代數/指數

代數

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什麼是指數？

指數是重複乘法的簡寫。記住，當你第一次被介紹到乘法時，它是作為重複加法的簡寫。例如，你學到：4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5。表示式 "4 × " 告訴我們我們需要加多少次。指數是相同型別的乘法簡寫。指數用上標 (即一個寫在常規大小數字上方的較小數字) 寫在常規大小數字之後。

例如：2³ = 2 × 2 × 2 = 8。較大的字型中的數字稱為底數。上標中的數字稱為指數。指數告訴我們底數自身乘以多少次。在這個例子中，2 稱為底數，3 稱為指數。

表示式 2³ 被讀作 "2 的三次方"，或者簡單地說 "2 的立方"。

以下是一些其他例子

6 × 6 = 6² (這讀作 "六乘六是 六的平方" 或者更簡單地說 "六乘六是 六的平方".)
7 × 7 × 7 × 7 = 7⁴ (這讀作 "七乘七乘七乘七等於 七的四次方"。四次方沒有其他表達方式。只有二階和三階通常被縮寫，因為它們出現的頻率更高。當清楚地知道指的是什麼時，人們通常會省略 "raised" 和 "power"，可能會簡單地說 "七的四次方".)

指數的基本規則

用相同底數的冪相乘

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

$a^{n}$ 表示你擁有 $a$ 作為因子的 $n$ 次。如果你再新增 $m$ 個 $a$ 因子，那麼你擁有 $n+m$ 個 $a$ 因子。

用相同底數的冪相除

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} ^{\text{n factors of a}}}{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{\text{m factors of a}}}}=a^{n-m}$

與 $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ 相同，因為你正在新增 $a$ 因子，除法是在去掉 $a$ 因子。如果你在分母中有 m 個 a 因子，那麼你可以從分子中劃去 m 個因子。如果分子中有 n 個因子，現在你就在分子中有 n-m 個因子。

將一個冪提高到另一個冪

$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$

如果將指數看作底數的因子的數量，那麼 $(a^{n})^{m}$ 表示你有 $m$ 個 $a^{n}$ 因子。因此，你擁有 m 組 $a^{n}$ ，並且每個 $a^{n}$ 都有 $n$ 組 $a$ 。因此，你擁有 $m$ 組 $n$ 組 $a$ 。因此，你擁有 $n\cdot m$ 組 a，或 $a^{n\cdot m}$

乘積的冪

$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$

你可以按照任意順序進行乘法運算。與將 n 個等於 ab 的因子相乘不同，你可以將所有 a 相乘，將所有 b 相乘，然後將 $a^{n}$ 乘以 $b^{n}$ 。

商的冪

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

將分數提升到冪意味著將分子和分母都提升到冪。

任何非零數提升到零次方等於一

$a\neq 0\implies a^{0}=1$

這意味著只要底數不為零，當指數為零時，表示式始終等於 1。

證明
$\ {\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}=1\ ,\ a\neq 0$

需要注意的是， $0^{0}$ 是未定義的。

負指數

指數上的負號表示需要取底數的倒數，然後將指數變為正數。

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}$

指數基本法則示例

用相同底數的冪相乘
將指數相加

$3^{4}\cdot 3^{2}=(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3)=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{6}$

用相同底數的冪相除
將指數相減

${\frac {5^{7}}{5^{4}}}={\frac {5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}={\frac {5\cdot 5\cdot 5}{1}}=5^{3}$

將一個冪提高到另一個冪
將指數相乘

$(4^{3})^{2}=4^{3}\cdot 4^{3}=(4\cdot 4\cdot 4)\cdot (4\cdot 4\cdot 4)=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=4^{6}$

任何非零數提升到零次方等於一

$2^{0}=1$

$109^{0}=1$

$-92^{0}=-1$

$(-92)^{0}=1$

指數問題

科學記數法

科學記數法使用指數。它常用於表示非常大或非常小的數字。寫 $1,574,000,000,000,000$ 為 $1.574\cdot 10^{15}$ 更容易。要將普通記數法轉換為科學記數法，請找到最左邊的非零數字。計算它距離個位數字有多少位。這就是 10 的指數。如果該數字在個位數字的右邊，則指數為負。如果它是個位數字，則指數為零。然後，將原始數字的小數點移動，使只有一個非零數字在左邊。寫下這個新數字和 $\cdot 10^{\text{exponent}}$ 。完成了！