代數/第 3 章/解方程

代數

代數/第 3 章
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簡介

我們已經看到，一個方程就像一個天平。當一個數學語句中等號兩邊有兩個量時，我們是在說這個語句只有在使這兩個量相等的情況下才是正確的。例如，當我們看到語句 $x+2=3$ 時，我們現在知道我們是在問在方程中，我們可以用什麼數字替換 $x$ 使這個語句為真？一種方法是你可以嘗試不同的 $x$ 值，直到你得到一個有效的。這被稱為猜想-檢驗。或者你可能直觀地知道答案（透過思考：我需要給 2 加上什麼才能得到 3？）。

然而，如果你有一個更復雜的問題，比如 ${\frac {7x}{2}}+100=170$ ，你可能難以直觀地或透過猜想-檢驗來解決這個問題。正因為如此，數學家們制定了一種簡單地解決此類問題的技巧。這種技巧是代數的基礎。

由於等號意味著方程的兩邊是相同的（相同的值，不同的外觀），並且如果你以相同的方式操作（使用加法、乘法等）等號兩邊的值，那麼它們仍然會相等。這也是機械天平的工作原理。只要你對兩個盤子裡的任何東西做同樣的事情，它們就會保持水平。如果我們在一側有一個值為 3 的值，在另一側有兩個值為 2 和 1 的東西，那麼天平就會保持水平。如果我們將兩邊乘以 5，我們將得到，

$3\times 5=(2+1)\times 5$
$15=(2\times 5)+(1\times 5)$
$15=10+5$
$15=15$

注意等式仍然成立。

新石器時代代數

新石器時代函式想象一下你是新石器時代的牧羊人。你對自己的石頭袋可以做哪些改變？

可能的答案

加法 - 當你的羊群中增加了新的羊時，你會使用加法。例如，在春天，你會有一個“小羊出生”的函式，在這個函式中，你會往袋子里加一塊石頭。你可能還會有一個“多胞胎出生”的函式，在這個函式中，你根據出生的每隻小羊呼叫一次“小羊出生”的函式。

減法 - 當你決定一隻羊不再屬於你的羊群時，你會使用“移除羊函式”來保持你的石頭袋與你的羊群數量一致。你可能對丟失的羊、你用來交換你需要的東西的羊或因為晚上被吃掉的羊使用不同的石頭。你可能會提前使用這些函式來管理你的羊群。如果你知道秋天你需要從你的袋子裡移除 5 塊石頭來購買柴火，你可能會仔細檢查你的袋子，以瞭解你整個夏天可以呼叫多少次“羊晚餐”函式。

乘法 - 想象一下你是一個剛起步的牧羊人。如果你的鄰居的羊群足夠大，他們可能會承諾每月給你一定數量的羊作為照看他們羊群的報酬。例如，如果他們承諾每月給你兩隻羊作為照看他們羊群的報酬，那麼你就會知道，一個月後你會得到兩隻羊，兩個月後你會得到四隻羊，整整一年後，你可能會有足夠的羊開始自己的經營。

除法 - 據說有兩件事是不可避免的：死亡和稅收。除法是我們用來使不可避免的事情變得公平的操作。當一個牧羊人去世時，他的繼承人可以使用除法來公平地分配他的羊群。他們可以使用一個函式，該函式分配給每個繼承人一隻羊，直到羊群被分配完畢。如果羊群不能被平均分配，繼承人可以如何分配多餘的羊？同樣，在收稅時，從羊群中拿走一部分比拿走固定數量的羊更公平。族長最好每年從每個牧羊人那裡拿走羊群的 1/12。如果族長每年要求特定數量的羊，他們可能會發現，在每年稅收到期之前，他們的部落會變小，因為新的牧羊人會帶著他們的羊去一個新的部落。

思想實驗

電子遊戲有一個叫做遊戲玩法的屬性。看看你喜歡玩的遊戲，並嘗試用加、減、乘、除定義你如何與遊戲環境互動。

使用變數

在代數中，我們使用變數來表示我們無法計數的事物。因為我們無法計算變數所代表的數字，所以這個數字被稱為“未知數”。最常見的變數用 $x$ 表示。為了使用變數，我們寫一個我們知道是正確的表示式，其中 $x$ 單獨出現在等號的一側，而一個數字出現在等號的另一側。

