算術/乘法和除法

乘法

乘法用星號 (*)、 $\times$ 或 $\cdot$ 符號表示。但是， “×” 符號通常不用於代數，而只限於非常基本的初等數學，因為它很容易與 “x” 變數混淆。通用的乘法運算子將接受任何兩個數字（稱為因子）作為運算元。結果稱為兩個數字的乘積。如果乘數不是都寫成數字，則可以省略乘號。因此，以下示例表示式是等價的

$3*\!(a*b)=3\times \!(a\times b)=3\!\cdot \!(a\!\cdot \!b)=3\!\cdot \!(ab)=3(a\!\cdot \!b)=3(ab)=3ab$

乘法是重複加法的形式。例如， $3\times 5$ 表示

$3+3+3+3+3\quad \operatorname {or} \quad 5+5+5$

乘法也是可交換的。這意味著兩個數字（因子）的乘積將給出相同的乘積，無論數字相乘的順序如何。以下表達式也是等價的

$3\!\cdot \!(ab)=a\!\cdot \!(3b)=b\!\cdot \!(3a)$

指數為大於 1 的整數的數字表示要相乘的因子的數量，因此該數字將自身乘以與指數顯示的次數一樣多的次數。指數為 1 的數字只有一個因子，因此等於該數字。任何指數為 0 的數字都完全沒有因子，結果為 1。例如

$5^{3}=5\times 5\times 5\qquad \qquad 5^{1}=5\qquad \qquad 5^{0}=1$

長乘法

長乘法是大於 12 的數字的乘法，但通常只使用 1 到 9 的事實。在你嘗試長乘法之前，請確保你知道 1 到 9 的事實。其他都是可選的，但這使得長除法更容易。垂直乘法方法的步驟是

1. 寫下數字。

  52
  19
 ------

2. 乘以 9 乘以 2。如果答案有十位數，則進位。乘以 9 乘以 5，加上進位，然後寫下數字。你應該有

  1
  52
  19
------
 468

3. 乘以 1 乘以 2，然後 1 乘以 5，如果需要，進位，但這次將答案向左移動一個空格。如果你想，你可以在 8 下面放一個零。你現在應該有

  52
  19
------
 468
 520

4. 現在加。

 52
 19
-----
468
520
-----
988

如果你是乘以小數，那麼先不帶小數點進行乘法運算。計算兩個數字中小數位數的總和。在答案中，從右邊數起找到這個總和的位數，在該位數前面加上小數點。

5. 簡而言之

將問題豎著寫下來。將第二個數字的最後一位乘以第一個數字的最後一位。如果答案中有十位數，則需要進位。再將該位乘以第二個數字的倒數第二位，並將進位加到結果中。對於第二個數字的倒數第二位重複這個過程，但需要在之前得到的數字下方末尾新增一個 0，如果第三行，則需要新增 2 個 0，並重復這個過程直到問題完成。

快速乘法

快速乘法是一種可以快速計算大於 10 小於 1000 的數字的乘法方法，透過 "10 的方法" 進行乘法。只需識別出數字中包含多少位即可。以下步驟可用於快速計算乘法。

1. 看一下數字末尾是否有零，如果有，可以簡單地將這些零 "加到" 答案中。

  45,300 x 5
  The easy way to do this is "taking away" the 2 zeros for now and reserving them for later.
  
  the number is now 453 x 5, which is much too mind boggling to do. 
  Now here comes the interesting part of the method
  of "10's"

2. 將數字分解成其 "10 的部分"。

  What this means is basically breakup the number by its place value.

  453 = 4 (hundreds place) + 5 (tens place) + 3 (ones place)

  Knowing that, this become 400, 50 and 3.

3. 乘法並應用 "10 的部分"。

  okay now simply multiply:

  So, here is a step where we essentially take out the "0's" out for a bit and put it back
  in when were done.

  so, its now 5 x 400. in order to make it easier, "take out" the zeroes for now and 
  multiply 4 x 5 = 20. Now
  heres the magic. Since you magically took away the 2 zeroes, you will now suddenly make
  the 2 zeroes reappear!
  20 + "00" = 2000! AMAZING! (the quotes means they're magic zeroes, and simply not the value 
  of zero!)

  50 is done the same away. Take away the "0" and multiply 5 x 5 = 25. Now add it back, 25 +
  "0" = 250

  Simply 3 x 5 = 15

4. 現在，將它們加起來！

5. 現在將開始時保留的兩個零 (來自原始的 45,300) 新增到末尾，得到答案：226,500。

步驟 2：乘法運算不以零結尾的數字

  2102 x 52

使用之前的步驟，我們可以識別出

2102 = 2 (thousand) + 1(hundred) + 0 (tens) + 2 (ones)
  52 = 5 (tens) + 2 (ones)

Now, to make it easier on yourself, circle the number 2 of "52" and put it in your magic 
hat. (2)

Now the problem becomes 2102 x 50. Look familiar? First of all, take out the magic "0" and 
put it in the hat, too.
Since we recognized that 50 is basically 5 with an added magical "0" to it, we now see the 
problem as

2102 x 5!

Now break down the bigger, uglier number and start multiplying:
2000 x 5 (take away the magic zeroes) = 2 x 5 = 10 + "000"(now put them back!) = 10,000 (notice it has 4 zeroes)
 100 x 5 (take away the magic zeroes) = 1 x 5 = 5 + "00"  (now put them back!) =   500 (2 zeroes)
   2 x 5  (sadly, no magical zeroes)  = 2 x 5 = 10                             =    10 (1 zero)

 Remember, after every step, be sure to put your friendly magical "0" back in:
 10,000 + "0" =100,000  
    500 + "0" =  5,000
     10 + "0" =    100
   (notice how the number of zeroes on the left side equal the number of zeroes on the right
   side)

Now add them all together:

 100000
   5000
    100
 -----
 105100....... That's not all yet folks! Do you remember the 2 in your magic hat? Lets get it to work:

  2 x 2102 = 
      2000 x 2 = 2 x 2 = 4 = 4000
       100 x 2 = 1 x 2 = 2 =  200
         2 x 2             =    4
                     total:  4204

  So the answer should be
   105,100
     4,204
   -------
   109,304! Wow!

練習

答案

外部資源

為了練習這個概念，我推薦 Developmental Mathematics，第 8 卷，以及用來記憶乘法表的卡片。這是我最喜歡的培養乘法技能的方法，但如果您喜歡其他方法，可以嘗試 Miquon Math。這是一個針對 1-3 年級學生的完整課程，也是培養高階數學技能的優秀課程。另一個選擇是 Progress in Mathematics，這是一個針對 Sadlier-Oxford 的基於標準的數學課程。當然，要不斷提高學生的乘法技能，直到學生可以輕鬆地進行 5 位數的乘法運算。