代數/截距

代數

截距

要找到直線方程與 X 軸或 Y 軸的交點，不需要太多資訊。在本節中，我們將探討如何使用線性方程的標準形式來找到直線與軸的交點。在瞭解了斜率的工作原理之後，我們將看到如何將各種型別的線性方程轉換為標準形式。

X 和 Y 軸截距

軸截距點是指函式、關係或方程的圖形與 X 軸或 Y 軸相交的點。本節將探討如何確定一組特定的函式：線性函式與軸的交點。

我們知道大多數直線的定義域是無限的，因為它們在 X 的每個值處都有定義。例外是定義為 $X=c$ 的直線，其中 c 是我們在編寫函式時選擇的數字。根據定義，這條直線只在 X 的一個值處有定義。由於定義域對映到值域的多個值，因此這實際上是一種關係，而不是函式。我們已經看到這種關係的圖形是一條垂直線，它經過點 (c,Y)。在下圖中，我們展示了當 c=0 時，我們的直線與 Y 軸相同。當 $c\neq 0$ （如 X = 3 的圖示所示）時，直線永遠不會與 Y 軸相交。

方程為 X=C 的直線與 X 軸相交一次，與 Y 軸相交 0 次或無限次。

我們也可以透過簡單地寫下 $Y=c$ 來限制函式的值域，其中 c 又是我們選擇的任何數字。這條直線的圖形是一條水平線，它經過點 (X,c)。當 Y=o 時，這條直線與 X 軸相同。當 $c\neq 0$ （如 Y = 3 的圖示所示）時，直線永遠不會與 X 軸相交。

方程為 Y=C 的直線與 Y 軸相交一次，與 X 軸相交 0 次或無限次。

在觀察笛卡爾圖形和線性方程時，我們遇到了一個數學公理：“兩點確定一條直線”。在下一節中，我們將看到此公理如何影響直線的斜截式定義 $y=f(x)=mx+b$。當兩條直線相交時，它們會在一個點處相交。如果一條直線不是水平的或垂直的，那麼它必須與 X 軸和 Y 軸相交一次，但只有一次。

在這本書中，我們將接受 語句“在一個平面內，最多隻能畫出一條透過不在給定直線上的任何點並平行於給定直線的直線”。有一個名為“非歐幾何”的數學分支，該分支在 160 多年前才建立。即使你不對數學感興趣，閱讀這篇關於 幾何 的維基百科文章也是值得的，以瞭解如何用代數方法將幾何形式化，然後超越代數方法改變文明。如果你繼續從事需要高階數學的職業，比如工程或物理，你可能想根據自己的興趣看看非歐幾何對你職業的影響。

我們已經看到，對於方程 Y=mX + b，Y 截距將始終在 b 處，因為這是 X=0 的位置。

利用代數，我們可以從兩邊減去 b：Y - b = mX

並乘以 ${\frac {1}{m}}$

${\frac {Y}{m}}-{\frac {b}{m}}=X$

我們可以看到，X 截距將是 $-{\frac {b}{m}}$。

軸截距可以簡單地指代軸上交點處的數字值。為了簡潔起見，我們可以說直線的 X 截距為 1，Y 截距為 2。在繪製了幾條直線之後，你將能夠判斷這條直線向下傾斜並穿過第二、第一和第四象限。再練習一下，你就能知道直線的方程是 Y=-2x + 2。我們將在後面看到，透過指定這兩個點，實際上是隱含了直線的斜率。這條規則有一個例外。如果我們說一條直線與軸在 0 處相交，那麼我們就知道這條直線將穿過 2 個象限，而不是 3 個象限，但我們不知道是哪兩個象限，也不知道這條直線有多陡。在下一節中，我們將討論斜率時，我們將看到為什麼上面的方程指定了一個點和一個斜率。

當嘗試繪製線性方程的圖形時，找到軸截距通常是最簡單的方法。要找到 x 軸截距，將 y 設定為 0 並解出 x。要找到 y 軸截距，將 x 設定為 0 並解出 y。對於大多數示例，截距是不同的點，一條直線可以透過這兩個截距繪製。如果兩個截距都是 (0,0)，則必須確定另一個點來繪製直線。如果方程的形式為 x = c 或 y = c，則水平線或垂直線非常容易繪製。

示例

• $Y=5\times x+2$

原始方程

• $Y=5\times 0+2$

將 0 代入 x

• $Y=2$

解

因此，Y = 5x + 2 的 y 軸截距為 2。

這適用於任何形式的方程。