有時，一個變數可以代表一組數字。在這種情況下，數字可以用集合符號表示。我們通常使用一個字母來提醒我們變數代表什麼。

以下是一些將方程進行操作以使 $x$ 單獨出現的示例，

示例 1：看電影和買爆米花需要多少錢？如果我們用 $x$ 表示進影院的錢，那麼我們可以使用變數集 $A={3,5,7,10}$ 來表示折扣票、午場票、普通票或IMAX票。如果我們假設所有影院的爆米花都賣3美元，那麼我們可以寫出方程 $x-A=3$ 來表示我們需要的花費。我們可以等式兩邊都加上A，得到方程 $x=3+A$ 。將A的值代入這個方程，我們發現 $x={6,8,10,13}$ 。

示例 2： $x$ 在 $2x=4$ 中的值是多少？

解：我們可以在這種情況下做同樣的事情，將它除以2（因為 ${\frac {2x}{2}}$ 等於 $x$ （記住 $x$ 與1 $x$ 相同，因為它隱含的係數是1），但為了保持等式兩邊相等，我們也需要將另一邊除以2，得到，

${\frac {2x}{2}}={\frac {4}{2}}$
$x={\frac {4}{2}}$
$x=2$

示例 3： $x$ 在 $3x+1=4$ 中的值是多少？

解：首先我們需要在等式兩邊都減去 1，

$3x+1-1=4-1$
$3x=3$

然後，我們將等式兩邊除以 3，得到：

${\frac {3x}{3}}={\frac {3}{3}}$
$x=1$

雖然在本例中我們選擇先做減法再做除法，但我們也可以反過來做，先做除法再做減法，如下所示：

${\frac {3x}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{3}}$
$x={\frac {3}{3}}$
$x=1$

在解題時，通常先做加減法再做乘除法會比較方便，這樣可以避免加減分數。不過，兩種方法都是有效的。

化簡方程

有時候你會遇到等式兩邊都有變數的情況，例如 $5x-1=2x+2$ ，其中 x 可以在等式兩邊找到。

我們解決這類方程的方法與之前解決問題的辦法類似，只不過這次你必須首先確保所有變數都在同一側。最簡單的方法是透過示例來了解如何做。

示例 1：如何在方程 $5x-1=2x+2$ 中找到 $x$ 的值？

首先，你需要選擇要將變數放在等號的哪一側，左側還是右側，在本例中，我們將選擇將 $x$ 放在左側。

為此，我們首先需要檢視 $x$ 在右側的哪個位置出現；在本例中，它只出現在 $2x$ 項中。由於我們不想在右側保留 $x$ ，我們需要將其刪除，我們可以透過從右側減去 $2x$ 來實現。請記住，為了保持等式仍然成立，我們需要在左側也執行相同的操作。

$5x-1-2x=2x+2-2x$ (在等式兩邊減去 2x)
$3x-1=2$ (簡化)

現在這個方程的形式是你從上一章熟悉的，所以希望你現在能夠解出這個問題，並得到答案 $x=1$ .

根式的運算

假設我們有一個數字 $x$ 。 $x$ 的平方根是指那個與自身相乘等於 $x$ 的數字。由於有兩個數字滿足這個條件，我們通常指定正值。例如，4 的平方根可以是 2（因為 $2\times 2=4$ ）或它可以是 -2（因為 $-2\times -2=4$ ）。我們使用符號 ${\sqrt {x}}$ 來表示 $x$ 的正平方根。

$x$ 的立方根是指那個與自身相乘三次等於 $x$ 的數字。我們使用符號 ${\sqrt[{3}]{x}}$ 來表示 $x$ 的立方根。

我們使用符號 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 來表示那個與自身相乘 $n$ 次等於 $x$ 的數字。或者用符號表示：如果 $y={\sqrt[{n}]{x}}$ ，則 $y^{n}=x$ .

規則

${\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=({\sqrt {x}})^{2}={x}$
${\sqrt {\frac {x}{y}}}={{\sqrt {x}} \over {\sqrt {y}}}$
$x^{{m} \over {n}}={({\sqrt[{n}]{x}})^{m}}$
${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={{\sqrt {x}}{y}}$
${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{x}}=x^{1 \over {m\cdot n}}$

