代數/第 5 章/座標 (笛卡爾) 平面
什麼是笛卡爾平面？
以“解析幾何之父”、17 世紀法國數學家 勒內·笛卡爾（笛卡爾） 命名，統一的規則網格（笛卡爾）座標是用於繪圖的一種系統。許多代數表示式適合進行圖形分析。點的 笛卡爾 圖的位置透過索引沿編號網格線上的數值（座標）來找到。簡單的單一R數軸構成一個一維的、單一縱座標的系統，所有位置僅存在於該線上。本研究從二維繪圖開始（參見下面的兩個圖）。圖和點的位置和標記與它們在頁面和平面上的兩個數軸（R2 軸）上的“投影”偏移量有關。
我們使用兩個垂直的編號軸來選擇笛卡爾平面上點的值或縱座標。按照慣例，兩個軸交叉的點在每個軸上都標記為 0，這使得它們的交點的縱座標成為一個特殊的點，稱為原點，並標記為 (0,0)。通常，水平軸標記為x，垂直軸標記為y。有序對 (x,y) 指定平面上的點 P 的位置。如果我們不想將有序對稱為 x 和 y，我們可以將有序對中的第一個變數稱為橫座標，第二個稱為縱座標。軸交叉的地方是橫座標為 0 且縱座標為 0 的地方。我們可以概括關於有序對中橫座標和縱座標的符號，因為當兩個軸交叉時，它們形成了四個象限。逆時針移動，從右上角的象限開始，象限標記為 I、II、III 和 IV。在象限 I 中，所有 x 值和 y 值都為正，在 II 中，x 為負，y 為正，在 III 中，所有值都為負，只有 x 在 IV 中為正。有序對 (0,0) 表示軸相交處的原點。
我們使用軸來定義兩個數字集之間的關係，我們用變數替換這兩個數字集。關係意味著改變一個變數的值會決定另一個變數的值。我們將正在改變的變數稱為自變數，我們將值發生變化的變數稱為因變數。通常我們讓x表示自變數，y表示因變數，這樣我們就可以用數學符號來模擬 x 和 y 之間的關係。自變量表示的數字集稱為定義域。因變量表示的數字集稱為值域。一種特殊的關係稱為函式。函式是一種關係，其中定義域中的任何值都對映到值域中的一個且只有一個值。
當我們在笛卡爾平面上繪製關係的點時，我們就可以確定這種關係是否是一個函式——平面上的所有垂直線都與我們的圖形相交一次且只有一次。函式對於模擬因果關係非常有用——其中原因是自變數，結果是因變數。
| 象限 | x 軸 (橫座標) | y 軸 (縱座標) |
|---|---|---|
| I | 正數 | 正數 |
| II | 負數 | 正數 |
| III | 負數 | 負數 |
| IV | 正數 | 負數 |
請注意，笛卡爾平面中唯一獨特之處在於它包含一個我們稱為“原點”的點，並將其標記為 (0,0) 如果我們在透過原點的二維圖形的垂直方向上繪製另一個軸，我們就可以繪製三維物體 (R3)。想象一根穿過二維圖形原點的細長的可伸縮的編號線。透過使用第三個座標，這條線 (X、Y、Z)，我們可以找到位於頁面上或空間中的點。這個想法可以擴充套件到更高維度（包括時間），並且是理論物理學的一個領域——[[w:String_theory| 弦理論
連續點集可以用圖上的線或曲線表示，顯示連續的成對量如何相互關聯。這些數字或量被稱為變數。函式、關係或方程可以定義當輸入量變化時，相關的輸出量如何變化。然後，圖可以說明這些變數是如何相互關聯的。自變數是指被髮送到函式中的變數，因為一個人可以隨意控制或改變它。因變數是函式輸出的變數。函式的定義決定了因變數的值取決於自變數的值。
任何具有兩個變數的方程都可以有效地定義兩個變數之間的關係，並且可以在二維笛卡爾座標圖上繪製該關係。在任何特定的方程、關係或函式定義中，保持不變的數字，即不是變數的數字，通常被稱為常數。即使一個人對高階代數不甚瞭解，也可以透過選擇自變數定義域中的各種數字，並計算相應的因變數（在值域中）的數字來開始瞭解函式或二元方程或關係在圖中的樣子，從而確定儘可能多的有序對，並在圖上繪製這些點。繪製了足夠的點後，人們可以透過直線或曲線連線計算出的點，來估計連續關係的樣子，具體情況而定。
確定您覺得舒服的儘可能多的點，以便在圖上繪製該方程的圖形。然後在方格紙上繪製 x 軸和 y 軸。然後將 (x,y) 有序對作為點繪製在圖上。最後，當您認為已經繪製了足夠的點以瞭解函式的形狀時，連線這些點，看看函式圖是什麼樣子。如果您不確定圖的某一部分，您可以隨時計算更多點來填充該部分。
求解單個變數的單個例項的公式、方程或不等式是該變數的隱式關係，並且依賴於該變數，以剩餘的自變數表示。顯式關係是指指出哪個變數是自變數。點解是一組值（每個自變數一個值）以及對應的計算出的因變數值。共識記號用逗號分隔這些值，其中因變數的值最後放在一個有序組中（如果不存在歧義，則括號是可選的）。自變數的有效值解集構成關係的定義域，而因變數的有效值解集構成關係的值域。函式是一種關係，它僅限於生成唯一因變數值的自變數值。
完整的圖描述了關係的所有可能的點解。“一個”自變數加上“一個”因變數呈現一個“二維”地圖（圖），其中有兩個垂直（正交）數軸（軸）在原點（O）處交叉（擷取）。按照共識，第一個座標與沿水平軸的偏移相關，第二個座標與沿垂直軸的偏移相關（一個有序對）。
此函式繪圖（部分）使用二維矩形笛卡爾座標系，第一個座標是 橫座標，通常表示x 軸，第二個座標是 縱座標，表示y 軸。軸值是數字，是R的元素，並且對R是閉合的，並且一起構成R2。原點是數字對0,0。正數向右和向上遞增，負數向左和向下遞減。x,y 表示法是有序對點的常見形式/公式，並在以下圖中繪製。
要記住座標的順序，想想過山車——“如果你做正確，你可能會向上扔”；或者如果圖是一條有高樓的街道——你必須沿著街道走（右/左）才能進入並向上走樓梯；或者你爬行（右/左）然後才走路（站起來）。
座標軸和平面場向外延伸，儘可能接近無窮大（正負），以滿足任何分析的需要。在實際應用中，圖形會被縮短為待考察區域。在我們的例子中，通用點x,y 被賦值為數值（x = 3，y = 4），透過將其繪製在點3,4處來實現。一條實線和一條虛線表明，該位置可以透過從（0,0）開始，向正x方向（向右）移動3單位，然後向正y方向（向上）移動4單位來確定。