代數/第 5 章/座標 (笛卡爾) 平面
什麼是笛卡爾平面？
以“解析幾何之父”、17 世紀法國數學家 勒內·笛卡爾 (笛卡爾) 的名字命名，均勻規則網格 (笛卡爾) 座標是用於繪圖的一種系統。許多代數表示式適合圖形分析。點的 笛卡爾 圖的點位置是透過對沿編號網格線索引數值 (座標) 來找到的。微不足道的單個 R 數軸包含一個一維的、單個縱座標的系統，其中所有位置僅存在於該線上。本研究從二維繪圖開始（見下圖）。繪圖和點的位置透過其 '投影' 從兩個數軸 (R2 軸) 到頁面和平面的任意位置的偏移量來定位和標記。
我們使用兩個垂直的編號軸選擇笛卡爾平面上點的值或縱座標。按照慣例，兩條軸相交的點在每條軸上都標記為 0，這使得它們交點的縱座標成為一個特殊的點，稱為原點，標記為 (0,0)。通常，水平軸標記為 x，垂直軸標記為 y。一個有序對 (x,y) 指定平面上的點 P 的位置。如果我們不想談論有序對作為 x 和 y，我們可以將有序對中的第一個變數稱為橫座標，第二個稱為縱座標。軸在橫座標為 0 且縱座標為 0 的地方相交。我們可以概括關於有序對中橫座標和縱座標的符號，因為當兩條軸相交時，它們會形成四個象限。從右上角的象限開始，逆時針移動，象限被標記為 I、II、III 和 IV。在象限 I 中，所有 x 值和 y 值都為正，在 II 中，x 為負而 y 為正，在 III 中，所有值都為負，只有 x 在 IV 中為正。有序對 (0,0) 代表原點，即軸相交的地方。
我們使用軸來定義兩組數字之間的關係，我們用變數替換這些數字。關係意味著改變一個變數的值會決定另一個變數的值。我們將變化的變數稱為自變數，將值變化的變數稱為因變數。通常我們讓 x 代表自變數，y 代表因變數，以便我們可以用數學符號模擬 x 和 y 之間的關係。自變量表示的數字集稱為定義域。因變量表示的數字集稱為值域。一種特殊的關係稱為函式。函式是一種關係，其中定義域中的任何值都對映到值域中的一個且只有一個值。
當我們在笛卡爾平面上繪製關係的點時，我們可以確定該關係是否是一個函式——平面上的所有垂線都與我們的圖形相交一次且只有一次。函式對於模擬因果關係很有用——其中原因是自變數，而結果是因變數。
| 象限 | x 軸 (橫座標) | y 軸 (縱座標) |
|---|---|---|
| I | 正 | 正 |
| II | 負 | 正 |
| III | 負 | 負 |
| 負 | 正 | 負 |
正
IV
請注意，笛卡爾平面中唯一特殊的是它包含一個我們稱為“原點”的點，並且已標記為 (0,0)。如果我們在二維圖形的兩個軸上透過原點畫出另一個垂直於二維圖形的軸，我們可以繪製三維物體 (R3)。想象一根穿過二維圖形原點的細而可伸縮的編號導線。透過使用第三個座標 (X, Y, Z)，我們可以定位空間中高於或低於頁面的點。這個想法可以擴充套件到更高維度（包括時間），並且是理論物理學的一個領域——[[w:弦論| 弦論]] 的基礎。確定點
連續的點集可以用圖上的直線或曲線來表示，顯示連續的配對量如何相互關聯。這樣的數字或量稱為變數。一個函式、關係或方程可以定義當一個輸入量變化時，相關的輸出量如何變化。然後圖可以說明這些變數如何相互關聯。自變數是指傳送到函式的變數，因為人們可以隨意控制或改變它。因變數是來自函式的變數。函式的定義決定了因變數的值取決於自變數的值。
任何有兩個變數的方程都可以有效地定義這兩個變數之間的關係，並且該關係可以在二維笛卡爾座標圖上繪製。在任何特定的方程、關係或函式定義中，保持不變的數字，即不是變數的數字，通常稱為常數。即使一個人不太瞭解高階代數，一個人也可以透過從定義域中選擇一個變數的各種數字並計算另一個變數 (在值域中) 的相應數字來開始瞭解函式或二元方程或關係在圖中的樣子，以確定儘可能多的有序對，並將這些點繪製在圖上。繪製足夠的點後，一個人可能能夠透過連線計算出的點來估計連續的關係是什麼樣子，連線的線是直線或曲線，具體取決於情況。
確定您覺得舒服的儘可能多的點，以在圖上繪製此方程。然後在圖紙上，在方格網格上繪製 x 軸和 y 軸。然後將 (x,y) 有序對作為點繪製在圖上。最後，當您認為已經繪製了足夠的點來了解函式形狀時，連線這些點以檢視函式圖是什麼樣子。如果您不確定圖的某一部分，您可以隨時計算更多點以填補該部分。繪製圖上的點
一個求解單個變數例項的公式、方程或不等式是該變數的隱式關係，並且依賴於該變數，以剩餘和自變數的形式表示。一個顯式關係是指一個關係，它指出哪個變數是自變數。一個點解是一個值組（每個自變數一個），以及一個相應的計算出的因變數值。共識符號用逗號分隔這些值，並將因變數的值放在有序組中（如果不存在歧義，括號是可選的）。自變數的有效值解集構成關係的定義域，而因變數的有效值解集構成關係的值域。函式是一個關係，它限制了自變數的值，這些值會生成唯一的因變數值。
在此圖中，(x,y) 的軌跡是點 (3,4)。
一個完整的圖描述了關係的所有可能的點解。'一個' 自變數加上 '一個' 因變量表示一個 '兩個' 維度地圖（圖），它有兩個垂直 (正交) 數軸 (軸)，它們在原點 (O) 處相交。按照慣例，第一個座標與沿著水平軸的偏移量相關，而第二個座標與沿著垂直軸的偏移量相關 (一個有序對)。
此函式繪圖 (部分) 使用二維矩形笛卡爾座標系，第一個座標是 橫座標，通常指x 軸，而第二個座標是 縱座標，指y 軸。軸的值是數字，它們是R 的元素，並且對R 閉合，並且它們一起構成R2。原點是數字對0,0。正數在右側和上方遞增，負數在左側和下方遞減。符號x,y 是有序對點的常見形式/公式，並繪製在以下圖中。