代數/第4章/區間記法

代數/第4章
← 文字題	區間記法	不等式 →

區間記法和數軸

實數可以在數軸上表示，數軸理論上無限延伸到兩個相反的方向，如下所示

數軸圖兩端箭頭表示數軸在概念上無限延伸到這些方向，儘管數軸的圖形不能在這些方向上無限延伸。請注意，數軸的右側延伸到正無窮大，左側延伸到負無窮大。集合中的數字可以顯示為數軸上的點（或靠近數軸）。例如，上面從 1 到 8 的自然數集將顯示如下

通常，一系列數字會向一個或兩個方向無限延伸。例如，自然數集，由自然計數的數字組成，從 1、2、3、4 開始，一直延伸到無窮大。無限集（或類似元素）的無限延續可以用幾個點（稱為省略號）來表示，這些點出現在列出的一些數字或元素之後，顯示初始趨勢。因此，自然數集可以表示如下

\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...\rbrace \,

其中三個點表示無限集元素的延續趨勢。整數集可以表示如下

\lbrace ...,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,...\rbrace \,

列出無限集的元素沒有特別要求必須在 10 或 8 或任何特定數字處停止，只要給出一個清晰易懂的趨勢即可。直觀地，當我們在整數中找到數字 1 並看到該集合繼續永遠向上計數時，我們可以認為自然數集是整數集的子集。到目前為止，我們討論了離散數字。離散表示由一個或多個孤立的、單獨的數字或點組成；或者沒有數字或點的連續範圍（區間）。

在任意兩個整數之間，存在無限多個分數或有理數。此外，在任意兩個分數之間，存在無限多個其他分數，依此類推。這種特徵有時被稱為連續性。這樣一組連續的數字在數軸上（或靠近數軸）表示為粗體線段，類似於幾何中用線段表示一組連續點的方式。包含兩個給定數字之間所有數字的連續數字集通常稱為區間。連續數字集所處的兩個數字是線段的端點。區間端點的一個、兩個或都不包含在區間內的數字集中。如果包含端點處的數字，則該端點為閉端點，用實心點表示。如果不包含端點處的數字，則該端點為開端點，用空心點（一個小空心圓）表示。例如，下面在數軸上顯示的是 1 和 8 之間的區間，其中包含 1（在 1 處閉合），但不包含 8（在 8 處開放）

為了節省我們描述這些區間的時間，我們通常用兩種型別的括號 [ ] 和 ( ) 來表示它們。方括號 [ ] 表示閉區間 - 即，括號內的數字包含在內，就像數軸區間上的實心點一樣。圓括號 ( ) 表示開區間 - 即，括號內的數字被排除在區間之外，就像數軸上的空心點一樣。我們還可以使用符號 $\geq$ 表示左側語句是閉合的，使用符號 $\leq$ 表示右側語句是閉合的。符號 $>$ 和 $<$ 表示區間是開區間。考慮以下示例，其中我們讓 X 代表區間上的任何數字

$[4,9]=4\leq X\leq 9\,$ 或從 4 到 9 的所有數字。

$(4,9)=4<X<9\,$ 或 4 和 9 之間的所有數字。

$[4,9)=4\leq X<9\,$ 或 4 和 9 之間的所有數字，包括 4。

與第三個示例一樣，我們可以使用兩種型別的括號的組合來顯示實數上的任何區間。也可以定義一組連續數字，該數字集從一個數字開始（或結束），並向正方向或負方向無限延伸。在幾何上，這樣的集合在數軸上表示為射線，其中連續數字集顯示為線段的較粗部分。如果端點包含在集合中，則端點為閉合的，用實心點表示。如果端點不包含在集合中，則端點為開放的，用空心點表示。例如，大於或等於 1 的數字集在下面數軸上顯示

這相當於區間 $[1,\infty ]$ 。在另一個例子中，一組小於 8 的數字， $[-\infty ,8)$ ，如下面的數軸所示。

包含代數方程所有解的集合稱為該方程的解集，即如果將所有數字代入該方程中的“未知”變數，則會使方程成立。公式是一個數學“過程”，它透過使用其他變數和數字來找到不同未知變數的答案。愛因斯坦的公式就是一個公式的例子： $E=Mc^{2}$ ；如果你知道物體的質量M，並將其乘以光速的平方( $c^{2}$ )，你就會得到它的能量E。像這樣的公式也可以重新排列以找到不同變數的值。

練習題

概念問題

問題 4.1（解釋不等式）

問題 4.2 ()假設兩個值 A 和 B 不相等，你能確定下面兩個量中哪個更大嗎？

推理和應用

挑戰問題

測驗

	直線
	線段
	射線

	下
	上

	實心
	空心

	直線
	線段
	射線