代數/第 4 章/不等式

代數

代數/第 4 章
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不等式的定義

與方程式不同，不等式是一個表示式，它表明兩個量不相等或不等於彼此。在現實生活中，我們經常使用不等式比使用方程式更頻繁（例如，這件襯衫比那件襯衫貴 2 美元）。

假設 a 和 b 是實數，有四種基本不等式

a < b --> a "小於" b
例如：2 < 4 ; -3 < 0; 等。
a > b --> a "大於" b
例如：-2 > -4 ; 3 > 0 ; 等。
$a\leq b$ --> a "小於或等於" b
例如：如果我們知道 $x\leq 7$ ，那麼我們可以得出結論，x 等於任何小於 7 的值，包括 7 本身。
$a\geq b$ --> a "大於或等於" b
例如：相反地，如果 $x\geq 7$ ，那麼 x 等於任何大於 7 的值，包括 7 本身。

可能的關係

數軸上的一個數總是大於它左邊的任何數，小於它右邊的任何數。符號 " $<$ " 用於表示 "小於"，" $>$ " 用於表示 "大於"。

考慮這條數軸

從數軸上，我們可以很容易地看出 3 大於 -2，因為 3 在 -2 的右邊（或 -2 在 3 的左邊）。我們把它寫成 $3>-2$ 。小學老師告訴我把大於號想成一個“貪婪的嘴”。嘴總是試圖吃更大的數字。當我看著數軸時，我可以看到大於和小於符號也可以代表數軸兩端的箭頭。在這種情況下，不等式符號代表箭頭，指示我從第二個數字到第一個數字要走的方向。如果第二個數字小於第一個數字，那麼我必須在數軸上向右移動才能從第二個數字移動到第一個數字（這就是為什麼“嘴”指向第一個數字）。類似地，如果第二個數字大於第一個數字，那麼我必須在數軸上向左移動（“嘴”現在指向第二個數字）。我永遠也記不住老師關於“貪婪的嘴”的經驗法則，但是當我把符號看成線末端的箭頭時，運算子的方向對我來說是有意義的。你怎麼記住 " $<$ " 用於表示 "小於"，" $>$ " 用於表示 "大於"？

考慮一個數字 $a$ 和一個常數 $C$ 。以下語句中只有一個可以為真

$a>C$
$a=C$ ，或
$a<C$

這是三歧律。另一種描述方式是，給定一個固定數字和一個變數，該變數可以代表小於該數字的數字，與該數字相同的數字，或大於該數字的數字。當我們使用符號從文字建立不等式時，我們知道這些語句中只有一個可以為真。

文字題

性質

不等式有四個重要的性質：1. 傳遞性質：對於任意三個數字 $x$ ， $y$ 和 $z$ ，如果 $x>y$ 且 $y>z$ ，那麼 $x>z$ 。

2. 在不等式中，我們可以從兩邊加或減去相同的值，而不會改變符號（即“ $>$ ” 或 “ $<$ ”）。也就是說，對於任意三個數字 $x$ ， $y$ 和 $p$

if $x>y$ ，那麼 $x+p>y+p$ 和 $x-p>y-p$ 。

3. 我們可以將兩邊乘以或除以一個正數，而不會改變符號。例如，如果我們有兩個數字 $x$ 和 $y$ ，以及另一個正數 $p$

如果 $x>y$ ，那麼 $x\times p>y\times p$ 以及 ${\frac {x}{p}}>{\frac {y}{p}}$ 。

4. 當我們用負數乘或除不等式的兩邊時，必須改變不等式的符號（即，" $>$ " 變為 " $<$ "，反之亦然）。所以，如果我們有兩個數字 $x$ 和 $y$ ，以及另一個負數 $p$

如果

x>y

，那麼

x\times p<y\times p

以及

{\frac {x}{p}}<{\frac {y}{p}}

。

現在我們可以繼續解決任何線性不等式。

求解不等式

求解不等式與求解線性方程幾乎相同。讓我們考慮一個例子： $x+4<13$ 。我們只需在兩邊都減去 4 即可。然後我們得到 $x<9$ ，這就是答案！然而，要注意的是，我們得到的不是一個單一的答案，而是一組解。任何滿足條件 $x<9$ （任何小於 9 的數）的數字都是不等式的解。使用數軸表示解非常方便

 <-------------------o
 <-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
   6     7     8     9     10    11

