代數/第 3 章/解方程

代數

代數/第 3 章
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介紹

我們已經瞭解到方程就像天平一樣。當數學表示式中等於號兩邊有兩個量時，我們是在說該表示式只有在使這兩個量相等的情況下才為真。例如，當我們看到表示式 $x+2=3$ 時，我們現在知道我們是在問，我們在方程中可以用什麼數來代替 $x$ 使這個表示式為真？你可以透過嘗試不同的 $x$ 值直到得到一個有效的解。這被稱為猜測-檢查法。或者，你可能直覺地知道答案（思考：我需要加什麼才能使 2 變成 3？）。

但是，如果你遇到一個更復雜的問題，例如 ${\frac {7x}{2}}+100=170$ ，你可能難以直覺地或透過猜測-檢查法解決這個問題。因此，數學家們研究出了一種簡單地解決此類問題的方法。這種方法是代數的基礎。

由於等於號表示方程兩邊是相同的（相同的數值，不同的形式），並且如果你以相同的方式操作（使用加法、乘法等）等於號兩邊的數值，那麼它們仍然相等。這也是機械天平的工作原理。只要你對兩個秤盤中的任何東西做同樣的事情，它們就會保持平衡。如果我們在一個秤盤中有一個值為 3 的東西，另一個秤盤中兩個東西分別值為 2 和 1，那麼天平就會平衡。如果我們將兩邊都乘以 5，我們會得到：

$3\times 5=(2+1)\times 5$
$15=(2\times 5)+(1\times 5)$
$15=10+5$
$15=15$

注意，等式仍然成立。

新石器時代代數

新石器時代函式 想象一下你是新石器時代的牧羊人。你可以對你的石頭袋進行哪些改變？

可能的答案

加法 - 當你的羊群中增加了新羊時，你會使用加法。例如，在春天，你會使用“小羊出生”函式，在其中向你的袋子裡新增一塊石頭。你可能還會使用“多胞胎出生”函式，其中你對每隻出生的小羊都執行一次“小羊出生”函式。

減法 - 當你決定一隻羊不再屬於你的羊群時，你會使用“移除羊函式”來使你的石頭袋與你的羊群保持平衡。你可能會對丟失的羊、你用它交換了你需要的東西的羊或因為它是某天晚上晚餐的羊的石頭做不同的事情。你可能會預測使用這些函式來管理你的羊群。如果你知道你在秋天需要從你的袋子裡移除五塊石頭來買柴火，你可能會仔細檢查你的袋子，以便知道你可以在夏天使用多少次“羊晚餐”函式。

乘法 - 想象一下你是一個剛起步的牧羊人。如果你的鄰居的羊群足夠大，他們可能會承諾每個月給你一定數量的羊作為照看他們羊群的報酬。例如，如果他們承諾每月給你兩隻羊作為照看他們羊群的報酬，那麼你就會知道，一個月後你會有兩隻羊，兩個月後你會有四隻羊，整整一年後你可能會有足夠的羊來開始自己的經營。

除法 - 據說有兩種事情是不可避免的：死亡和稅收。除法是使不可避免的事情變得公平的操作。當一個牧羊人去世時，他的繼承人可以使用除法來公平地分配他的羊群。他們可以使用分配每位繼承人一隻羊的函式，直到羊群被分配完畢。如果羊群不能被平均分配，那麼繼承人如何分配多餘的羊呢？同樣，在徵稅時，對羊群的一部分徵稅比徵收固定數量的羊更公平。氏族首領最好每年從每個牧羊人那裡收取羊群的 1/12。如果氏族首領每年要求特定數量的羊，他們可能會發現，每年在繳稅前夕，他們的氏族都會變小，因為新的牧羊人會帶著他們的羊加入新的氏族。

思維實驗

電子遊戲有一個叫做遊戲玩法的屬性。看看你喜歡的電子遊戲，並嘗試定義你如何使用加法、減法、乘法和除法與環境互動。

使用變數

在代數中，我們使用變數來表示那些我們無法計數的事物。由於我們無法計算變數所代表的數字，因此該數字被稱為“未知數”。最常見的變數用 $x$ 表示。為了使用變數，我們寫一個我們知道為真的表示式，該表示式一邊是 $x$ ，另一邊是數字，中間用等號連線。

