代數/第 2 章/變數

2.1：數學表示式

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在本節中，我們將回顧變數和表示式的定義和應用。如果這不是複習，我們將嘗試詳細地講解這些概念，以便本節可以作為第一次介紹。

代數

在本書的剩餘部分中，我們將討論未知值。

數值表示式和代數表示式

一個表示式是你可以輸入計算器並得到數字的符號集合。更準確地說，一個表示式是一個良構式公式，但不用擔心這些正式細節。表示式是我們可以求解的，我喜歡稱之為“穿著漂亮衣服的數字”。

例 2.1：確定以下哪些是表示式。 ${\begin{aligned}{\text{4}}+2\\\end{aligned}}$ 這是一個表示式，因為我們可以簡單地將$4+2$加起來得到$6$ . ${\begin{aligned}{\text{(}}4+10)/8\\\end{aligned}}$ 這也是一個表示式，因為它可以求解為$14/8=7/4$. ${\begin{aligned}{\text{(}}*3+2\\\end{aligned}}$ 這不是一個表示式。請注意$3$沒有被任何東西乘以，並且沒有右括號與左括號匹配。 ${\begin{aligned}{\sqrt {-4}}\end{aligned}}$ 雖然${\sqrt {-4}}$無法求解，但它是一個表示式，因為它遵循運算順序的規則。

例 2.1 中的所有表示式，以及我們在第 1 章中使用過的表示式，都被稱為數值表示式。這些表示式涉及使用加法、減法、乘法和除法將一組數字放在一起。在這些情況下，我們知道要使用的數字值。但是，在處理數學或科學問題時，通常需要討論你不知道其值的數字。

例如，假設你被問到，一個 9 格乘 10 格的長方形裡可以放多少個 1 × 1 的正方形？在這種情況下，我們不知道的數字是“正方形的數量”。有些人會直接回答正確，說“長方形裡可以放 90 個正方形”。但他們是怎麼找到這個答案的？他們可能會說“長方形中正方形的數量等於其長度的正方形數量乘以其寬度的正方形數量。長方形的長度為 9 格，寬度為 10 格，因此它包含 90 個正方形”。這寫了好多字。我們可以用數學表示式來表示自己，寫為

${\begin{aligned}{\text{Area}}&={\text{Length}}*{\text{Width}}\\{\text{Length}}&=9{\text{ and }}{\text{Width}}=10\\{\text{Area}}&=9*10\\{\text{Area}}&=90\end{aligned}}$

對於數學家來說，這仍然是很多文字。數學家通常選擇用單個字母來命名每個未知數，主要是為了簡潔（即簡短），因為寫一個字母比寫一個單詞更容易。一個變數是我們用來表示未知數的字母（或符號）。我們可以將上面的計算改寫為

${\begin{aligned}{\text{A}}&=L*W\\{\text{L}}&=9{\mbox{ and }}W=10\\{\text{A}}&=9*10\\{\text{A}}&=90\end{aligned}}$

現在您已經熟悉了表示式的形式，讓我們考慮一個實際的例子。

示例 2.2：我最喜歡的咖啡館的一杯咖啡要 2.00 美元。我每天喝 4 杯咖啡。我想計算一下這周我在咖啡上花了多少錢，以及今年到目前為止花了多少錢。 讓我們從計算一下我每週在咖啡上花了多少錢開始。 讓我們把一週喝的咖啡總杯數稱為 *T*。我們可以給花費的金額起一個名字，讓我們把它稱為 *C*（代表成本）。*C* 是一個表示式，但我們需要一個更實用的包含 *T* 的表示式。每杯咖啡 2.00 美元，所以 0 杯咖啡要 0 美元，因為 0×2 是 0。 1 杯咖啡要 2 美元，因為 1×2 是 2。 2 杯咖啡要 4 美元，因為 2×2 是 4。 *T* 杯咖啡要…2*T* 美元。 所以，2*T* 是一個表示 *T* 杯咖啡成本的表示式。 這是計算我每週在咖啡上花費的第一步。為了更進一步，我們需要知道 T 的值：我每週喝多少杯咖啡。如果我每天喝 4 杯，一週有 7 天，這意味著 *T* = 4 × 7 = 28。 透過用我們計算出的數字替換 T，我們可以看到 *C* 等於 2.00 × 28 = 56.00。 所以我在咖啡上每週要花 56.00 美元！也許我應該減少咖啡的攝入！ 我一年要花多少錢呢？我們用同樣的方法計算。讓我們先考慮一下一年，如果我們保持相同的名字，我們仍然有 *C* 等於 2.00 × *T*。 但現在一年有 365 天，所以咖啡的總杯數（也就是數字 *T*）發生了變化。我們可以像之前一樣計算，每天喝 4 杯，得到 *T* = 365 × 4 = 1,460。 現在我們知道 *T* 的值，我們可以看到 *C* 等於 2.00 × 1,460 = 2,920.00。 現在我可以看到我一年在咖啡上要花 2,920.00 美元。是的，我需要減少咖啡的攝入！

