核醫學基礎物理/核醫學中的計算機
這是一本名為核醫學基礎物理的華夏公益教科書中的一個正在開發的章節。
如今，計算機廣泛應用於核醫學的幾乎所有領域。我們主要應用於影像採集和處理。本章概述了通用數字影像處理器的設計，並簡要介紹了數字成像。
在考慮這些主題之前，需要對計算機處理資訊的格式以及支撐計算機發展的技術進行一些概括性的評論，以便為我們的討論提供一個背景。
如今，幾乎所有使用的計算機都是基於對以二進位制數形式編碼的資訊進行操作。二進位制數只能取兩種值之一，即 0 或 1，這些數字被稱為二進位制位——或者使用計算機術語稱為位。當一塊資訊表示為一系列位時，該序列被稱為字；當該序列包含八位時，該字被稱為位元組——位元組今天通常用作表示二進位制編碼資訊量的基本單位。此外，大容量的編碼資訊通常以千位元組、兆位元組等表示。需要注意的是，這些字首的含義可能與其傳統含義略有不同，因為資訊編碼的二進位制性質。因此，在計算機術語中，千可以表示 1024 個單位——1024（或 210）是最接近一千的 2 的冪。因此，1 千位元組可以指 1024 位元組的資訊，1 兆位元組可以表示 1024 乘以 1024 位元組。為了增加一些混亂，一些硬體製造商將兆位元組稱為 100 萬字節，而千兆位元組稱為 10 億位元組。看來這不是一個簡單的世界！
需要對影像資訊進行二進位制編碼，以便將影像儲存在計算機中。然而，大多數用於醫學的成像裝置生成的影像資訊可以在預設限制之間取連續範圍的值，即資訊以模擬形式存在。因此，有必要將此模擬資訊轉換為將影像輸入計算機時二進位制編碼所需的離散形式。這通常是透過使用一種稱為模數轉換器（ADC）的電子裝置來實現的。此外，由於醫學中使用的許多顯示和攝影裝置是為處理模擬格式的影像而設計的，因此在使用數模轉換器（DAC）從計算機輸出影像時，需要將離散的二進位制資料重新轉換為模擬格式。
現代計算機的發展幾乎完全依賴於過去三十年左右發生的材料科學和數位電子技術的重大發展。這些發展使高度複雜的電子電路能夠壓縮到稱為積體電路的小型塑膠封裝中。這些封裝包含經過特殊製造的微小矽片（或其他半導體材料），用於執行復雜的電子過程。這些矽片通常被稱為矽片。在晶片電路內部，相對較高的電子電壓可以用來表示數字“1”，而相對較低的電壓可以用來表示二進位制數字“0”。因此，該電路可用於處理以二進位制數形式編碼的資訊。
這些電子元件的一個重要特性是電路不同部分中兩個電壓電平可以改變的極高速度。這使得計算機能夠快速地操作二進位制資訊。此外，現代積體電路的小尺寸使得製造出物理尺寸很小的計算機成為可能，並且這些計算機不會產生過量的熱量——以前幾代計算機佔據了整個房間，由於使用的是諸如真空管和電晶體等較大的電子元件，因此需要冷卻。因此，現代計算機能夠安裝在辦公桌上，並且其環境不需要空調。此外，使用大規模生產方法制造積體電路的能力導致成本大幅下降——這促成了近年來這項技術的驚人爆炸式增長。
在開始之前，值得注意的是，鑑於該領域的持續快速發展，本章中的資訊很可能在本章被閱讀時發生變化。因此，這裡的處理側重於一般概念——您應該注意，當前的技術和方法可能與這裡描述的不同。此外，請注意，本章中提及任何硬體或軟體產品並不表示對該產品的支援，其在此討論中的使用純粹是為了說明目的。
下圖顯示了通用計算機主要硬體元件的框圖。它表明，計算機包含一個稱為匯流排的中央通訊路徑，專用電子元件連線到該路徑。下面簡要描述了每個元件。
中央處理器 (CPU) 在許多現代計算機中，該元件基於稱為微處理器的積體電路。它的功能是充當計算機的大腦，在其中解釋和執行指令，以及操作資料。CPU 通常包含兩個子元件——控制單元 (CU) 和算術/邏輯單元 (ALU)。
