代數/等式和不等式

代數

解線性不等式涉及找到表示式中量不相等的解。

數軸上的一個數總是比它左側的任何數都大，比它右側的任何數都小。符號 "<" 用於表示“小於”，符號 ">" 用於表示“大於”。

例如

<--|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|----->
  -5    -4    -3    -2    -1     0     1     2     3     4     5

從數軸上，我們可以很容易地判斷出 3 大於 -2，因為 3 在 -2 的右邊（或 -2 在 3 的左邊）。我們把它寫成 $3>-2$（或寫成 $-2<3$）。我們也可以推斷出任何正數總是大於負數。

考慮任意兩個數，a 和 b。下列語句中只有一個是正確的

1. $a>b$,
2. $a=b$，或
3. $a<b$

這就是三等分律。

對於一個未知數的不等式，可能存在很多（有時是無限多個）可能的解。

性質

• 傳遞性質:

對於任意三個數 $x$，$y$，$z$，如果 $x>y$ 且 $y>z$，則 $x>z$。

• 加法性質:

在不等式中，我們可以對兩邊同時加或減同一個值，而不改變符號（即“>”或“<”）。也就是說，對於任意三個數字$x$，$y$ 和 $p$，如果 $x>y$，那麼 $x+p>y+p$ 和 $x-p>y-p$.

• 乘法性質

我們可以用正數乘或除不等式的兩邊，而不改變符號。例如，如果我們有兩個數字$x$ 和 $y$，以及另一個正數$p$，那麼如果 $x>y$，那麼 $x\cdot p>y\cdot p$ 和 ${\frac {x}{p}}>{\frac {y}{p}}$.

當我們用負數乘或除不等式的兩邊時，我們必須改變不等式的符號（即“>”變為“<”，反之亦然）。所以如果我們有兩個數字$x$ 和 $y$，以及另一個負數$p$，那麼如果 $x>y$，$x\cdot p<y\cdot p$ 和 ${\frac {x}{p}}<{\frac {y}{p}}$.

現在我們可以繼續解決任何線性不等式。

解不等式

解不等式與解線性方程幾乎相同。讓我們看一個例子：$x+4<13$。我們只需要在等式的兩邊都減去 4。然後我們得到 $x<9$，這就是答案！但是請注意，你得到的不是一個單一的答案，而是一個集合解，即任何滿足條件 $x<9$（任何小於 9 的數）的數都可以作為不等式的解。用數軸表示解非常方便

<-------------------o
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
  6     7     8     9     10    11

(注意： 空心圓 ("o") 表示值 9 不包含在解集中，因為該方程的不等式是小於 9，而不是小於或等於 9。當我們稍後處理小於（大於）或等於（≤ 或 ≥）時，我們將使用實心圓 ("●") 來表示該值包含在解集中。)

讓我們嘗試另一個更復雜的問題：$3x-2\geq 2(x-3)$。首先，你可能想展開等式右側：$3x-2\geq 2x-6$。然後我們可以簡單地重新排列項，使所有未知變數都位於等式的一側，通常是左側：$3x-2x\geq -6+2$。因此我們可以很容易地得到答案：$x\geq -4$。此解在下面的數軸上表示。請注意，解需要實心圓 ("●")，因為 $x$ 大於或等於 4。

              ●------------------->
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
 -6    -5    -4    -3    -2    -1

分母中帶有變數的不等式

例如，考慮不等式

${\frac {2}{x-1}}<2\,$

在這種情況下，不能將等式右側乘以 $(x-1)$，因為 x 的值未知。由於 x 可能為正也可能為負，所以你無法確定是否將不等號保留為 $<$（即小於），或將其反轉為 >（即大於）。解決此類不等式的方法涉及四個步驟

1. 找出分母何時等於零。在上面的例子中，當 $x=1$ 時，分母等於零。
2. 假設不等號是 $=$ 號，並像這樣求解它：${\frac {2}{x-1}}=2\,$，所以 $x=2$。
3. 在數軸上繪製點 $x=1$ 和 $x=2$，用空心圓表示，因為原始方程包含 <（如果原始方程包含 $\leq$ 或 $\geq$，則會用實心圓表示）。現在你有三個區域：$x<1$，$1<x<2$ 和 $x>2$。
4. 獨立測試每個區域。在本例中，透過在該區域中選擇一個點（例如，$x=1.5$）並在原始不等式中進行嘗試，來測試不等式對 $1<x<2$ 是否成立。對於 x=1.5，原始不等式不成立。所以，嘗試 $1>x>2)$（例如，$x=3)$）。在這種情況下，原始不等式成立，因此原始不等式的解為 $1>x>2)$。

複合不等式

複合不等式是由“和”或“或”連線的兩個不等式。在“和”不等式中，兩個不等式必須都滿足。所有可能的解值都將位於兩個已定義數字之間，如果這不可能，則複合不等式 simply has no solutions.

考慮以下示例：$x+6\geq 2$ and $x\leq 2$。首先，求解第一個不等式以獲得 $x\geq -4$。所有“和”不等式都可以寫成一個不等式，例如：$-4\leq$$x\leq 2$（將 x 放在兩個 ≤ 或 < 之間，或兩者之間，較小的數字在左側，較大的數字在右側）。現在，我們可以將該不等式在數軸上繪製為線段。記住，所有 ≤ 或 ≥ 的解都必須用實心圓表示。將此圖形解釋為“介於 -4 和 2 之間的所有數字，包括 -4 和 2”。

        ●-----------------●
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
 -6    -4    -2     0     2     4

現在，讓我們考慮或不等式。或不等式通常沒有一個滿足兩者的解集。相反，它們通常有兩個無限數集，它們是每個不等式的解。因此，或圖形定義了哪些數字滿足任何一個方程。例如：$x\;<1$ 或 $x-1\geq 2$. 首先，求解第二個不等式中的x，得到$x\geq 3$. 現在，在同一個數軸上繪製這兩個不等式。記住要根據情況使用開圓和閉圓。

<-------------o           ●-------->
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-->
 -1     0     1     2     3     4

用絕對值解不等式

由於 $'''|x|=|-x|'''$涉及絕對值的不等式必須分成兩部分求解。

求解$'''|x-6|<5'''$

第一部分將是$'''x-6<5'''$，這得到$x<11$. 第二部分將是$'''-(x-6)<5'''$，求解後得到$x>1$.

因此，$|x-6|<5$的答案是$1<x<11$

        ●----------------------------><-----------------------------●
<-+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-->
  0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10    11    12

線性不等式作圖

線性不等式的作圖與線性函式的作圖非常相似。線性不等式寫成

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