代數/第 4 章/不等式

代數

代數/第 4 章
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不等式的定義

與等式相反，不等式是一個表示式，它表明兩個量不相等或不等於彼此。在現實生活中，我們經常使用不等式而不是等式（例如，這件襯衫比那件襯衫貴 2 美元）。

假設 a 和 b 是實數，有四種基本不等式

a < b --> a “小於” b
示例：2 < 4 ; -3 < 0; 等等。
a > b --> a “大於” b
示例：-2 > -4 ; 3 > 0 ; 等等。
$a\leq b$ --> a “小於或等於” b
示例：如果我們知道 $x\leq 7$ ，那麼我們可以得出結論，x 等於任何小於 7 的值，包括 7 本身。
$a\geq b$ --> a “大於或等於” b
示例：相反地，如果 $x\geq 7$ ，那麼 x 等於任何大於 7 的值，包括 7 本身。

可能的關係

數軸上的一個數字總是大於它左邊的任何數字，小於它右邊的任何數字。符號 " $<$ " 用於表示“小於”，符號 " $>$ " 用於表示“大於”。

考慮這條數軸

從數軸上我們可以很容易地看出 3 大於 -2，因為 3 在 -2 的右邊（或 -2 在 3 的左邊）。我們把它寫成 $3>-2$ 。小學老師告訴我，把大於號想象成一個“貪婪的嘴”。這個嘴總是試圖吃掉更大的數字。當我看數軸時，我發現大於號和小於號也可以表示數軸兩端的箭頭。在這種情況下，不等式符號表示箭頭，它們指向從第二個數字到第一個數字的方向。如果第二個數字小於第一個數字，那麼我必須在數軸上向右移動才能從第二個數字移動到第一個數字（這就是“嘴”指向第一個數字的原因）。類似地，如果第二個數字大於第一個數字，那麼我必須在數軸上向左移動（而“嘴”現在指向第二個數字）。我永遠記不住老師關於“貪婪的嘴”的經驗法則，但當我把符號想象成線段末端的箭頭時，運算子的方向對我來說是有意義的。你將如何記住 " $<$ " 用於表示“小於”，符號 " $>$ " 用於表示“大於”？

考慮一個數字 $a$ 和一個常數 $C$ 。下列語句中只有一個可以為真

$a>C$
$a=C$ ，或
$a<C$

這是三歧律。另一種描述方式是，對於一個固定的數字和一個變數，這個變數可以表示小於該數字的數字、與該數字相同的數字，或者大於該數字的數字。當我們使用符號從單詞中建立不等式時，我們知道這些語句中只有一個可以為真。

文字題

性質

不等式有四個重要的性質：1. 傳遞性質：對於任意三個數字 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ，如果 $x>y$ 且 $y>z$ ，則 $x>z$ 。

2. 在不等式中，我們可以從兩邊加或減去相同的值，而不改變符號（即 " $>$ " 或 " $<$ "）。也就是說，對於任意三個數字 $x$ 、 $y$ 和 $p$

如果 $x>y$ ，則 $x+p>y+p$ 且 $x-p>y-p$ 。

3. 我們可以用一個正數乘或除不等式的兩邊，而不改變符號。例如，如果我們有兩個數字 $x$ 和 $y$ ，以及另一個正數 $p$

如果 $x>y$ ，則 $x\times p>y\times p$ 且 ${\frac {x}{p}}>{\frac {y}{p}}$ 。

4. 當我們用負數乘以或除以不等式的兩邊時，我們需要改變不等式的符號（即，“ $>$ " 變成 “ $<$ "，反之亦然）。所以如果我們有兩個數字 $x$ 和 $y$ ，以及另一個負數 $p$

如果

x>y

，那麼

x\times p<y\times p

以及

{\frac {x}{p}}<{\frac {y}{p}}

.

現在我們可以繼續解決任何線性不等式。

解不等式

解不等式幾乎與解線性方程相同。讓我們考慮一個例子： $x+4<13$ 。我們所要做的就是從兩邊減去4。然後我們會得到 $x<9$ ，這就是答案！但是要注意，我們得到的不只是一個答案，而是一組解。任何滿足條件 $x<9$ （小於9的任何數）的數都是該不等式的解。使用數軸表示解非常方便

 <-------------------o
 <-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
   6     7     8     9     10    11

注意：圓圈 (o) 表示值 9 不包括在內。稍後，當我們處理小於等於和大於等於（≤ 和 ≥）時，我們將使用 “*” 來表示該值包含在解集中。

讓我們嘗試另一個更復雜的問題： $3x-2>2(x-3)$ 。首先，你可能想展開右手邊： $3x-2>2x-6$ 。然後我們可以簡單地重新排列，使所有未知數都在一邊（通常是左邊）： $3x-2x>-6+2$ 。因此，我們可以輕鬆獲得答案： $x>-4$ .

