代數/第4章/區間表示法

區間表示法和數軸

實數可以在數軸上表示，數軸理論上在兩個相反的方向上無限延伸，如下所示

數軸圖示兩端的箭頭表示數軸在概念上向這些方向無限延伸，儘管數軸的圖示無法向這些方向無限延伸。請注意，數軸的右側延伸到正無窮大，左側延伸到負無窮大。集合中的數字可以在數軸上用點表示。例如，上面從 1 到 8 的自然數集將顯示如下

通常，一系列數字會向一個或兩個方向無限延伸。例如，自然數集（包含人們自然計數的數字）從 1、2、3、4 開始，並一直延伸到無窮大。無限集（或類似元素）的無限延續可以用幾個點（稱為省略號）來表示，這些點位於列出的一些數字或元素之後，顯示初始趨勢。因此，自然數集可以表示如下

$\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...\rbrace \,$

其中三個點表示無限集元素的延續趨勢。整數集可以表示如下

$\lbrace ...,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,...\rbrace \,$

列出無限集元素沒有特別要求必須在 10 或 8 或任何特定數字處停止，只要給出清晰易懂的趨勢即可。直觀地，當我們在整數中找到數字 1 並看到該集合繼續永遠向上計數時，我們可以發現自然數集是整數集的子集。到目前為止，我們討論了離散數字。離散表示由一個或多個孤立的單個數字或點組成；或不具有數字或點的連續範圍（區間）。

在任意兩個整數之間，都有無限多個分數或有理數。此外，在任意兩個分數之間，都有無限多個其他分數，依此類推。此特性有時被稱為連續性。這樣的連續數集在數軸上（或附近）用粗體線段表示，類似於幾何中用線段表示連續點集的方式。包含兩個給定數字之間所有數字的連續數集通常稱為區間。連續數集所在的兩個數字是線段的端點。區間端點的兩個數字中，可以有一個、兩個或都沒有包含在區間內的數字集中。如果包含端點處的數字，則該端點為閉端點，用實心點表示。如果不包含端點處的數字，則該端點為開端點，用空心點（一個小空心圓）表示。例如，下面在數軸上顯示的是 1 和 8 之間的區間，其中包含 1（在 1 處閉合），但不包含 8（在 8 處開啟）

為了節省描述這些區間的時間，我們經常用兩種型別的括號 [ ] 和 ( ) 來表示它們。方括號 [ ] 表示閉區間 - 即括號內的數字包括在內，很像數軸區間上的實心點。圓括號 ( ) 表示開區間 - 即括號內的數字不包括在區間內，很像數軸上的空心點。我們還可以使用符號 $\geq$ 表示左側的陳述是閉合的，使用符號 $\leq$ 表示右側是閉合的。符號 $>$ 和 $<$ 表示區間是開區間。考慮以下示例，其中我們讓 X 表示區間上的任何數字

$[4,9]=4\leq X\leq 9\,$ 或從 4 到 9 的所有數字。

$(4,9)=4<X<9\,$ 或所有4到9之間的數。

$[4,9)=4\leq X<9\,$ 或所有4到9之間的數，包括4。

與第三個例子一樣，我們可以結合兩種型別的括號來顯示實數上的任何區間。也可以定義一組連續的數字，它從一個數字開始（或結束），並在正方向或負方向無限延伸。從幾何上講，這樣的集合在數軸上表示為一條射線，其中連續的數字集合顯示為線上的加粗部分。如果端點包含在集合中，則端點是閉合的，並用實心點表示。如果端點不包含在集合中，則端點是開放的，並用空心點表示。例如，一組大於或等於1的數字，在下面的數軸上顯示

這相當於區間$[1,\infty ]$。在另一個例子中，一組小於8的數字，$[-\infty ,8)$，在下面的數軸上顯示

包含代數方程所有解的集合稱為該方程的解集，即所有如果代入該方程中“未知”變數將使該方程成立的數字。公式是一個數學“過程”，它透過使用其他變數和數字來找到不同未知變數的答案。一個公式的例子是愛因斯坦的公式：$E=Mc^{2}$；如果你知道物體的質量M，並且你將其乘以光速的平方($c^{2}$)，你就可以得到它的能量E。像這樣的公式也可以重新排列以找到不同變數的值。

練習題

概念問題

問題 4.1（解釋不等式）

問題 4.2 ()假設兩個值 A 和 B 不相等，你能確定下面兩個量中的哪個更大嗎？

測驗

命名每個表示式將由數軸、線段或射線表示。如果答案是線段或射線，請識別線段的兩端，以及非無限端將由實心點還是空心點表示。

1 > 8

	直線
	線段
	射線

2 ？界限等於 8。

	下
	上

3 點將是

	實心
	空心

4 < 5 >

	直線
	線段
	射線

5 < -4

	直線
	線段
	射線

6 ？界限等於 -4。

	下
	上

7 點將是

	實心
	空心

8 > 2 < 7

	直線
	線段
	射線

9 ？界限等於 2。

	下
	上

10 點將是

	實心
	空心

11 ？界限等於 7。

	下
	上

12 點將是

	實心
	空心

根據顯示的值，確定集合中可能的下一個值。

13

{ , 1, 2, 3, }

14

{3/4, 4/4, 5/4, }

15

{ , -2, 0, 2}

假設數字集的未明確關閉的邊無限延伸，您將如何表示以下數字集？（使用<表示<，使用>表示>）

16 {..., 9, 10, 11}

17 {9, 10, 11, ...}

18 {8, 9, 10, 11, 12, 13}

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