代數/拋物線

代數

幾何定義

拋物線是由所有與稱為焦點的單個點和稱為準線的直線距離相同的點組成的集合。到直線的距離被認為是垂直距離。

拋物線上本身的一個重要點稱為頂點，它是焦點和準線之間距離最小的點。拋物線是對稱的，它們的的對稱軸穿過頂點。由於這種對稱性，只需要頂點和另一個點就可以完全定義一個拋物線。

代數定義

為了推匯出拋物線的方程，讓我們假設（暫時）準線是水平的，因此它的方程是

$y=a$ 其中 a 是一個常數。

還假設焦點由 (x,y) = (b,c) 給出。那麼根據定義和觀察，頂點位於

$(h,k)=\left(b,{\frac {|a+c|}{2}}\right)$

現在讓我們檢查一下 x-y 平面中的某個點 (x*,y*) 與焦點和準線之間的距離。點與焦點之間的距離由距離公式給出

$D_{1}={\sqrt {(x^{*}-b)^{2}+(y^{*}-c)^{2}}}$

由於準線是水平的，點與直線之間的距離 simply $D_{2}=|{y^{*}-a}|$

根據拋物線的定義，這兩個距離必須相等，因此

${\sqrt {(x^{*}-b)^{2}+(y^{*}-c)^{2}}}=|y^{*}-a|$

這是拋物線的方程，但讓我們使它更容易處理。首先對兩邊求平方，並注意由於數字的平方始終為正，因此不需要絕對值符號

$(x^{*}-b)^{2}+(y^{*}-c)^{2}=(y^{*}-a)^{2}$

展開並簡化

$(x^{*}-b)^{2}+y^{*2}-2y^{*}c+c^{2}=y^{*2}-2y^{*}a+a^{2}$

$(x^{*}-b)^{2}-2y^{*}c+c^{2}=-2y^{*}a+a^{2}$

$(x^{*}-b)^{2}+2y^{*}(a-c)+c^{2}-a^{2}=0$. 透過平方差公式，我們得到

$(x^{*}-b)^{2}+2y^{*}(a-c)+(c-a)(c+a)=0$. 因式分解

$(x^{*}-b)^{2}+(c-a)((c+a)-2y^{*})=0$

現在注意，表示式 $a+c$ 是頂點 y 座標的兩倍，而 b 是頂點的 x 座標。因此

$(x^{*}-h)^{2}+(c-a)(2k-2y^{*})=0$

從第二項中提取公因子 2，

$(x^{*}-h)^{2}+2(c-a)(k-y^{*})=0$ 或者，設 D 為頂點到焦點的距離（即 ${\frac {c-a}{2}}$），我們得到拋物線方程最實用的形式

$(x^{*}-h)^{2}=4D(y^{*}-k)$ 其中 D 是頂點到焦點的距離，(h,k) 是頂點。

當用這種形式表示時，焦弦 的長度為 4D。此外，頂點本身的座標為 (x,y)=(h,k)。利用這些資訊，以及拋物線的對稱性，可以方便地繪製拋物線圖形。

但是，代數教科書中通常寫出的公式是 $x^{2}=4py$ 如果拋物線是豎直的，以及 $y^{2}=4px$ 如果拋物線是水平的。並且，如果拋物線是豎直的，則焦點的座標為 (0,p)，準線為 -p；如果拋物線是水平的，則焦點的座標為 (p,0)，準線為 -p。

其他形式

拋物線的標準形式是

$y=Ax^{2}+Bx+C$

其中 A、B 和 C 是常數。從這種形式我們可以推斷出拋物線的y 軸截距是C。可以證明（並將在後面的章節中證明），頂點的 x 座標是 ${\frac {-B}{2A}}$.