代數/方程組

代數

聯立方程組

在之前的章節中，我們已經討論了在單個方程中求解單個未知數。然而，在某些情況下，在一個以上方程中可能出現多個未知變數。當在給定問題中，多個代數方程同時成立時，我們稱之為聯立方程組，這些方程同時成立。這樣的多個方程組可以幫助我們解決問題中多個未知變數，因為在單個方程中包含多個未知數通常不足以“求解”任何一個未知數。

未知量是指需要代數資訊才能求解的量。包含未知量的方程通常是提供資訊以“求解”未知量的資訊，即確定未知量等於的特定數值（或有限個離散值）。有些方程提供的資訊很少或沒有，因此對縮小未知量的解的可能性幾乎沒有幫助。其他方程使得未知量無法滿足任何實數，因此未知量的解集為空集。許多其他有用的方程使得能夠用一個或幾個離散解來求解未知量。對於聯立方程組，特別是關於它們之間關係的陳述，也可以做出類似的說明。

二元一次聯立方程

在之前的模組中，我們討論了二元一次方程。單個包含兩個未知變數的線性方程實際上不足以求解或縮小兩個變數的解，儘管它確實建立了它們之間的關係。這種關係在圖形上顯示為一條直線。另一個包含相同兩個變數的線性方程可能足以將兩個方程的解縮小到第一個變數的一個值和第二個變數的一個值，即求解兩個二元一次聯立方程。讓我們看看包含相同兩個未知數的兩個線性方程如何相互關聯。由於我們說過給定這兩個方程都是線性的，因此這兩個方程的圖形將是同一二維座標平面中的直線（對於包含兩個變數的系統）。這兩條直線可以透過以下三種方式相互關聯

1. 兩個方程的圖形可以重合，形成同一條直線。這意味著兩個方程提供了關於變數之間關係的相同資訊。這兩個方程本質上是相同的，可能只是彼此的不同版本或形式。其中任何一個都可以透過數學運算得到另一個。這兩條直線具有相同的斜率和相同的 y 軸截距。這樣的方程被認為是相互依賴的。由於沒有提供新資訊，新增第二個方程不會透過將解集縮小到一個解來解決問題。

示例：相互依賴的線性方程

$6x-3y=12\$

$y=2x-4\$

以上兩個方程提供相同的資訊，結果是相同的圖形，即重合的直線，如以下影像所示。

讓我們看看如何透過數學運算來證明這兩個方程本質上是相同的。

將第一個方程$6x-3y=12\$兩邊除以 3，得到

$2x-y=4\$

現在在兩邊加上 y

$2x=4+y\$

現在從兩邊減去 4

$y=2x-4\$

這與示例中的第二個方程相同。這是方程的斜截式，從中可以比較該直線獨有的斜率和 y 軸截距，以及斜截式中的任何其他方程。

2. 兩條直線的圖形可以平行，但不是同一條直線。這兩條直線在任何點都不相交。這意味著沒有解能同時滿足這兩個方程，即同時成立。這個二元一次聯立方程組的解集為空集。這樣的方程被認為是不一致的，如果聲稱它們在同一個問題中同時成立，實際上會給出矛盾的資訊。平行線具有相同的斜率，但不同的 y 軸截距。

具有至少一個公共點（可能提供解集）的方程組是一致的。例如，前面提到的相互依賴的方程是相互一致的。

示例：不一致的線性方程

$3x-2y=-2\$

$3x-2y=2\$

為了比較這兩個線性方程的斜率和 y 軸截距，我們將它們寫成斜截式。在兩個方程的兩邊都減去 3x。

$3x-2y=-2\qquad \qquad 3x-2y=2$ $-2y=-3x-2\qquad \qquad -2y=-3x+2$

將兩個方程的兩邊都除以 -2 並簡化，得到斜截式形式以進行比較。

$(-2y)/(-2)=(-3x-2)/(-2)\qquad (-2y)/(-2)=(-3x+2)/(-2)$

$y={\frac {3}{2}}x+1\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y={\frac {3}{2}}x-1$

現在，兩個斜率都等於 3/2，但 y 軸截距分別為 1 和 -1。
這兩條直線是平行的。這裡顯示了圖形

3. 如果兩條直線不同且不平行，那麼它們會在一個點相交，因為它們是在同一個二維座標系中繪製的。交點是一個有序數對，它是兩個線性方程組的解。兩個方程提供了足夠的資訊來解決問題，不需要額外的方程。這樣的方程在一點相交，提供問題的解，被認為是彼此獨立的。這些直線有不同的斜率，但 y 軸截距可能相同也可能不同。因為這樣的方程至少提供了一個解點，所以它們彼此一致。

例子：一致獨立線性方程

$y=3x-5\$

$y=-x-1\$

這兩個方程都是用斜截式給出的，所以很容易比較斜率和 y 軸截距。對於這兩個線性函式，斜率不同，y 軸截距也不同。這意味著這兩條直線既不相關也不不一致，所以在二維圖上它們必須在某一點相交。事實上，該圖顯示這兩條直線在 (1,-2) 點相交，這是該獨立聯立方程組的解的有序數對。不能依賴圖形的目視檢查來每次都給出完全準確的座標，因此要麼用兩個方程來檢驗該點，要麼使用以下兩種方法之一來確定交點的準確座標。

