代數/根與根式

代數

什麼是根？

根是指數的逆運算。包含根的表示式稱為根式。計算根的指數很容易，雖然可能很繁瑣。例如，7*7*7*7 = 49*49 = 2401。因此，我們知道 2401 的四次根是 7，2401 的平方根是 49。2401 的三次根是多少？這篇文章提供了確定答案的公式，而這篇文章則詳細解釋了根。

找到特定根的值很困難。這是因為指數運算與加法、減法、乘法和除法是不同型別的函式。當我們繪製函式圖形時，我們將看到使用指數運算的表示式使用曲線而不是直線。我們將在代數中看到，並非所有這些表示式都是函式，知道表示式何時是關係或函式可以讓我們做出某些型別的假設，而我們可以使用這些假設來構建對原本無法理解的主題的思維模型。

現在，我們將透過將根轉化回指數來處理根。

如果根定義為 X 的 n 次根，則用 ${\sqrt[{n}]{x}}=r$ 表示。我們透過將答案提高到 n 次方來消除根，即 $r^{n}=x.\!\,$ 。

使用根的問題

平方根

如果你對一個數開平方根，結果是一個數，當這個數平方時會得到第一個數。這可以用符號寫成

${\sqrt {x}}=y{\mbox{ if }}y^{2}=x\,$ 。在實數系列中，$y^{2}\geq 0$ 無論 $y$ 的值為多少。因此，當 $x<0$ 時，我們無法定義 ${\sqrt {x}}$ 。

例子

• ${\sqrt {9}}=3$ 因為 $3^{2}=3\cdot 3=9.$ 。
• 如果 $x=25$ 則 ${\sqrt {x-16}}={\sqrt {25-16}}={\sqrt {9}}=3$ 。
• 如果 $x=7$，那麼 ${\sqrt {x-16}}$ 是未定義的，因為 ${\sqrt {x-16}}={\sqrt {7-16}}={\sqrt {-9}}$，但沒有數字 $y$ 使得 $y^{2}=-9$。 請注意，答案**不是** $-3$，因為 $-3\cdot -3=9$，而不是 $-9$。

你可能會注意到或發現負數的平方根有解。 這將在以後的複數章節中討論，這將需要學習一些中間概念。

立方根

根不一定是平方根。 你也可以對一個數字取立方根 (${\sqrt[{3}]{}}$ )。 立方根是指將一個數自身相乘三次後得到原始數字的數。 例如，8 的立方根是 2，因為 $2\cdot 2\cdot 2=8$，或者

${\sqrt[{3}]{8}}=2.$

其他根

存在無限多個可能的根，它們都以 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 的形式出現，它對應於 $a^{\frac {1}{n}}$，當用指數表示時。 如果 ${\sqrt[{n}]{a}}={b}$，那麼 $b^{n}=a\,$。

唯一的例外是 0。 ${\sqrt[{0}]{a}}$ 是未定義的，因為它對應於 $a^{\frac {1}{0}}$ ，導致被零除。 即使你試圖發現 1 的 0 次根，你也不會取得進展，因為實際上任何數字的 0 次方都等於 1，只留下一個未定義的結果。

無理數

如果你對一個不是有理數平方的整數開平方根，那麼答案將有無限多個小數位。 這樣的數字被稱為無理數，它被定義為不能寫成有理數的數字：${\frac {a}{b}}$，其中 a 和 b 是整數。

但是，使用計算器你可以近似計算非平方數的平方根。

${\sqrt {3}}\approx 1.73205080757$

開平方後的結果用近似等於符號 $\approx$ 表示，因為結果是一個無理數，無法用十進位制精確表示。 將 3 的平方根或任何其他非平方數寫成 ${\sqrt {3}}$ 是表示精確值的最佳方式。

證明

以 ${\sqrt {3}}$ 為例。

假設 ${\sqrt {3}}$ 是有理數，且 ${\sqrt {3}}$ = ${\frac {a}{b}}$，其中 a 和 b 是整數且互質。

$3={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$

$a^{2}=3b^{2}$

這意味著 3 是 $a^{2}$ 的因數。由於 a 是整數，3 是素數，因此 3 是 a 的因數。設 a = 3k，其中 k 是整數。

$a^{2}=3b^{2}$

$(3k)^{2}=3b^{2}$

$9k^{2}=3b^{2}$

$b^{2}=3k^{2}$

類似地，3 是 b 的因數，這與 a 和 b 互質的第一條陳述相矛盾。因此 ${\sqrt {3}}$ 不能是有理數。因此 ${\sqrt {3}}$ 是無理數。

嘗試開立方或其他根時，也會出現無理數。但是，它們不限於根，也可能出現在其他數學常數（例如 π、e、φ 等）中。