代數/第 2 章/變數

2.1: 數學表示式

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在本節中，我們將回顧變數和表示式的定義和應用。如果這不是回顧，我們將嘗試仔細地講解這些概念，以便本節可以作為初次介紹。

代數

在本書的其餘部分，我們將討論未知值。

數值表示式和代數表示式

表示式是你可以放入計算器並得到一個數字的符號集合。準確地說，表示式是一個良構公式，但不要擔心正式細節。表示式是我們可以計算的東西，我喜歡稱它們為“穿得很漂亮的數字”。

例 2.1：確定以下哪些是表示式。 ${\begin{aligned}{\text{4}}+2\\\end{aligned}}$ 這是一個表示式，因為我們可以簡單地將 $4+2$ 相加，得到 $6$ . ${\begin{aligned}{\text{(}}4+10)/8\\\end{aligned}}$ 這也是一個表示式，因為它可以計算為 $14/8=7/4$. ${\begin{aligned}{\text{(}}*3+2\\\end{aligned}}$ 這不是表示式。注意 $3$ 沒有被任何東西乘以，而且沒有右括號與左括號匹配。 ${\begin{aligned}{\sqrt {-4}}\end{aligned}}$ 雖然 ${\sqrt {-4}}$ 無法計算，但它仍然是一個表示式，因為它遵循運算順序的規則。

例 2.1 中的所有表示式，以及我們在第 1 章中使用的表示式，都被稱為數值表示式。這些表示式涉及將一組數字放在一起，利用加法、減法、乘法和除法。在這些情況下，我們知道要使用的數字值。但是，在處理數學或科學問題時，經常需要討論你不知道其值的數字。

例如，假設你被要求計算有多少個 1 × 1 的正方形可以放入一個 9 個正方形長、10 個正方形寬的矩形中？在這種情況下，我們不知道的數字是“正方形的數量”。有些人會立即回答正確，說“矩形中可以放 90 個正方形”。但他們是怎麼找到這個數字的？他們可能會說：“矩形中的正方形數量等於其長度的正方形數量乘以其寬度的正方形數量。矩形長 9 個正方形，寬 10 個正方形，所以它包含 90 個正方形。” 這些話太多了。我們可以用數學的方式寫成

${\begin{aligned}{\text{Area}}&={\text{Length}}*{\text{Width}}\\{\text{Length}}&=9{\text{ and }}{\text{Width}}=10\\{\text{Area}}&=9*10\\{\text{Area}}&=90\end{aligned}}$

對於數學家來說，這仍然寫得太多了。數學家通常選擇用一個字母來命名每個未知數，主要是為了簡潔（即簡短），因為寫一個字母比寫一個單詞更容易。變數是我們用來表示未知數的字母（或符號）。我們可以將上面的計算改寫為

${\begin{aligned}{\text{A}}&=L*W\\{\text{L}}&=9{\mbox{ and }}W=10\\{\text{A}}&=9*10\\{\text{A}}&=90\end{aligned}}$

現在您已經熟悉了表示式的形式，讓我們考慮一個實際的例子。

例 2.2：我最喜歡的咖啡館一杯咖啡的價格是 2.00 美元。我每天喝 4 杯咖啡。我想計算一下這周我花在咖啡上的錢，以及今年我花在咖啡上的錢。 讓我們從計算我一週在咖啡上花費多少開始。 我們把一週喝的咖啡總杯數稱為 T。我們可以給花費的金額命名，稱為 C（代表成本）。C 是一個表示式，但我們需要一個更實用的表示式，其中包含 T。每杯咖啡的價格是 2.00 美元，所以 0 杯咖啡的價格是 0 美元，因為 0×2 是 0。 1 杯咖啡的價格是 2 美元，因為 1×2 是 2。 2 杯咖啡的價格是 4 美元，因為 2×2 是 4。 T 杯咖啡的價格是 ... 2T 美元。 因此，2T 是一個表示式，表示 T 杯咖啡的成本。 這是計算我一週在咖啡上花費多少的第一步。要更進一步，我們需要知道 T 的值：我一週喝多少杯咖啡。如果我每天喝 4 杯，一週有 7 天，這意味著 T = 4 × 7 = 28。 透過用我們計算出的數字替換 T，我們可以看到 C 等於 2.00 × 28 = 56.00。 所以我在咖啡上每週花費 56.00 美元！也許我應該減少點！ 那我在一年裡花了多少錢呢？我們可以用同樣的方法計算出來。首先讓我們考慮一下一年，如果我們保持相同的名稱，我們仍然有 C 等於 2.00 × T。 但現在一年有 365 天，所以咖啡的總杯數（也就是數字 T）發生了變化。我們可以像以前一樣計算它，每天喝 4 杯，導致 T = 365 × 4 = 1,460。 現在我們知道了 T 的值，我們可以看到 C 等於 2.00 × 1,460 = 2,920.00。 現在我可以看到，我在咖啡上每年花費 2,920.00 美元。是的，我需要減少點！！

