高階無機化學/矩陣 (1.3)

矩陣 是一個矩形的陣列，包含按行 (m) 和列 (n) 排列的量或表示式，它被視為一個整體，並根據特定規則進行操作。 矩陣的維數用 m × n 表示。在無機化學中，分子對稱性可以透過群論的數學方法進行建模。分子的內部座標系可用於生成一組矩陣，稱為表示，對應於特定的對稱操作。 因此，矩陣建模允許以數學方式相同的方式表示對分子執行的對稱操作。

矩陣運算

加法

兩個矩陣 A 和 B 的和是透過將一個矩陣的元素與另一個矩陣的對應元素相加或相減來實現的。這些運算只能對相同維數的矩陣執行。

A + B = $\sum _{i=1}^{m}(\sum _{j=1}^{n}A_{ij}+B_{ij})$ 其中 i 指代特定行，j 指代特定列。

示例

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}+$ ${\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}}=$ ${\begin{pmatrix}{a_{11}+b_{11}}&{a_{12}+b_{12}}&{a_{13}+b_{13}}\\{a_{21}+b_{21}}&{a_{22}+b_{22}}&{a_{23}+b_{23}}\end{pmatrix}}$

標量乘法

矩陣乘以標量 c，將矩陣中的每個元素乘以該標量。

cA = c · A_i,j

示例

c $\cdot$ ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\cdot a_{11}&c\cdot a_{12}\\c\cdot a_{21}&c\cdot a_{22}\end{pmatrix}}$

矩陣乘法

矩陣乘法是指計算一個矩陣 **A** 的行與另一個矩陣 **B** 的列的點積。 只有當 **A** 的列數（用 n 表示）等於 **B** 的行數（用 m 表示）時，矩陣乘法才有定義。 它們的乘積是一個 m × n 矩陣 **C**。 矩陣乘法具有一些數學性質。 首先，它是結合的；換句話說，（**A** × **B**）× **C** = **A** ×（**B** × **C**）。 此外，矩陣乘法不是交換的；換句話說，**A** × **B** ≠ **B** × **A**。

C_m×n = A_m×c · B_c×n = $\sum _{k=1}^{c}A_{i,k}B_{k,j}$

示例

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{21}\\b_{31}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}}\\{a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}}\end{pmatrix}}$

行操作

有三種基本行操作用來變換矩陣

型別	定義	操作
行交換	將一行與另一行交換	$\mathrm {R} _{i}\leftrightarrow \mathrm {R} _{j}$
行加法	將一行乘以一個倍數加到另一行	$\mathrm {R} _{i}+k\mathrm {R} _{j}\rightarrow \mathrm {R} _{i}$
行乘法	用一個標量 c 乘以一行，其中 c ≠ 0	c$\mathrm {R} _{i}\rightarrow \mathrm {R} _{i}$

方陣

方陣是指行數和列數相等的矩陣，即 n × n 矩陣。

單位矩陣

單位矩陣 **I**_n 是一個對角矩陣，其主對角線上所有元素都等於 1，其他所有元素都等於 0。 另一個矩陣與單位矩陣相乘後，第一個矩陣保持不變。 此外，與單位矩陣的乘法是可交換的；換句話說，**A** × **I** = **I** × **A**。

示例

A·I₃ = ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

跡

僅適用於方陣，矩陣的跡或特徵，$\chi$，是主對角線上所有對角元素的總和。

行列式

矩陣的行列式，記為 det(A)，是從方陣計算出的一個實數。非零行列式意味著矩陣可逆，進一步意味著構成矩陣的線性方程組只有一個解。

對於一個 2 × 2 矩陣，行列式的計算方法如下

det(A) = ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

對於一個 3 × 3 矩陣，行列式的計算方法如下

det(A) = ${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}$

更高階的行列式可以透過使用克萊姆法則計算。