求解（變數）

在解方程時，通常需要解出特定變數。為此，您需要將該變數的所有例項放到等號的一側，將所有其他內容放到另一側。

等式性質

表示等式兩側相等的等號是一個非常奇怪的符號，它具有許多性質。它告訴您每側的各種特徵，並允許您以特定方式操作每側。以下是該符號的不同性質

性質名稱	定義	示例
自反性	a = a	8=8
對稱性	如果 a = b，則 b = a	如果 (3)(2) = 6，則 6 = (3)(2)
傳遞性	如果 a = b 且 b = c，則 a = c	如果 8 = (4)(2) 且 (4)(2) = (2)(4)，則 8 = (2)(4)
替代性	如果 a = b，則可以將 a 替換為 b，反之亦然	如果 a = b 且 1 + a = 3，則 1 + b = 3
加法	您可以將一個數字加到等式兩側。	$x-6=14\,$ $x-6+6=14+6\,$ $x=20\,$
減法	您可以從等式兩側減去一個數字。	$x+6=14\,$ $x+6-6=14-6\,$ $x=8\,$
乘法	您可以將等式兩側乘以一個數字。	${\frac {x}{6}}=18$ $6({\frac {x}{6}})=(18)(6)$ $x=108\,$
除法	你可以用一個數除等式的兩邊。	$6x=18\,$ $6x({\frac {1}{6}})=({\frac {18}{6}})$ $x=3\,$

練習題

判斷以下問題是表示式還是等式。

	表示式
	等式

	表示式
	等式

	表示式
	等式

確定以下問題中使用了哪些性質。

替換性質

代數基本定律

在代數中，我們使用的是實數集。我們在實數部分討論了實數關於數學運算的性質。如果你不記得交換律、結合律、分配律和恆等律，請返回實數部分複習。

代數中有幾個基本定律。理解這些定律將有助於你操作和求解等式，以及理解代數關係。

比例或比率

比率或比例可以用分數的等式表示

(例如 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$ ),

或者它們可以表示為關係 Q : R = S : T ，（用文字表達為“‘Q’ 與 ‘R’ 的關係如同 ‘S’ 與 ‘T’ 的關係”）。

使用“與…的關係如同…”這樣的詞語可以幫助我們理解值之間的物理關係，而分數表示法可以幫助我們處理數學關係。

例如，在美國，我們知道 3 英尺與 1 碼的關係如同 6 英尺與 2 碼的關係，但如果用數學方程表示： ${\frac {3}{1}}={\frac {6}{2}}={\frac {2*3}{2*1}}$ 可以幫助我們看到這是正確的，因為我們只是將原始比例翻倍。

考慮關係 3*4 = 2*6 = 1*12。這是否意味著除了 12=12=12 這個顯而易見的事實之外，還有其他含義？你能用多少種方式包裝 12 個物品？

一般來說，這些關係可以用一個像 $Q\cdot T=S\cdot R$ 這樣的通用方程來描述。

將方程兩邊同時除以 $T\cdot R$ ，得到

${\frac {Q\cdot T}{T\cdot R}}={\frac {S\cdot R}{T\cdot R}}$ ，簡化為 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$

如果我們改而除以 $Q\cdot S$ ，結果將簡化為

${\frac {T}{S}}={\frac {R}{Q}}$

需要注意的是，每一項也與另外兩個變數成比例關係。

 In our examples all of the following are also valid
 Q : S = R : T ,“ ‘Q’ is to ‘S’ as ‘R’ is to ‘T’ ”.
 R : Q = T : S ,“ ‘R’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘S’ ”..  
 S : Q = T : R ,“ ‘S’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘R’ ”.

 Since 2*6=3*4
 2:3 = 4:6, 2 is to 3 as 4 is to 6, and 2/3 = 4/6.
 4:2 = 6:3, 4 is to 2 as 6 is to 3, and 4/2 = 6/3.
 3:2 = 6:4, 3 is to 2 as 6 is to 4, and 3/2 = 6/4.
 2:4 = 3:6, 2 is to 4 as 3 is to 6, and 2/4 = 3/6.

解方程

雖然我們已經解過幾個方程了，但現在我們將討論解方程的正式概念。解方程就是找到方程中所有變數的值。要找到變數的值，你必須對方程進行操作，使其達到 ${\text{variable}}={\text{number}}$ 的狀態。這樣你就知道變數的值了！你將使用等式性質來操作方程，使其達到所需的格式。

練習題

在以下方程中解出 x 的值。

x=

x=

x=

x=

x\in

課文回顧

方程是兩個相等的表示式，它們用等號將它們分別放在等號的兩邊來表示。你可以對方程的兩邊進行加、減、乘或除運算，同時保持方程的相等性（例如，我們知道 7 = 7，對吧？如果我們在兩邊都減去 2，結果仍然是一個正確的等式：5 = 5）。還有其他等式性質，例如自反性、對稱性、傳遞性、代入性。你將使用所有這些性質來解（求出）方程中變數的值。

課文測驗

	是
	否