注意：圓圈 (o) 表示 9 不包括在內。稍後，當我們處理小於或等於以及大於或等於（≤ 和 ≥）時，我們將使用 "*" 來表示該值包含在解集中。

讓我們嘗試另一個更復雜的問題： $3x-2>2(x-3)$ 。首先，你可能想展開右側： $3x-2>2x-6$ 。然後我們可以簡單地重新排列，使所有未知數都在一邊（通常是左邊）： $3x-2x>-6+2$ 。因此，我們可以很容易地得到答案： $x>-4$ 。

一元不等式的影像。第一條數軸顯示 x>3、x<-7 和 -4<x≤0。第二條數軸顯示析取 x<-2 或 x>2。

以下是一個在尋找解時不等式方向會改變的例子：求解 $4-6x>22$ 。

首先從兩邊減去 4： $-6x>18$ 。
現在用 -6 除以，改變不等式方向： ${\frac {-6x}{-6}}<{\frac {18}{-6}}$ 。

所以不等式的解是 $x<-3$ 。

不等式與等式不同，通常有無窮多個解。

$x>A\!\$ 表示 x 大於 A

$x<A\!\$ 表示 x 小於 A

特殊情況 - 乘以 -1

用負數乘或除不等式兩邊的規則指出，你也需要改變不等式方向。看一下不等式 -1 < 1。讓我們將其泛化為 -1 op 1，雖然我們知道運算子應該是 <。現在將不等式的兩邊乘以 -1。你得到 (-1)*(-1) op (1)*(-1)。簡化後得到 1 op -1。為了使此語句為真，運算子現在需要是 >。

如果我們想要，我們可以將乘以負數更改為兩個操作：[(-1)*(數字)][-1 < 1][(數字)*(-1)]。這可能看起來很明顯，因為我們知道，要使數字變成其相反數，我們只需要乘以 -1。但是，乘以 -1 會導致我們必須改變不等式運算子方向的原因是什麼？如果你在數軸上用數字 1 表示乘法，你會發現你所做的只是將 x（你正在乘的數字）個單位移動到零的右側。

待辦：需要圖形

類似地，如果你在數軸上用數字 -1 表示乘法，你會發現你需要將 x（你正在乘的數字）個單位移動到零的左側。

待辦：需要圖形

現在考慮等式和不等式之間的區別。如果你知道 x = y 為真，那麼你也知道 x-y = 0。如果你知道 x > y，那麼你知道兩件事：x - y > 0（大 - 小為正）以及 y - x < 0（小 - 大為負）。如果我們將 x > y 乘以 1，我們仍然得到 x > y。如果我們透過從兩邊減去 y 將 y 移動到等式的左側，我們得到 x - y > 0。我們知道這是真的。另一方面，當我們將 x > y 乘以 -1 且不改變不等式方向時，我們得到 -x > -y。當我們透過將 y 新增到兩邊將 y 移動到等式的左側時，我們得到 y - x > 0。我們知道這是不正確的。在上一步中，我們需要說 -x < -y，因為儘管兩個數字都是負數，但 -x 離左側更遠，因此比 -y 小。

完成代數問題可以變得自動化，但重要的是要記住規則為什麼是正確的，這樣你才能在你不小心忘記規則的一部分時發現自己。

特殊情況 - 分母中有變數的不等式

例如，考慮不等式

{\frac {2}{x-1}}<2\,

在這種情況下，不能將右側乘以 (x-1)，因為 x 的值未知。由於 x 可能為正或負，你無法知道是否將不等號保留為 <，或將其反轉為 >。解決此類不等式的方法涉及四個步驟

找出分母等於 0 的情況。在這種情況下，當 $x=1$ 時。
假設不等式符號是等號，並按此進行求解： ${\frac {2}{x-1}}=2\,$ ，所以 $x=2$ 。
在數軸上繪製點 $x=1$ 和 $x=2$ ，使用空心圓，因為原始方程包含一個 < sign（請注意，如果原始方程包含 <= 或 >=，則將是實心圓）。現在您有三個區域，它們由空心圓隔開。這些區域是： $x<1$ 、 $1<x<2$ 和 $x>2$ 。
獨立測試每個區域。在這種情況下，透過在該區域中選擇一個點（例如，x=1.5）並在原始不等式中進行嘗試，來測試不等式對於 12（例如，x=3）。在這種情況下，原始不等式成立，因此原始不等式的解是 x>2。