一元不等式的圖。第一個數軸顯示 x>3，x<-7，以及 -4<x≤0。第二條線顯示析取 x<-2 或 x>2。

這裡有一個在求解時不等式方向改變的例子：解 $4-6x>22$ .

首先從兩邊減去 4： $-6x>18$ .
現在用 -6 除以，改變不等式的方向： ${\frac {-6x}{-6}}<{\frac {18}{-6}}$ .

因此，不等式的解是 $x<-3$ .

與等式不同，不等式通常有無限多個解。

$x>A\!\$ 表示 x **大於** A

$x<A\!\$ 表示 x **小於** A

特殊情況 - 乘以 -1

將不等式的兩邊乘以或除以負數的規則指出，你還需要改變不等式的方向。看一下不等式 -1 < 1。讓我們將它一般化地改寫為 -1 op 1，儘管我們知道運算子應該是 <。現在將不等式的兩邊乘以 -1。你得到 (-1)*(-1) op (1)*(-1)。化簡後得到 1 op -1。為了使該語句成立，運算子現在需要是 >。

如果我們想要，我們可以將乘以負數改為兩個運算：[(-1)*(數字)][-1 < 1][(數字)*(-1)]。這可能看起來很明顯，因為我們知道，要將一個數字變成它的相反數，只需要乘以 -1。但是，乘以 -1 是什麼導致我們必須改變不等式運算子的方向呢？如果你在數軸上用數字 1 表示乘法，你會發現你所做的只是將 x（你正在乘的數字）個單位向零的 *右側* 移動。

TODO：需要圖形

同樣，如果你在數軸上用數字 -1 表示乘法，你會發現你需要將 x（你正在乘的數字）個單位向零的 *左側* 移動。

TODO：需要圖形

現在想想等式和不等式之間的區別。如果你知道 x = y 為真，那麼你也知道 x-y = 0。如果你知道 x > y，那麼你就會知道兩件事：x - y > 0（大數 - 小數為正），以及 y - x < 0（小數 - 大數為負）。如果我們用 1 乘以 x > y，我們仍然得到 x > y。如果我們透過從等式的兩邊減去 y 來將 y 移到等式的左側，我們得到 x - y > 0。我們知道這是真的。另一方面，當我們用 -1 乘以 x > y 並且不改變不等式的方向時，我們得到 -x > -y。當我們透過從等式的兩邊加上 y 來將 y 移到等式的左側時，我們得到 y - x > 0。我們知道這不是真的。在之前的步驟中，我們需要說 -x < -y，因為即使兩個數字都是負數，-x 也比 -y 更靠左側，因此更小。

解代數題可能會變得自動化，但重要的是你要牢記規則成立的原因，這樣你就可以在意外遺漏規則的一部分時發現自己。

特殊情況 - 分母包含變數的不等式

例如，考慮不等式

{\frac {2}{x-1}}<2\,

在這種情況下，不能將等式的右邊乘以 (x-1)，因為 x 的值未知。由於 x 可能為正或負，你無法知道是否將不等式符號保留為 <，還是將其反轉為 >。解決此類不等式的方法包括四個步驟

找出分母何時等於 0。在這種情況下，它是當 $x=1$ .
假設不等式符號是 = 符號，並按此方式進行求解： ${\frac {2}{x-1}}=2\,$ ，因此 $x=2$ .
在數軸上繪製點 $x=1$ 和 $x=2$ ，並用一個未填充的圓圈，因為原始方程包含 < 符號（注意，如果原始方程包含 <= 或 >=，則它將是一個填充的圓圈）。你現在有三個區域，它們被未填充的圓圈隔開。這些區域是： $x<1$ ， $1<x<2$ ，以及 $x>2$ .
獨立地測試每個區域。在這種情況下，透過在這個區域中選擇一個點（例如 x=1.5）並在原始不等式中嘗試它，來測試不等式對於 1<x<2 是否成立。對於 x=1.5，原始不等式不成立。現在，嘗試 x>2（例如 x=3）。在這種情況下，原始不等式成立，因此原始不等式的解是 x>2。