請注意，這兩個問題的解決方案基本上是相同的，唯一變化的是 *C* 和 *T* 的值。這就是為什麼它們被稱為變數，因為確切的數字是變化的。我們在計算中使用的一些數字不會改變。例如，一週的天數總是 7 天。如果我們想，我們仍然可以使用字母來表示一週的天數，但由於這個數字不會改變，我們只需將其保留為 7。表示特定不變數字的字母或符號稱為常數。

在實際情況下，您認為什麼是常數有時取決於您如何思考問題。一位細心的讀者可能會指出，一年並不總是 365 天：閏年有 366 天。因為我正在計算 2010 年我花了多少錢，所以這一年中的天數是常數，等於 365 天。如果我想製作一張我在過去 10 年中在咖啡上花費的表格，那麼最好使用一個變數來表示一年中的天數。

另一個例子，您可能從物理學中熟悉，是由於重力引起的落體加速度。對於大多數問題，這種加速度被視為常數 g = 9.8 m/s²。然而，對於涉及不在地球上的物體的問題，這可能是一個糟糕的近似。我們在關於其他行星上物體的方程中使用的 g 值可能不被認為是常數。這裡的問題不會要求我們擔心何時可以將重力加速度視為常數，因為這更適合物理課程。對我們來說，常數將是在問題中固定的且不會改變的數字，就像上面例子中的咖啡價格，或者在某些情況下可能出現的一些眾所周知的固定數字（例如一副牌中的卡數、一週中的天數等）。

變數通常使用字母來表示，例如 *x*、*t* 或 *C*。由於文化原因，*x* 是變數名稱的極常用選擇。但是，當您自己命名變數或常數時，最好選擇與問題相關的名稱，例如 *C* 代表成本、*T* 代表總數等。這使您更容易理解最終看到的方程式。常數通常寫成數字本身，例如 2、-5 和 0.75，或者在某些情況下可能由字母表示，例如 *g*（來自上面）和 π。

正如您所想，出現的方程式通常比前面示例中的方程式更復雜。我們需要一些詞彙來描述我們遇到的方程的不同部分。例如，如果我讓 *G* 代表我每天開車去咖啡館消耗的汽油量，那麼我花費的金額 *C* 的表示式可能看起來像

2.00 × *T* + G × D

現在 *C* 是兩個稱為項的東西的總和。在這種情況下，表示式中有兩項，即 2.00 × *T* 和 G × D。一個項就是一個加法運算的組成部分。在表示式 2.00 × *T* + G × D − 7 中有三項。其中兩項是 2.00 × *T* 和 G × D。處理 − 7 有兩種可能性。第一種可能性是將減法視為加法，並將 7 視為第三項。第二種可能性是我們將減去 7 看作加上 -7。在這種情況下，我們可能會說這些項是 2.00 × *T*、G × D 和 -7。說實話，我們如何看待這些事情並不重要，但我們應該儘量保持一致。由於我們在上面對項的定義中使用了“總和”這個詞，因此我們將嘗試始終如一地使用第二種可能性來描述減去而不是加上的項。

係數

有很多方法可以表示兩個數字應該相乘。您可能最熟悉使用符號 ×，例如在方程式 2 × 2 = 4 中。但由於數學在許多地方發展起來，因此有時會使用其他符號，這在代數中尤其重要。為什麼有多種符號？信不信由你，為了方便！由於文化原因，變數最常用的字母是 *x*，但現在當我們嘗試寫出像 x × 2 這樣的表示式時，事情就會變得令人困惑。我們的變數和我們的乘法符號看起來非常相似，這是一個不幸的事實。再加上糟糕的筆跡，您就惹上麻煩了！有兩種常見的解決方法。第一種是為乘法引入另一個符號，即在中間寫一個點。例如，與其寫 2 × 2 = 4，不如寫 2 · 2 = 4。另一種更常見的策略是完全不寫任何東西！假設我想將 *x* 乘以 2。由於這會導致混淆，所以我不想寫 2 × x。我可以使用我們的新點表示法寫 2 · x，或者我可以簡潔地決定如果您看到 2*x* 您就會知道它的含義。沒錯，我完全跳過了乘法符號！這被稱為隱式乘法，因為我從未真正說過我在乘法，我只是暗示了它。這絕對是代數中最常見的乘法表達式方式。