求解線性聯立方程

這裡介紹了兩種求解線性方程組的方法，加減法和代入法。示例將展示如何使用這些方法來求解兩個獨立的線性聯立方程，這兩個方程有兩個未知變數，求解兩個未知變數。

加減消元法

加減消元法通常簡稱為加減法。使用加減法，將一個方程加到（或減去）另一個方程，通常是在將整個方程乘以一個常數之後，以消去一個未知數。如果方程是獨立的，那麼得到的方程應該是一個未知數少一個的方程。對於一個原始的包含兩個方程和兩個未知數的方程組，得到的未知數少一個的方程將只剩下一個未知數，可以很容易地求解。對於包含兩個以上方程和兩個以上未知數的方程組，加減消元的過程一直持續到得到一個包含一個未知數的方程。然後可以求解這個未知數，並將求解的值代入其他方程，得到一個未知數少一個的方程組。重複加減消元過程，直到所有未知數都被求解。

如果一個方程組包含兩個相關的方程，那麼將兩個方程相加可能會或將會同時消去兩個未知數。如果這些方程是平行的直線，即不一致的，那麼可能會得到一個矛盾的方程。加減法對於求解聯立線性方程組很有用，特別是如果這些方程是用 Ax + By = C 的形式給出的，其中 x 和 y 是兩個未知變數，A、B 和 C 是常數。

例子：使用加減法求解以下包含兩個未知數 x 和 y 的方程組

$x+2y=4\$

$3x-y=5\$

解：我們可以將第一個方程乘以 -3，並將結果加到第二個方程，以消去 x；或者我們可以將第二個方程乘以 2，並將結果加到第一個方程，以消去 y。讓我們將[第二個方程的]兩邊都乘以 2。

$2\cdot (3x-y)=2\cdot 5$

$2\cdot 3x-2\cdot y=10$

$6x\ -2y=10\$

現在我們加上這個結果方程到第一個方程； 也就是說，兩個方程的兩邊分別加起來，得到一個組合方程，如下所示

$x\ +\ 2y=4\$

$+\ (6x-2y=10)\$

_____________________

$7x+0\cdot y=14\$

這意味著我們將 x + 2y 和 6x – 2y 相加得到 7x + 0·y，並且我們將 4 和 10 相加得到 14。

這消去了組合方程中的 y，得到一個只有 x 的方程

$7x=14\$

現在我們求解 x

$x=14/7=2\$

現在我們有了 x，我們可以將 x 的值代入兩個原始方程中的任何一個，然後求解 y。讓我們選擇第一個方程來代入 x。

$2+2y=4\$

求解 y

$2y=4-2=2\$

$y=2/2=1\$

因此，解集由有序對 (2,1) 組成，它是兩個線性函式的交點，如下圖所示

消元法

消元法通常簡稱為代入法。在代入法中，將一個方程中的一個未知量用另一個未知量（或未知量）表示。然後，將第一個未知量的表示式代入其他方程中，以消去它，使方程只包含其他未知量。如果方程是獨立的，那麼得到的方程應該比原來少一個未知量。對於一個原始的包含兩個方程和兩個未知量的系統，得到的方程將只有一個未知量，可以很容易地求解。對於包含多個方程和未知量的系統，重複使用消元法，直到得到一個包含一個未知量的方程。然後可以求解這個未知量，並將求解的值代入其他方程，得到一個包含一個未知量的系統。消元法將繼續進行，直到所有未知量都被求解出來。

如果一個系統有兩個相關的方程，那麼使用代入法將會同時消去兩個未知量，或者得到一個不能得到單個值的方程。如果方程是平行線，並且是不一致的，那麼可能會得到一個矛盾的方程。

例：用代入法求解以下包含兩個方程和兩個未知量 x 和 y 的系統。

$x-y=-1\$

$x+2y=-4\$

解：我們可以從求解第一個方程中的 x 或 y 關於另一個未知量開始。讓我們從求解第一個方程中的 x 關於 y 開始。

$x=y-1\$

接下來，我們代入這個 x 的表示式到另一個方程，以消去 x。

$(y-1)+2y=-4\$

$3y-1=-4\$

我們消去了 x，現在我們得到一個只有 y 的方程。現在我們在這個方程中求解 y。

$3y=-4+1=-3\$

$y=-3/3=-1\$

我們發現 y 的解是 -1。我們將 y 的值代入我們之前從第一個方程得到的 x 關於 y 的表示式中。

$x=y-1=-1-1\$

最後，我們計算 x 的值。

$x=-2\$

因此，解集包含有序對 (-2,-1)，它是兩個線性函式的交點，如圖所示。

平行線和垂直線的斜率

• 在二維笛卡爾座標系中，相關的線性函式或其影像是平行線，將具有相同的斜率。反之，具有相同斜率的線性函式要麼相關，要麼在其影像是二維笛卡爾座標系中的平行線。當然，一般形式為 x=c 的垂直平行線不是函式，沒有定義的斜率。

本段話自相矛盾。應該重新措辭。

• 在二維笛卡爾座標系中，兩條垂直的直線將在它們相交的點上相互形成直角（90° 角）。當兩條線性函式的斜率（其影像是垂直的直線）相乘時，兩個斜率的乘積等於 -1。反之，如果兩個線性函式的斜率相乘得到的乘積等於 -1，那麼它們的影像是二維笛卡爾座標系中的垂直線。

換句話說，如果兩條垂直線分別具有斜率 m₁ 和 m₂，那麼

$m_{1}m_{2}=-1\$ .