有時，一個變數可以代表一組數字。在這種情況下，可以使用集合符號來表示該數字。我們通常使用一個提醒我們變數所代表事物的字母。

以下是一些將等式進行操作以獲得 $x$ 本身的示例：

示例 1：我需要多少錢才能去看電影並買爆米花？如果我們讓 $x$ 等於我進入影院所需的錢，那麼我們可以使用變數集 $A={3,5,7,10}$ 來表示折扣票價、午場票價、普通票價或 IMAX 票價。如果我們假設所有影院的爆米花價格都是 3 美元，那麼我們可以寫出等式 $x-A=3$ 來表示我們需要的錢。我們可以將等式兩邊都加上 A，得到等式 $x=3+A$ 。將 A 的值代入該等式，我們發現 $x={6,8,10,13}$ 。

示例 2：在 $2x=4$ 中， $x$ 的值是多少？

解：我們可以像之前一樣，將等式兩邊除以 2（因為 ${\frac {2x}{2}}$ 等於 $x$ （記住 $x$ 與 1 $x$ 相同，因為它的係數是 1），但為了保持等式兩邊相等，我們需要將另一邊也除以 2，得到：

${\frac {2x}{2}}={\frac {4}{2}}$
$x={\frac {4}{2}}$
$x=2$

示例 3：在 $3x+1=4$ 中， $x$ 的值是多少？

解：首先我們需要從等式兩邊減去 1，

$3x+1-1=4-1$
$3x=3$

然後我們將等式兩邊都除以 3，得到：

${\frac {3x}{3}}={\frac {3}{3}}$
$x=1$

儘管在本例中，我們選擇先進行減法再進行除法，但我們也可以反過來進行，先進行除法，然後進行減法，如下所示：

${\frac {3x}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$
$x={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{3}}$
$x={\frac {3}{3}}$
$x=1$

在解決問題時，通常先進行加減運算，再進行乘除運算，這樣可以避免進行分數的加減運算。但是，兩種方法都是有效的。

簡化方程

有時你會遇到方程兩邊都有變數的情況，例如 $5x-1=2x+2$ ，其中 x 可以在方程的兩邊找到。

我們用與之前解決問題相同的方式解決這種型別的方程，但這次你需要首先確保所有變數都在同一側。最簡單的例子是

例 1：如何求解方程 $5x-1=2x+2$ 中 $x$ 的值？

首先，你需要選擇你希望變數位於等號的左側還是右側，在本例中，我們將選擇將 $x$ 放在等號的左側。

為此，我們首先需要檢視 $x$ 在等號右側的位置；在本例中，它只出現在項 $2x$ 中。由於我們不希望 $x$ 位於等號右側，我們需要將其移除，我們可以透過從右側減去 $2x$ 來實現。請記住，為了保持等式的準確性，我們需要對等式兩邊進行相同的操作。

$5x-1-2x=2x+2-2x$ (從兩邊減去 2x)
$3x-1=2$ (簡化)

現在方程的形式與上一章中的形式相同，因此你應該能夠解決這個問題並得到答案 $x=1$ 。

根式的運算

假設我們有一個數字 $x$ 。的平方根是那個數字，它自身相乘等於 $x$ 。由於有兩個數字滿足這個條件，我們通常指定正值。例如，4 的平方根可以是 2（因為 $2\times 2=4$ ），或者它也可以是 -2（因為 $-2\times -2=4$ ）。我們使用符號 ${\sqrt {x}}$ 表示 $x$ 的正平方根。

的立方根是那個數字，它自身相乘三次等於 $x$ 。我們使用符號 ${\sqrt[{3}]{x}}$ 表示 $x$ 的立方根。

我們使用符號 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 表示那個數字，它自身相乘 $n$ 次等於 $x$ 。或者用符號表示：如果 $y={\sqrt[{n}]{x}}$ 那麼 $y^{n}=x$ 。

規則

${\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=({\sqrt {x}})^{2}={x}$
${\sqrt {\frac {x}{y}}}={{\sqrt {x}} \over {\sqrt {y}}}$
$x^{{m} \over {n}}={({\sqrt[{n}]{x}})^{m}}$
${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={{\sqrt {x}}{y}}$
${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{x}}=x^{1 \over {m\cdot n}}$

求解 (變數)

