代數/線性方程和函式

代數

什麼是線性方程？

在函式 部分，我們討論了函式如何像一個盒子，它接受一個獨立的輸入值，並使用數學定義的規則來建立唯一的輸出值。輸出值取決於放入盒子的值。我們將進入盒子的值稱為獨立值或域。我們將從盒子出來的值稱為因變數或範圍。

除非另有說明，否則笛卡爾圖中的域為實數。在笛卡爾平面 部分，我們看到了如何透過執行不同的值來識別笛卡爾平面上的點，方法是選擇點的第一個 (x) 值作為域，選擇第二個 (y) 值作為範圍。重述一下：按照慣例，笛卡爾平面上函式的兩個變數是 x 表示域，即自變數，y 表示範圍，即因變數。變數 y 與 f(x) 相同。數學家認識到這種等價性，但通常更喜歡寫 y 因為它更短。由於函式定義具有輸入和輸出，因此它還必須包含一個等號。本書中的解方程 部分展示了我們在等號兩側可以執行的各種運算，同時仍然保持等價性的概念。在本節中，我們將不同的值代入自變數並求解以找到相關的因變數。例如，如果我們從方程式開始

$y=x$ 我們可以將 -x 新增到等式兩邊得到方程式 $y-x=x-x$ 然後我們簡化為 $y-x=0$ 或者我們可以將 -y 新增到等式兩邊得到方程式 $y-y=x-y$ 然後我們簡化為 $0=x-y$ 由於 $y-x=0\equiv 0=x-y$ 然後 $y-x=0=x-y$ 使用傳遞性 $y-x=x-y$ 將 x + y 新增到等式兩邊得到 $(y-x)+(y+x)=(x-y)+(y+x)$ 使用結合律，我們將它更改為 $(y-y)+(x+x)=(x-x)+(y+y)$ 這簡化為 $2x=2y$ 並將等式兩邊除以 2 $2x/2=2y/2$ 簡化順序並顯示 $x=y$

我們在上面實際上沒有從數學上證明任何東西，但這些運算允許我們操縱方程式，以便將因變數單獨放在等號的一側。然後，我們可以將數字代入自變數以發現這些數字的函式值。然後，我們可以將這些值繪製為笛卡爾平面上的點，並瞭解如果我們能夠同時看到由函式定義的所有點，函式將是什麼樣子。

$y=0x$

形如 y = C₂ 的方程是線性函式，其一般形式為 y = m x + b，其中斜率 m = 0，常數 C₂ **是** y 軸截距 b（在一般形式中）。此零斜率函式的圖形是一條直線，與 y 軸相交於 C₂，包括零，並在 x 的所有 **R** 值（包括正值、負值和零）上無限延伸（見下圖）。

此類函式的定義域是 **R**，涵蓋所有實數（除非另有規定），但值域只是集合 { c }。方程 y = 0 就是 x 軸。

$0y=x$

方程 x = C₁，其中 x 為單個值 C₁，而 y 為無限制的，可以是所有 **R** 數。x = C₁ 的圖形是一條直線，其中 x = C₁，覆蓋 y 的所有正值、負值和零值（見下圖）。

它的定義域是集合 { C₁ }，值域是集合 **R**（除非另有規定）。x = C₁ 在技術上不是函式（每個 x 值有多個 y 值），而是一個關係。垂直線**沒有**斜率（m = 除以零，未定義，正無窮大和負無窮大）。這些是之前所示一般形式的線性方程中唯一不是線性函式的型別。方程 x = 0 **正好**是 y 軸。陡峭接近垂直的線具有非常大的斜率，但仍然是函式。

繼續

我們將從考察稱為 **線性方程** 的簡單函式開始。當定義函式規則的代數表示式中 x 和 y 的所有例項都沒有指數時，x 和 y 的所有例項可以合併為兩個例項。表示式的圖形可以用直線表示。表示函式的方程被認為是具有兩個變數的 **線性方程**。以下方程是此類線性方程的簡單示例

$y-x=2\,$

由於 y 是因變數，它代表了函式。我們可以將表示式改寫為 f(x) - x = 2。如果我們在兩邊都加上一個 x，則等式性質成立，我們得到表示式 f(x) - x + x = x + 2。簡化後得到 f(x) = x + 2。在下表中，我們將為 x 選擇 3 個值，然後從 f(x) 計算因變數（y）值。

x 值	y 值（橫座標）	座標 (x,y)
-1	1	(-1,1)
0	2	(0,2)
1	3	(1,3)

其中 x 和 y 是要在二維笛卡爾座標圖中繪製的變數，如這裡所示

此函式等效於之前線性方程的示例 y - x = 2。直線兩端箭頭表示直線在兩個方向上無限延伸。所有具有單個輸入變數的線性函式都具有或可以代數地排列成具有以下一般形式

$y=f(x)=mx+b\,$

其中 x 和 y 是變數，f(x) 是 x 的函式，m 是一個常數，稱為直線的 **斜率**，而 b 是一個常數，它是 **y 軸截距** 的縱座標（即函式線與 y 軸相交處的 y 值）。斜率表示直線的陡峭程度。在前面的例子中，y = x + 2，斜率 m = 1，y 軸截距縱座標 b = 2。y = mx+b 形式的線性函式稱為 **斜截式**。

除非另有說明 x 的定義域，否則線性函式的定義域將被假定為所有實數，因此所有線性函式的圖形中的直線都在兩個方向上無限延伸。同樣，在所有實數定義域的線性函式中，線性函式的值域將涵蓋 y 的所有實數集，除非斜率 m = 0 並且函式等於一個常數。在這種情況下，值域僅僅是該常數。

相反，如果一個函式具有一般形式 y = mx + b 或可以排列成該形式，則該函式是線性的。具有兩個變數 x 和 y 的線性方程具有或可以代數地重新排列成一般形式¹

$Ax+By=C\,$

其中 x 和 y 代表線性變數，字母 A、B 和 C 可以代表任何實數常數，包括正數和負數。反過來，具有兩個變數 x 和 y 的方程具有該一般形式，或者可以排列成該形式，只要 A 和 B 不都等於 0，它就是線性的。在前面的方程中，大寫字母是為了避免與本章中的其他常數混淆，並與參考 1 保持一致。

如果將前面的方程除以 B（當 B 不為 0 時）並求解 y，可以得到以下形式

$y=(-A/B)x+(C/B)\,$

如果將 -A/B 等於斜率 m，將 C/B 等於 y 軸截距縱座標 b，可以看出線性方程的一般形式和線性函式的斜截式實際上是可以相互轉換的，只是在線性函式中，線性方程形式中的常數 B 不能等於 0。