算術/自然數入門
計數的能力在整個時代都至關重要。隨著時間的推移，人們發展出了一些計數系統，第一個是自然數。作為一個集合，自然數可以寫成這樣：。如果我們還將數字零包含在這個集合中，它就變成了整數：.
整數可以用多種方式形成。最簡單的方法是使用所謂的歸納定義。這是指我們定義一系列數字中的第一個，然後使我們能夠推匯出任何給定數字的後續數字，從而使我們能夠根據任何給定數字總是能夠找到下一個數字。第一個整數是。推匯出下一個數字的方法是簡單地將 1 加到前一個數字。這很容易演示：，所以零的後續數字是一；，所以一的後續數字是二；，所以二的後續數字是三；這樣可以一直“ad infinitum”，這只是一個拉丁語短語，意思是“到無窮大”。
自然數主要用於三個目的：計數、排序和定義其他概念。計數是衡量一組幾個離散的、可識別個體的數量的自然方法。要使用自然數對特定的一組物件進行計數，你只需從 1 開始，為這組物件中的一個元素分配一個且只有一個自然數。對於下一個尚未分配數字的物件，你可以隨意選擇它，然後為其分配自然陣列中的下一個數字，然後繼續前進到下一個物件，直到所有專案都被分配了數字。（如果我們永遠無法達到結尾，我們就無法用任何自然數來描述計數。有一些方法可以處理“無限”集，但現在我們只關注“有限”集。）細心的人會注意到，這是一個歸納定義：我們定義第一個項，並提出一種推匯出任何給定項的後續項的方法。計數有時被稱為“列舉”。
排序（也稱為“排名”）是指將自然數分配給一組成員，但不是隨意分配，而是要考慮某個屬性。要做到這一點，你選擇具有該屬性最極端值的物件（即最小的、最聰明的、最胖的等等），併為其分配自然數 1，然後將其放到一邊，然後繼續選擇具有該屬性最大（剩餘）值的剩餘物件，併為其分配下一個自然數，在本例中是 2。然後你也將其放到一邊，繼續選擇具有該屬性最大（剩餘）值的剩餘物件，並再次為其分配下一個自然數，重複此步驟，直到所有物件都被排名。（如果我們只對前幾個排名感興趣，我們可以在對大量物件進行排名之前停止。）再次，我們使用歸納定義。在大多數自然語言中，人們用不同的詞來表示數量的數字（“三”）和作為排名的數字（“第三”）。我們將前者稱為“基數”，後者稱為“序數”，儘管它們都是自然數，只是在略微不同的方式上應用。
應該注意的是，在以上所有情況下，零都沒有起作用。零是一個特殊情況，在計數的情況下，你還沒有為任何物件分配數字。例如，如果你試圖計算你擁有的蘋果數量，而你沒有蘋果，那麼你計算的數量就是零。對於排序，數字零永遠不會使用，因為如果你沒有東西要排序，你開始之前就已經完成了，任何物件都不會被排在第 0 位。
自然數也在許多其他數學概念的定義中起著不可或缺的作用，包括我們用來定義計數和排序的數學歸納法的概念本身。因為本頁上的程式使用了數學歸納法，所以在更正式的情況下，我們必須使用另一種方法來定義自然數，以避免“迴圈定義”（即一個概念的定義依賴於被定義的概念）。可以基於“後續者”的概念來進行自然數的正式定義。
人們注意到，自然數是無限的，任何一個自然數都有無限個後續數字，因為任何後續數字都有一個後續數字，而那個後續數字也有一個後續數字，一直延續到無窮大。然而，儘管數量是無限的，我們仍然可以計算這些數字。這使得該集合是可數無限的。數學家創造了一整套叫做基數的特殊數字來描述不同大小的無限；在本例中，自然數的集合的大小是阿列夫零。在進一步的數學研究中記住這一點很重要。