在解方程式時，通常求解特定變數。為此，您必須將該變數的所有例項都放在等號的一側，而將其他所有內容放在另一側。

等式性質

表示等號兩側相等的等號是一個非常奇怪的符號，它具有許多性質。它告訴您等號兩側的各種特徵，並且允許您以特定的方式操作等號兩側。以下是該符號的不同性質

性質名稱	定義	示例
自反性	a = a	8=8
對稱性	如果 a = b，則 b = a	如果 (3)(2) = 6，則 6 = (3)(2)
傳遞性	如果 a = b 且 b = c，則 a = c	如果 8 = (4)(2) 且 (4)(2) = (2)(4)，則 8 = (2)(4)
替代性	如果 a = b，則可以將 a 替換為 b，反之亦然	如果 a = b 且 1 + a = 3，則 1 + b = 3
加法	您可以在等式兩側加上一個數字。	$x-6=14\,$ $x-6+6=14+6\,$ $x=20\,$
減法	您可以在等式兩側減去一個數字。	$x+6=14\,$ $x+6-6=14-6\,$ $x=8\,$
乘法	您可以在等式兩側乘以一個數字。	${\frac {x}{6}}=18$ $6({\frac {x}{6}})=(18)(6)$ $x=108\,$
除法	您可以在等式兩側除以一個數字。	$6x=18\,$ $6x({\frac {1}{6}})=({\frac {18}{6}})$ $x=3\,$

練習題

確定以下問題是表示式還是方程式。

	表示式
	方程式

	表示式
	方程式

	表示式
	方程式

找出下列問題中使用到的性質。

性質：

代數基本定律

在代數中，我們處理的是實數集。我們在實數部分討論了實數關於數學運算的性質。如果你不記得交換律、結合律、分配律和單位律，請回到實數部分複習一下。

代數中有一些基本定律。理解這些定律將有助於你操作和解方程，並理解代數關係。

比例或比率

比率或比例可以用分數方程表示

(例如 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$ )，

或者可以表示為關係 Q : R = S : T （用文字表示為“‘Q’ 對 ‘R’ 就像 ‘S’ 對 ‘T’”）。

使用“對”這個詞可以幫助我們理解這些值之間的物理關係，而分數表示則可以幫助我們處理數學關係。

例如，在美國，我們知道 3 英尺對 1 碼就像 6 英尺對 2 碼，但用數學方程表示： ${\frac {3}{1}}={\frac {6}{2}}={\frac {2*3}{2*1}}$ 可以幫助我們看到這是真的，因為我們所做的只是將原始比例加倍。

考慮關係 3*4 = 2*6 = 1*12。這是否意味著除了 12=12=12 這個顯而易見的事實之外還有什麼別的意思？你可以用多少種方式包裝 12 個物品？

通常，這些關係可以用類似 $Q\cdot T=S\cdot R$ 的一般方程來描述

將方程兩邊除以 $T\cdot R$ 得到

${\frac {Q\cdot T}{T\cdot R}}={\frac {S\cdot R}{T\cdot R}}$ ，化簡為 ${\frac {Q}{R}}={\frac {S}{T}}$

如果我們改用 $Q\cdot S$ 除以，結果將簡化為

${\frac {T}{S}}={\frac {R}{Q}}$

需要注意的是，每個項也與另外兩個變數成比例關係。

 In our examples all of the following are also valid
 Q : S = R : T ,“ ‘Q’ is to ‘S’ as ‘R’ is to ‘T’ ”.
 R : Q = T : S ,“ ‘R’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘S’ ”..  
 S : Q = T : R ,“ ‘S’ is to ‘Q’ as ‘T’ is to ‘R’ ”.

 Since 2*6=3*4
 2:3 = 4:6, 2 is to 3 as 4 is to 6, and 2/3 = 4/6.
 4:2 = 6:3, 4 is to 2 as 6 is to 3, and 4/2 = 6/3.
 3:2 = 6:4, 3 is to 2 as 6 is to 4, and 3/2 = 6/4.
 2:4 = 3:6, 2 is to 4 as 3 is to 6, and 2/4 = 3/6.

解方程

雖然我們已經解過一些方程，但現在我們將討論解方程的正式概念。解方程就是找出方程中所有變數的值。為了找到一個變數的值，你必須對方程進行操作，使其達到 ${\text{variable}}={\text{number}}$ 的狀態。然後你就知道變數的值了！你將使用等式性質來操縱方程，使其變成你想要的形式。