工程師和科學家高階數學/偏微分方程導論

本書旨在作為偏微分方程（PDEs）的參考書，供已經牢固掌握常微分方程並對偏導數有基本瞭解的人使用。

本書旨在易於工程師和科學家閱讀，同時也能（幾乎）足夠有趣，適合數學專業的學生。請注意，不會給出關於級數收斂性、唯一性和存在性的深入證明；這一事實會讓有些人感到震驚，而另一些人則感到高興。本書更側重於解決或至少從涉及偏微分方程的問題中提取資訊。前幾章的編寫特別簡單易懂，以便例如有興趣的工科本科生可以從中受益；但是，後面會介紹和使用向量空間等更重要、更具數學性的主題。

以下是針對初學者的簡要介紹，並與常微分方程進行類比。

什麼是偏微分方程？

常微分方程（ODEs）在任何時候，只要某個實體的變化率已知就會自然地出現。這可能是人口增長的速度、速度的變化率，或者甚至士兵在戰場上死亡的速度。ODEs 描述了離散實體的這種變化。相應地，這可能是人口的資本、粒子的速度，或者一支軍隊的規模。

多個實體可以用多個 ODE 來描述。例如，在計算機圖形學中，布料通常被模擬成由彈簧連線的粒子網格，牛頓定律（一個 ODE）被應用於每個“布料粒子”。在三維空間中，這將導致為每個粒子編寫和求解 3 個二階 ODE。

偏微分方程（PDEs）與 ODEs 相似，它們涉及變化率；但是，它們的不同之處在於它們處理的是連續介質。例如，布料也可以被認為是一種連續的薄片。這種方法很可能只導致 3 個（也許 4 個）偏微分方程，這些方程將代表整個連續薄片，而不是每個粒子的 ODE 集。

這種連續體方法是一種看待事物非常不同的方式。它可能有利也可能不利：在布料的情況下，得到的 PDE 系統將過於難以求解，因此計算機圖形學行業採用了基於粒子的方法（但一個主要的反例是流體，它在大多數情況下將由 PDE 系統表示）。
雖然 PDEs 在計算機上可能不太容易求解，但它們在適用時比 ODEs 有一個主要優勢：從一個龐大的粒子系統中幾乎不可能獲得任何分析見解，而一個相對較小的 PDE 系統可以揭示很多見解，即使它不會產生解析解。

但 PDEs 並不嚴格地描述連續介質力學。就像任何數學一樣，它們是你對它們的定義。

偏微分方程的特徵

ODE 的解可以表示為一個變數的函式。例如，地球的位置可以用相對於（例如）太陽的座標表示，這些座標中的每一個都是時間的函式。請注意，其他天體的作用肯定會影響解，但它仍然可以嚴格地表示為時間的函式。

PDE 的解通常取決於多個變數。一個例子是振動弦：弦的偏轉將取決於時間以及你正在觀察弦的哪個部分。

ODE 的解稱為軌跡。它可以用一個或多個曲線圖形表示。但是，PDE 的解可能是表面、體積或其他東西，這取決於涉及的變數數量以及它們如何解釋。

一般來說，PDEs 很難求解。變數分離或積分變換等概念往往以不同的方式起作用。一個重要的困難是，PDE 的解在很大程度上取決於初始/邊界條件（ICs/BCs）。ODE 通常會產生一個通解，其中包含一個或多個常數，這些常數可以從一個或多個 ICs/BCs 中確定。但是，PDEs 並不容易產生這種通解。適用於一個初始邊界值問題（IBVP）的解法可能對不同的 IBVP 毫無用處。

PDEs 在數值上也往往更難求解。大多數情況下，ODE 可以用其最高階導數表示，並且可以使用完善的、或多或少普遍適用的方法（例如龍格-庫塔 (RK)）在計算機上非常容易地求解，前提是瞭解 ICs（邊界值問題要複雜一些）。考慮到這一點，ODE 可以透過將方程及其 ICs/BCs 輸入到正確的應用程式中並按“求解”按鈕來快速求解。但是，PDE 的 IBVP 通常需要其自身的專用解法，並且可能需要付出很大努力才能使解法的精度超過（例如）二階。

一個早期的例子

前一部分中的許多概念可以在此示例中總結。我們暫時不會處理 PDE。

考慮沿橫向絕緣的杆的熱流。換句話說，熱量只沿著杆流動，而不是流入周圍的空氣。我們把杆的溫度稱為$u$，並讓$u=u(x,t)$，其中$t$ 是時間，$x$ 表示沿杆的位置。由於溫度取決於時間和沿杆的位置，這正是$u=u(x,t)$ 所表達的。它是熱量分佈隨時間的變化。請參見下面的圖形以瞭解概念。
假設該杆的無量綱長度為$1$，並且它的初始溫度（同樣是無量綱的）已知為$u(x,0)=\sin(\pi x)$。這說明了初始條件，它取決於$x$。該函式在0到1之間形成一個簡單的凸起。您可以使用maxima自行驗證（http://maxima.sourceforge.net 或在安卓系統上）：plot2d(sin(x*%pi),[x,0,1])
假設該杆兩端（即$x=0$ 和 $x=1$）的溫度以某種方式固定為$0$。這將導致$u(0,t)=u(1,t)=0$，它指定了邊界條件。BCs 指出對於所有 t，$u=0$ 在 $x=0$ 和 $x=1$。

可以寫一個 PDE 來描述這種情況。這個 PDE 以及 IC/BCs 構成了一個初始邊界值問題 (IBVP)。該 IBVP 的解是（將物理常數取為$1$)

$u(x,t)=e^{-\pi ^{2}t}\sin(\pi x)\,$

注意

$u(x,0)=e^{-\pi ^{2}0}\sin(\pi x)=\sin(\pi x)\qquad {\mbox{(it satisfies the IC)}}\,$

$u(0,t)=e^{-\pi ^{2}t}\sin(\pi \cdot 0)=0\,$

$u(1,t)=e^{-\pi ^{2}t}\sin(\pi \cdot 1)=0\qquad {\mbox{(it satisfies the BCs)}}\,$

它也滿足 PDE，但（同樣）這將在後面介紹。

該解決方案可以被解釋為一個曲面，它在下面的圖中顯示，其中 $x$ 從 $0$ 到 $1$，而 $t$ 從 $0$ 到 $0.5$。也就是說，隨著熱量流動和消散，熱量分佈會隨著時間的推移而改變。

$u(x,t)$ 從 $t=0$ 到 $t=0.5$，以及 $x=0$ 到 $x=1$。

曲面可能不是傳達資訊的最佳方式，在這種情況下，可能更好的繪圖方式是將 $u(x,t)$ 繪製為在不同 $t$ 值下的曲線，如下所示。

$u(x,t)$ 在感興趣的域中，對於各種有趣的 $t$ 值。

偏微分方程非常多樣化，它們的初始條件和邊界條件會極大地影響它們的求解方法。因此，學習的最佳（即最容易）方法是檢視許多不同的問題以及它們的解決方法。