代數/第二章/不同型別的關係

2.2: 數學句子

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在本節中，我們將介紹數學句子以及表示式之間相互關聯的方式。

數學語言

人們通常難以理解數學概念。這並不一定是由於數學本身很難，而是通常是因為數學經常被呈現為一種外語。

在許多數學文獻中，你將遇到諸如：“令 X、Y 和 Z 為整數”這樣的語句。這種語言是慣例，將在數學文獻中經常出現。當我們被告知“令”某事物以某種方式存在時，你實際上是被要求想象或假設這些事物以那種方式存在。

之前，我們一直在討論**表示式**。這些是我們透過符號和運算來表示的感興趣的量。代數表示式也是量，只是包含多個未知部分。不幸的是，表示式本身並不能傳達任何資訊，因為它們僅僅是一個單一的量。數學中的表示式可以被認為類似於語言中使用的名詞，它們都用來指代感興趣的物件。

單獨的單詞“貓”並不能傳達任何資訊，但告訴某人“貓是一種哺乳動物”會向他們傳達一個完整的想法。同樣地，表示式“x”本身並不能傳達任何資訊。告訴某人“x 等於 1”也會傳達一個完整的想法，在這種情況下，它傳達了未知值 x 的確切值。就像單詞的正確排列被稱為“句子”一樣，表示一個完整想法的數學符號的排列被稱為**句子**。

下圖提供了將數學比作語言的總體類比。

關係

也許你在所有數學中都會遇到的最常見的數學句子是描述數量之間如何相互關聯的句子。直觀地說，我們將這些句子稱為**關係**。到目前為止，你已經遇到過各種各樣的關係，例如當我們說數量是“相等”，“大於”，“小於”等等時。在這裡，我們將涵蓋這些關係在更廣義上的含義。

數字有很多不同的名稱。在我們的語言類比中，我們可以說數字像名詞一樣有“同義詞”。

例 2.6：參考下面的表示式 $6\ \ \ \ \ \ \ \ 1+1+1+1+1+1\ \ \ \ \ \ \ \ 2+4\ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {18}{3}}\ \ \ \ \ \ \ \ (7-2)+1$ 儘管所有這些表示式看起來不同，但它們都表示同一個數字。所有數字都可以用如此多種方式表示的想法對整個數學來說是極其重要的，正如我們將在本節後面看到的那樣。

在數學中，當表示式**A**表示量**B**時，或者當表示式**A**和**B**表示相同的值時，我們說它們是**相等**的。我們用等號 (=) 表示這種關係。

$A=B$

我們可以用兩個以上的量或表示式來進一步擴充套件這個定義。如果我們知道**A**、**B**和**C**都表示同一個量，我們可以將其表達如下

$A=B=C$

例 2.7：使用等號表示例 2.6 中所有表示式都等於 6。 表示式的相等性可以表示為 $6=1+1+1+1+1+1=2+4={\frac {18}{3}}=(7-2)+1$