代數/斜率

代數

斜率

斜率是衡量一條直線相對於其水平移動量，其垂直移動量的大小。

在這張圖中，直線的斜率是${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$.

平行線是指具有相同斜率且互不相交的線。例如，緯度線。

斜率

代數/斜率

斜率是座標系中一條直線垂直距離變化量與水平距離變化量的比值。換句話說，它是“上升”與“下降”的比值，即直線的陡峭程度。斜率通常用符號$m$表示，如方程$y=mx+b$中，x 的係數 m 表示直線的斜率。

斜率透過測量垂直距離變化量除以水平距離變化量來計算，即

$\ m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {rise}{run}}$

希臘大寫字母$\Delta$表示變化，在這種情況下，表示 y 座標的變化量除以 x 座標的變化量。

正斜率/負斜率

如果一條直線從左到右向上傾斜，則斜率必須為正。例如，斜率為 ¾ 的直線將“上升” 3 個單位，即向上移動 3 個單位；“下降” 4 個單位，即向右移動 4 個單位。斜率中的兩個數字都是負數或正數，以保證斜率為正。

如果一條直線從左到右向下傾斜，則斜率必須為負。例如，斜率為 -3/4 的直線將“上升” -3 個單位，即向下移動 3 個單位；“下降” 4 個單位，即向右移動 4 個單位。斜率中只有一個數字可以為負，以保證直線具有負斜率。

其他型別的斜率

有兩種特殊情況，無斜率和零斜率。水平線具有 0 的斜率，垂直線具有未定義的斜率。

水平線的形式為：$\ y=a$ ; 其中 a 是一個常數，即$a\in R$
垂直線的形式為：$\ x=a$ ; 其中 as 是一個常數，即$a\in R$

確定斜率

要確定斜率，您需要一些資訊。這可能包括兩個（或更多）座標、平行斜率和座標、垂直斜率和座標，或 y 截距和斜率。

對於完全水平的直線，任何兩個點之間的 y 座標差為 0，因此斜率 m = 0，表示直線沒有任何陡峭程度。如果直線延伸到右上角 (+,+) 和左下角 ( -, -) 的方向，則斜率為正。隨著斜率的增大，直線變得越來越陡峭，直到直線幾乎垂直，此時斜率非常大。當斜率 m = 1 時，直線為對角線，其角度介於 x 軸和 y 軸之間。如果直線延伸到左上角 (-,+) 和右下角 (+, -) 的方向，則斜率為負。隨著斜率從 0 變為非常小的負數，相反方向的陡峭程度會增加。比較以下函式圖中的斜率 ( m ) 值：y = 1（其中
m = 0）、y = (¹/₂) x + 1、y = x + 1、y = 2 x、y = -(¹/₂) x + 1、y = -x + 1 和 y = -2 x + 1。對於所有可以轉換為線性函式的二元線性方程，相同的計算適用於這些直線的斜率。

尋找斜率

在大多數情況下，當給出資訊時，尋找斜率很簡單。只需取斜率方程 y=mx+b，用您知道的資訊替換變數，然後求解。

兩個座標

要使用兩個座標點求斜率，首先必須找到斜率。使用標準公式${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$。將求得的斜率代入公式中的 m，並將 x 和 y 分別替換為其中一個座標點中的 x 和 y。然後解出 b。將 b 代入公式，即可完成。

例如： (1,4) (4,8)

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

$m={\frac {4-1}{4-8}}$

$m={\frac {3}{-4}}$

直接代入。

$y={\frac {3}{-4}}x+b$

$4={\frac {3}{-4}}(1)+b$

$4={\frac {3}{-4}}+b$

$4-{\frac {3}{-4}}=b$

${\frac {-19}{4}}=b$

將 b 代入公式，即可完成。

$y={\frac {3}{-4}}x+{\frac {-19}{4}}$

平行線

如果需要求一條平行於另一條直線的直線（比如AB）的斜率（比如XY），那麼可以使用直線XY的座標來求得直線AB的斜率，因為平行於另一條直線的直線的斜率是相等的，即AB的斜率等於XY的斜率。

例如：

AB和XY是平行線，求AB的斜率。

假設直線XY的座標為：

$X(2,4)=(x1,y1)$ 和 $Y(3,6)=(x2,y2)$

XY的斜率

$m=(y2-y1)/(x2-x1)$

$=(6-4)/(3-2)$

$=2/1$

⇒$m=2$

所以，

AB的斜率 = XY的斜率

⇒AB的斜率 = 2

因此，已解決。