乍一看，這似乎是一種奇怪的做法，但它特別符合我們對單位的直覺。從小學我們就學到，如果我有 1 個蘋果，有人再給我 1 個蘋果，那麼我總共有 2 個蘋果。同樣，寫出 `1x` + `1x` = 2`x` 也顯得非常自然。如果我有一個 `x`，有人再給我一個 `x`，那麼我將只有 2 個 `x`。由於變數在像這樣的簡單例子中與我們的單位有很強的相似性，因此習慣上 **永遠** 不將變數放在隱式乘法中數字的前面。雖然在某些技術意義上，寫 `x2` 來表示 2 和 `x` 的乘積是正確的，但人們可能 **無法理解** 它的含義。所以 **在使用隱式乘法時，總是將明確的數字放在變數前面**。

隱式乘法也經常用在兩個不同的變數之間，甚至用在兩個完整的表示式之間（只要你使用括號）。因此我們可能會遇到像 `xy` 表示 `x` 和 `y` 的乘積，或者 `x(a + b)` 表示 `x` 和 `a + b` 的乘積這樣的表示式。由於隱式乘法非常常見，它給了我們更多使用單個字母作為變數的理由。雖然使用 `YC` 作為我咖啡的年費變數可能很不錯，但如果我不小心解釋我的意思，一些讀者可能會認為它代表了某個變數 `Y` 乘以另一個變數 `C`。另一方面，在有很多變數的複雜情況下，有時值得冒著混淆的風險來選擇有意義的變數名。

最後，你可以在兩個數字之間使用隱式乘法。試試看，如果我們想用隱式乘法寫出 `2 × 2 = 4`，我們會最終寫成 `22 = 4`，但是二十二不等於四！相反，我們將一個或兩個常數放在括號中：`2(2) = 4` 或 `(2)(2) = 4`。兩種形式都是正確的。如果有疑問，請遵循老師的指示。

計算表示式

我們像對待數字一樣對待變數——可能一開始我們不知道的數字，但它們仍然是數字。當我們知道與變數相關的數字時，我們可以計算出之前寫下的表示式等於什麼。假設我們被要求在 `x = 7` 的情況下求解 `x - 5` 的值。為此，我們用 7 代替 `x`。這意味著我們重寫表示式，除了所有寫 `x` 的地方我們都寫 7。因此我們得到 `7 - 5`，現在我們可以使用簡單的算術運算得出該表示式等於 2。如果你回顧分析我咖啡飲用習慣的討論，你會發現我們已經進行了幾次替換。讓我們看看更多例子。

例 2.3：在 `x = 2` 且 `y = 3` 的情況下求解 `xy - 9` 的值。 我們將分兩步進行。首先，我們將用 2 代替 `x` 得到 2 · `y` - 9. 現在我們將用 3 代替 `y` 得到 2 · 3 - 9 = 6 - 9 = -3。

在最後一行，由於我們已經得到一個算術問題，我們只需使用我們已經熟悉的算術規則。在涉及隱式乘法時，需要注意的一點是。考慮下面的例子。我們需要使用優先順序規則以正確的順序進行簡單的算術運算，才能得出表示式等於 2 的結論。

例 2.4：在 `x = 4` 的情況下計算 `2x + 2` 的值。 解：用 4 代替 `x`，我們得到 2 · 4 + 2 = 8 + 2 = 10.

注意當我重寫表示式時，有一個非常細微的變化。具體來說，我在隱式乘法的地方插入了一個乘號。想象一下，如果沒有這樣做：最後一行將從 24 + 2 開始，這不是我們想要的！我們想要將 `x` 乘以 2，因為 `x` = 4，這意味著我們想要將 4 乘以 2。數字 24 不應該出現在我們的計算中。

在計算表示式時，**非常重要** 要遵循正確的 運算順序（不要忘記 "Please excuse my dear aunt Sally"）。例如

例 2.5：簡化表示式 `3x^2(2z + k)`，已知 `x` 為 2，`z` 為 1/2，`k` 為 1。 解：首先用 `x` 代替，我們得到 3 · 2^2 · (2`z` + `k`) 現在用 `z` 代替 3 · 2^2 · (2 · 1/2 + `k`) 最後，我們用 `k` 代替得到 3 · 2^2 · (2 · 1/2 + 1). 首先，我們需要計算括號內的值，即我們需要計算 `2 · 1/2 + 1`。正確的計算順序是先乘後加。即 `2 · 1/2 + 1 = 1 + 1 = 2`。 現在我們已經計算出括號內的值，問題就變成了計算 3 · 2^2 · (2). 我們先進行冪運算，得到 3 · 4 · (2). 現在我們只需相乘，答案是 24。