廣泛的影響

就像許多基本物理定律一樣，胡克定律指出載荷和變形之間的線性關係，涵蓋了小而簡單的和大和複雜的範圍。例如，該理論很好地近似了承受軸向載荷的簡單試件。當然，它也是線性彈簧的精確物理模型。它甚至對非常複雜的結構有效，只要它們線性響應。這些都是微不足道且可能不言而喻的陳述，但它們是強大而重要的。

載荷和應力

為了更深入地瞭解這一點，讓我們考慮一個最初無應力的準靜態線性彈性機械系統，該系統受到一個載荷 $F_{0}$ 的作用，該載荷具有固定的方向和作用點。系統的全域性平衡由結構中的內部應力模式維持。應力模式的特定形狀是每個點達到平衡所必需的。也就是說，如果應力大小 $\sigma _{i}$ 在某個點 $P$ 與平衡狀態 $\sigma _{0}$ 相差一個因子 $k$ ，系統將自動努力達到獨特的平衡模式。但是，可以透過將 $P$ 周圍材料的應力水平改變相同的因子 $k$ 來獲得一個新的平衡狀態，該狀態符合 $P$ 處的新的條件。因此，如果

\begin{equation} \sigma_i = k \sigma_{i0} \end{equation}

如果應力大小的重構傳播到整個系統，包括載荷作用點，則將達到全域性平衡。因此，在這種情況下，載荷本身的大小也必須改變因子 $k$ 。因此，我們可以寫

$F=kF_{0}$ (2)

方程式（）和（）產生

$\sigma _{i}={\frac {\sigma _{i0}F}{F_{0}}}=k_{i}F$ (3)

其中 $k_{i}$ 是一個常數。

方程式（）僅在歸一化應力模式不受 $k_{i}$ 大小影響的情況下才為真。如果系統是非線性的，即根據 $k_{i}$ 的大小不同地響應，則方程式（）不為真/不可靠。

載荷和應變

此外，胡克定律和方程式（）給了我們

$\epsilon _{xi}={\frac {\sigma _{xi}-\nu (\sigma _{yi}+\sigma _{zi})}{E}}=F{\frac {k_{xi}-\nu (k_{yi}+k_{zi})}{E}}=Fk'_{xi}$

$\epsilon _{yi}={\frac {\sigma _{yi}-\nu (\sigma _{xi}+\sigma _{zi})}{E}}=F{\frac {k_{yi}-\nu (k_{xi}+k_{zi})}{E}}=Fk'_{yi}$

$\epsilon _{zi}={\frac {\sigma _{zi}-\nu (\sigma _{xi}+\sigma _{yi})}{E}}=F{\frac {k_{yi}-\nu (k_{xi}+k_{yi})}{E}}=Fk'_{zi}$

載荷和位移

讓我們考慮一條路徑 $\Delta S_{12}$ 穿過一個連續的線性彈性體。 $\Delta S_{12}$ 具有兩個端點 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 。

兩個點之間某個方向上距離的相對變化 $\Delta S_{12}$ 可以表示為

$\Delta S_{12}=F\int _{P_{1}}^{P_{2}}\!k(s)\,ds=Fk_{12}$

位移和應變

從方程式（）和（）我們得到

$\Delta S_{12}=Fk_{12}={\frac {k_{12}}{k'_{i}}}\epsilon _{i}=k'_{i12}\epsilon _{i}$

位移和應力

從方程式（）和（）我們得到

$\Delta S_{12}=Fk_{12}={\frac {k_{12}}{k_{i}}}\sigma _{i}=k_{i12}\sigma _{i}$

推廣

從更一般的角度來看，我們給出以下定義

$\psi =C\psi '$ (3)

其中 $C$ 是一個常數， $\psi$ 和 $\psi '$ 分別是在 $P$ 和 $P'$ 處的一些線性相關的結構引數。

從等式 (3) 和疊加原理我們可以得出結論

 $\psi =c_{0}+c_{1}\psi '_{1}+c_{2}\psi '_{2}+...+c_{n-1}\psi '_{n-1}+c_{n}\psi '_{n}$      (4)

(4) 中的獨立引數可以透過執行 $>=n$ 次測試/計算得到。由此可見，例如，可以很容易地根據不同的安全係數對線性測試結果進行縮放。

在從彈性理論得出任何關鍵結論之前，重要的是要知道結構是否是線性的。結構中非線性行為的常見來源是材料、幾何、接觸和動態效應。