請注意，這兩個問題的解決方案基本上是一樣的，唯一改變的是 C 和 T 的值。這就是為什麼它們被稱為變數，因為確切的數字會有所不同。我們在計算中使用的一些數字不會改變。例如，一週的天數永遠是 7。如果我們想的話，我們仍然可以使用一個字母來代表一週的天數，但是由於這個數字不會改變，我們只需要把它寫成 7。代表特定不變數字的字母或符號稱為常數。

在實際情況中，您認為什麼是常數有時取決於您如何看待問題。一位細心的讀者可能會指出，一年並不總是 365 天：閏年有 366 天。由於我在計算 2010 年我花了多少錢，所以這一年的天數是常數，等於 365。如果我想製作一張表格，記錄我過去 10 年在咖啡上花費了多少錢，那麼最好使用一個變數來代表一年中的天數。

另一個例子，您可能從物理學中瞭解到，是物體由於重力而產生的加速度。對於大多數問題，這種加速度被視為常數 g = 9.8 m/s²。但是，對於涉及不在地球上的物體的問題，這可能是一個不好的近似值。我們在關於其他行星上的物體的方程式中使用的 g 值可能不被視為常數。這裡的問題不會要求我們擔心何時可以將重力加速度視為常數，因為這更適合物理課程。對我們來說，常數將是那些在問題中固定且不會改變的數字，就像上面例子中的咖啡價格，或者在某些情況下，一些眾所周知的固定數字可能會出現（例如一副牌中的牌數、一週中的天數等等）。

變數通常用字母來表示，例如 x、t 或 C。由於文化原因，x 是一個非常常見的變數名選擇。但是，當您自己命名變數或常數時，最好選擇與問題相關的名稱，例如 C 代表成本、T 代表總數等等。這使得您最終看到的方程式更容易理解。常數通常寫成數字本身，例如 2、-5 和 0.75，或者在某些情況下可能用字母表示，例如 g（如上所述）和 π。

正如您所想象的，出現的方程式往往比前面例子中的方程式更復雜。我們需要一些詞彙來描述我們遇到的方程式中的不同部分。例如，如果我讓 G 代表我每天開車去咖啡館所花費的汽油量，那麼我花費的金額 C 的表示式可能看起來像

2.00 × T + G × D

現在 C 是兩個稱為項的東西的總和。在這種情況下，表示式中包含兩個項，即 2.00 × T 和 G × D。項是總和中我們要加在一起的一個部分。在表示式 2.00 × T + G × D − 7 中，有三個項。其中兩個項是 2.00 × T 和 G × D。處理 − 7 有兩種可能性。第一種可能性是將減法視為加法，並將 7 視為第三項。第二種可能性是將減去 7 看作加上 -7。在這種情況下，我們可能會說這些項是 2.00 × T、G × D 和 -7。說實話，我們如何看待這些東西並不重要，但我們應該儘量保持一致。由於我們在上面對項的定義中使用了“總和”這個詞，因此我們將盡量始終如一地使用第二種可能性來描述減去而不是加上的項。

係數

有很多方法可以表明兩個數字應該相乘。您可能最熟悉使用符號 ×，例如在方程式 2 × 2 = 4 中。但是由於數學在許多地方發展，所以有時會使用其他符號，這在代數中尤其重要。為什麼要使用不止一種表示法？信不信由你，為了方便！由於文化原因，最常見的變數字母是 x，但是現在當我們試圖寫出類似於 x × 2 的表示式時，事情就會變得混亂。這是一個不幸的事實，我們的變數和我們的乘法符號看起來非常相似。再加上糟糕的筆跡，你就自找麻煩了！有兩種常見的解決方法。第一種是為乘法引入另一個符號，即點，寫線上中間。例如，不是寫 2 × 2 = 4，可以寫 2 · 2 = 4。另一種更常見的策略是完全不寫任何東西！假設我想將 x 乘以 2。由於這可能會導致混淆，所以我不想寫 2 × x。我可以寫，用我們新的點符號 2 · x，或者我可以簡明扼要，決定如果您看到我寫 2x，您就會知道它的含義。沒錯，我完全跳過了寫任何乘法符號！這被稱為隱式乘法，因為我從未真正說過我在乘法，我只是暗示了它。這是在代數中表達乘法的最常見方法。

