這些多維解中特別有趣的是針對圓形邊界條件的貝塞爾函式解。這些解的實際應用是定音鼓。此頁面將以定性和定量的方式探討定音鼓的工作原理。更具體地說，定音鼓將被引入為一個圓形膜，並以視覺方式討論其解（例如，貝塞爾函式的視覺化，定音鼓的影片和音訊形式（定音鼓播放的 wav 檔案）。此外，將包含指向有關此材料的更多資訊的連結，包括參考文獻。

定音鼓背後的數學：簡短版

當人們觀察定音鼓是如何產生聲音時，應該關注鼓面。這個圓形膜（以及鼓腔內的空氣）的振動是該樂器產生聲音的原因。這種振動鼓面的數學原理相對簡單。如果觀察鼓面上的一個微小元素，它看起來與振動弦的數學模型完全一樣（見：）。唯一的區別是，元素受到來自兩個維度的力的作用，這兩個維度與鼓面共面。由於情況相同，我們有相同的方程，只是在另一個平面維度上還有一個空間項。這使我們能夠使用亥姆霍茲方程對鼓面進行建模。下一步（在下面詳細解決）是假設鼓面（在極座標中）的位移是 θ 和 r 的兩個獨立函式的乘積。這使我們能夠將 PDE 轉化為兩個易於求解並應用於定音鼓面情況的 ODE。有關更多資訊，請參見下文。

定音鼓背後的數學：推導

所以從可靠的通用亥姆霍茲方程開始

$\nabla ^{2}\Psi +k^{2}\Psi =0.$

其中 $k$ 是波數，即膜中強制振盪的頻率除以聲速。

由於我們正在處理一個圓形物體，因此使用極座標（以半徑和角度表示）而不是直角座標更有意義。對於極座標，亥姆霍茲關係的拉普拉斯項 ($\nabla ^{2}$) 變為 ${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \theta ^{2}}}$

使用變數分離法（有關更多資訊，請參見參考文獻 3），我們將假設以下形式的解

$\Psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ).$

將此結果代回我們的可靠亥姆霍茲方程，然後乘以 $r^{2}/(R\Theta )$ 得出

${\frac {1}{R}}\left(r^{2}{\frac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r{\frac {dR}{dr}}\right)+k^{2}r^{2}=-{\frac {1}{\Theta }}{\frac {d^{2}\Theta }{d\theta ^{2}}},$

我們將與 $\theta$ 相關的項移到等式右邊。由於我們將解的變數分離成兩個一維函式，偏導數變為常導數。為了使上述等式在 $r$ 和 $\theta$ 發生變化時始終成立，等式兩邊必須等於某個常數。為了簡便起見，我將使用 $\lambda ^{2}$ 作為這個常數。這將得到以下兩個方程。

${\frac {d^{2}\Theta }{d\theta ^{2}}}=-\lambda ^{2}\Theta ,$

$r^{2}{\frac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r{\frac {dR}{dr}}+(k^{2}r^{2}-\lambda ^{2})R=0.$

第一個方程很容易看出是一個標準的二階常微分方程，它有一個基於 $\lambda$ 的頻率的正弦和餘弦的諧波解。第二個方程被稱為貝塞爾方程。這個方程的解被神秘地稱為第一類和第二類 $\lambda$ 階貝塞爾函式。這些函式，雖然聽起來很嚇人，但僅僅是半徑乘以波數的振盪函式。兩組函式隨著 $kr$ 變大而衰減，但對於第二類貝塞爾函式，當 $kr$ 趨於零時是無界的。

第一類貝塞爾函式。

現在我們已經得到了這個方程的通解，我們現在可以模擬一個無限半徑的銅鼓鼓面。但是，由於我還沒有見過無限大的銅鼓，我們需要將這個振動膜的解限制在有限的半徑內。我們可以透過應用我們對圓形膜的瞭解來做到這一點：在銅鼓的邊緣，鼓面被固定在鼓上。這意味著膜在銅鼓半徑處的終止處不能發生位移。這個邊界條件可以用以下數學描述

$R(a)=0$

其中 a 是銅鼓的任意半徑。除了這個邊界條件之外，鼓面在中心的位移必須是有限的。第二個邊界條件從解中去掉了第二類貝塞爾函式。這將我們解的 $R$ 部分簡化為

$R(r)=AJ_{\lambda }(kr)$

其中 $J_{\lambda }$ 是 $\lambda$ 階的第一類貝塞爾函式。在鼓的半徑處應用我們的另一個邊界條件要求波數 $k$ 必須具有離散值 ( $j_{mn}/a$ )，可以查閱這些值。將所有這些組合在一起，我們就得到了鼓面如何運動的解（即以下結果的實部）

$y_{\lambda n}(r,\theta ,t)=A_{\lambda n}J_{\lambda n}(k_{\lambda n}r)e^{j\lambda \theta +jw_{\lambda n}t}$

定音鼓背後的數學：整個鼓

上述推導僅針對鼓面。實際的定音鼓有一側的圓形膜被封閉的空腔包圍。這意味著當膜振動時，空腔中的空氣會被壓縮，這給求解增加了更多複雜性。用數學術語來說，這使得偏微分方程非齊次，或者簡單地說，亥姆霍茲方程的右側不等於零。這個結果需要更多的推導，這裡將不再贅述。如果讀者想了解更多，這些結果在參考文獻 6 和 7 中有討論。

感興趣的網站

從上面的推導可以看出，定音鼓在數學上非常有趣。然而，它在世界各地也有著豐富的歷史音樂傳統。由於本頁的重點是數學，下面提供了一些連結，這些連結參考了這種豐富的歷史。

• 關於波斯定音鼓的討論：伊朗和其他國家的定音鼓
• 關於定音鼓在古典音樂中的討論：定音鼓文獻
• 一個關於定音鼓的歷史、結構和技巧的巨型資源：維也納交響樂團圖書館

參考文獻

1. Eric W. Weisstein. "Bessel Function of the First Kind." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.tw/BesselFunctionoftheFirstKind.html
2. Eric W. Weisstein. "Bessel Function of the Second Kind." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.tw/BesselFunctionoftheSecondKind.html
3. Eric W. Weisstein. "Bessel Function." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.tw/BesselFunction.html
4. Eric W. Weisstein et al. "Separation of Variables." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.tw/SeparationofVariables.html
5. Eric W. Weisstein. "Bessel Differential Equation." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.tw/BesselDifferentialEquation.html
6. Kinsler and Frey, "Fundamentals of Acoustics", fourth edition, Wiley & Sons
7. Haberman, "Applied Partial Differential Equations", fourth edition, Prentice Hall Press