如果一對垂直線由一條水平線（形式為 y = c）和一條垂直線（形式為 x = c）組成，那麼前面的規則不適用。垂直線沒有斜率，水平線的斜率 = 0。

示例：求與 y = (1/2)x – 3 在 (4,-1) 處相交且垂直於它的 [新] 直線的斜截式。

解：首先，根據給定直線的斜率求出新直線的斜率。設 m = 新直線的斜率。

$\left({\frac {1}{2}}\right)m=-1$

$2\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)m=2\cdot (-1)$

$m=-2\$

新直線的斜截式將為

$y=-2x+b\$

其中 b 是新直線的 y 軸截距。接下來，使用交點 (4,-1) 和新的斜率 -2 求解新直線的 y 軸截距。將 x = 4 和 y = -1 代入上式，並求解 b。

$-1=-2\cdot 4+b\$

$-1=-8+b\$

$b=-1+8=7\$

最後，新的垂直直線的斜截式為 

$y=-2x+7\$ .

顯示上述示例中垂直直線的圖表。

求解包含二元二次方程的聯立方程組

求解非線性聯立方程組時，應使用代入法，除非其他方法（如圖形法）能快速提供清晰簡單的解（在這種情況下，它們比代入法更快）。

示例：求解聯立方程組。

$y^{2}+(2x+3)^{2}=10\$

$2x+y=1\$

使用第二個方程，將一個給定項（這裡應使用 2x）作為主語。

$2x=1-y\$

將第三個方程代入第一個方程，透過對所得簡化後的單變數二次方程進行因式分解，可以找到解。

$y^{2}+((1-y)+3)^{2}=10\$

$y^{2}+(4-y)^{2}=10\$

$2y^{2}-8y+16=10\$

$y^{2}-4y+3=0\$

$(y-1)(y-3)=0\$

因此我們知道 $y=1\$ 或 $y=3\$

然後，我們計算出兩種可能性：$y=1\$，$x=0\$ 或；$y=3\$，$x=-1\$

使用圖形計算器求解聯立方程組

TI-83（Plus）和 TI-84 Plus

1. 按下 “Y=”
2. 輸入兩個關於 Y 的方程
3. 按下 “GRAPH”
4. 如果所有交點都不可見，請按 “ZOOM” 然後 0 或選擇 “0: ZoomFit”
5. 按下 “2nd” 然後 “TRACE”
6. 按下 5 或選擇 “5: intersect”
7. 將游標移動到其中一個交點。 （可能只有一個）每個點都代表方程組的一個解。
8. 按下 “ENTER” 三次
9. 交點的座標顯示在螢幕底部。 對其他解重複步驟 5-8。

TI-89（Titanium）

透過圖形

1. 按下綠色 “菱形鍵”，位於 “2nd” (藍色) 按鈕正下方。
2. 按照上面列出的步驟 2-5 進行操作。 要訪問 “Y=” 和 “GRAPH”，請按綠色 “菱形鍵”，然後按 F1 (它啟用三級功能 “Y=”) 和 F3 ( “GRAPH”)。 要訪問 “ZOOM” 和 “TRACE”，請分別按 F2 和 F3 (菱形功能啟用)。 對於 “ZoomFit”，請按 F2，然後 “ALPHA” (白色)，然後 “=” (用於 A)。
3. 要定位交點，請手動使用方向鍵 (箭頭鍵)，或按 F5 進入 “Math”，然後按 5 進入 “Intersection”。 （但是，第二個選項更難使用；建議手動搜尋和縮放。）
4. 座標將顯示在螢幕底部。 重複步驟 2 和 3 直到找到所有需要的解。 對於新的或額外的方程，請返回到上述的 “Y=”。

透過聯立方程求解器

注意：這是 TI-89 Titanium 上的預設應用程式。 如果你使用的是 TI-89 或不再有 Solver，請訪問 德州儀器網站 免費下載。

1. 在 APPS 螢幕上，選擇 “Simultaneous Equation Solver” 並按下回車鍵。 當下一個螢幕出現時，按下 “3”。
2. 輸入要解的方程數量和相應的解數量。
3. 兩個方程同時以 2 x 3 矩陣的形式表示 (假設你正在解兩個方程並尋找兩個解。 矩陣的大小取決於你想解的方程數量)。 在相應的框中，輸入方程的係數/常數，每次提交一個值後按 “ENTER”。 （請記住，所有方程都必須先轉換成標準形式 - Ax + By = C -！）
4. 輸入所有值後，按 F5 求解。