一開始這可能看起來是一種瘋狂的做法，但它與我們對單位的直覺非常吻合。我們從小就被教導，如果我有一個蘋果，有人再給我一個蘋果，那麼我就有兩個蘋果。同樣，寫 1x + 1x = 2x 似乎非常自然。如果我有一個 x，有人再給我一個 x，那麼我將只有 2 個 x。因為變數與我們在這種簡單示例中的單位有如此大的相似性，所以在使用隱式乘法時，從不將變數放在數字前面已經成為一種文化。雖然從技術上來說，寫 x2 代表 2 和 x 的乘積可能是正確的，但人們可能無法理解它的含義。因此，在使用隱式乘法時，始終將顯式數字放在變數之前。

隱式乘法也經常用於兩個不同的變數之間，甚至用於兩個完整的表示式之間（只要您使用括號）。因此，我們可能會遇到 xy 表示 x 和 y 的乘積的表示式，或者 x(a + b) 表示 x 和 a + b 的乘積的表示式。由於隱式乘法如此常見，因此我們更有理由使用單個字母來表示變數。雖然使用 YC 作為我的咖啡年費的變數可能很好，但如果我不非常小心地解釋我的意思，一些讀者可能會認為這表示一個變數 Y 乘以另一個變數 C。另一方面，在變數很多的情況下，有時值得冒險混淆，選擇有意義的變數名稱。

最後，您可以在兩個數字之間使用隱式乘法。試試吧，如果我們要用隱式乘法寫 2 × 2 = 4，我們將最終寫成 22 = 4，但二十二不是四！相反，我們將一個或兩個常數放在括號中：2(2) = 4 或 (2)(2) = 4。兩種形式都是正確的。如有疑問，請遵循您的老師所說的。

計算表示式

我們將變數視為數字——儘管可能在開始時我們不知道這些數字，但它們終究是數字。當我們知道與變數相關的數字時，我們可以確定之前寫下的某個表示式等於什麼。假設我們被要求在x = 7時找到x − 5的值。為此，我們將7 **代入** x。這意味著我們將表示式改寫，除了所有寫x的地方我們都寫7。因此我們得到7 − 5，現在我們可以使用簡單的算術來算出表示式等於2。如果你回顧分析我喝咖啡習慣的討論，你會發現我們已經代入了幾次。讓我們看看更多例子。

示例 2.3：當x = 2且y = 3時，求xy − 9的值。 我們將分兩步進行。首先，我們將2 代入x，得到 2 · y − 9. 現在，我們將3 代入y，得到 2 · 3 − 9 = 6 − 9 = -3。

在最後一行，由於我們已經得到了一個算術問題，我們只需使用我們已經熟悉的算術規則。需要注意的是，當涉及隱式乘法時。考慮以下示例。我們需要使用優先順序規則來按正確順序進行簡單的算術運算，才能算出表示式等於2。

示例 2.4：當x = 4時，求2x + 2的值。 解： 將 4 代入 x，我們得到 2 · 4 + 2 = 8 + 2 = 10.

請注意，當我改寫表示式時，有一個非常細微的變化。具體來說，我在存在隱式乘法的地方**插入**了乘法符號。想象一下，如果我沒有這樣做：最後一行將以 24 + 2 開頭，這並不是我們的意思！我們想要將 x 乘以 2，因為 x = 4，這意味著我們想要將 4 乘以 2。數字 24 不應該包含在我們的計算中。

在評估表示式時，**非常重要**的是要遵循正確的運算順序（不要忘記“**P**lease **e**xcuse **m**y **d**ear **a**unt **S**ally”）。例如

示例 2.5：已知 x 為 2， z 為 1/2， k 為 1，化簡表示式3x2(2z+k)。 解： 首先，將 x 代入，我們得到 3 · 22 · (2z+k) 現在，將 z 代入 3 · 22 · (2 · 1/2 + k) 最後，我們代入 k，得到 3 · 22 · (2 · 1/2 + 1). 首先，我們需要確定括號內的值，也就是說，我們需要計算2 · 1/2 + 1。正確的順序是先乘後加。也就是2 · 1/2 + 1 = 1 + 1 = 2. 現在我們已經確定了括號內的值，問題變成了計算 3 · 22 · (2). 我們先進行指數運算，得到 3 · 4 · (2). 現在我們只需相乘，答案是 24。