控制單元用於解釋包含在計算機程式中的指令以及執行這些指令。例如，這些指令可能用於將資訊傳送到計算機的其他元件以及控制這些其他元件的操作。ALU 主要用於使用數學技術操作資料——例如，將兩個數字相加或相乘。
單個微處理器的重要特性包括字長、體系結構、程式設計靈活性以及速度。速度的一個指標是時鐘頻率，下表給出了常用微處理器的時鐘頻率值。請注意，時鐘頻率本身並不能完全反映計算機的效能，因為還需要考慮其他元件的規格。
| 微處理器 | 製造商 | 時鐘頻率 (MHz) | 示例微型計算機 |
|---|---|---|---|
| 奔騰 | 英特爾 | 60-200 | IBM-PC 相容 |
| PowerPC 604e | 摩托羅拉 | 160-350 | Power Macintosh |
| Turbo SPARC | 太陽 | 170 | SPARC Station 5 |
| STP1031LGA | 太陽 | 250 | Ultra SPARC II |
| 奔騰 II | 英特爾 | 233-450 | IBM-PC 相容 |
| PowerPC 750 | 摩托羅拉 | 233-500 | Power Macintosh |
| Alpha 21164 | DEC | 300-625 | DEC Alpha |
| 奔騰 4 | 英特爾 | 1,300-1,700 | IBM-PC 相容 |
主記憶體 該元件通常由大量積體電路組成，這些積體電路用於儲存計算機使用者當前需要的的資訊。該電路一般分為兩種型別——隨機存取儲存器 (RAM) 和只讀儲存器 (ROM)。RAM 用於短期儲存資訊。它是一種易失性記憶體形式，因為當計算機的電源關閉時，其資訊內容會丟失。其內容也可以快速擦除——並快速填充新資訊。另一方面，ROM 是非易失性的，用於永久儲存計算機操作的基本方面所需的資訊。
輔助儲存器 該元件用於以永久或可擦除形式儲存資訊，以供長期使用，即用於使用者當前不需要的資訊，但可能在以後某個階段有用。有各種型別的裝置用於輔助儲存器，其一些特性總結在下表中。為了便於比較，RAM 也包括在表中。
所用技術的型別通常基於磁性材料——類似於用於高保真系統中的錄音的材料。在此，透過控制儲存材料不同點的區域性磁性來儲存資訊，並透過檢測該磁性來檢索資訊。如預期的那樣，區域性磁性可以假設兩種磁性狀態之一，因為編碼資訊的二進位制特性。使用諸如塑膠磁帶和磁碟之類的材料，這些材料已被塗覆一層磁性材料。 磁帶 通常由開卷軸或封閉式盒帶組成，而磁碟通常由軟盤（或 **軟盤**）或由更硬的塑膠製成的磁碟組成。 軟盤，與磁帶一樣，可以從計算機系統中取出，並用於資訊的外儲存。 記憶棒 也可以用於此目的。它們還允許在計算機之間傳輸資訊的功能。 硬碟 另一方面，通常固定在計算機內部，因此不能輕鬆取出——雖然可移動版本也在使用，例如 iPod 和類似裝置。
| 裝置 | 容量（兆位元組） | 訪問時間 | 可擦除？ |
|---|---|---|---|
| 磁帶 | 500-16,000 | 分鐘 | 是 |
| 軟盤 | 0.3-1.5 | 200-500 毫秒 | 是 |
| 硬碟 | 1,000-300,000 | 20-80 毫秒 | 是 |
| 可行動硬碟 | 100-100,000 | 100-200 毫秒 | 是 |
| 光碟 | 250-4,700 | 100-500 毫秒 | 是/否 |
| RAM | 256-4,000 | 10-100 納秒 | 是 |
我們對材料的磁性和光學特性的理解的最新進展導致了所謂的 光碟 的生產——它類似於用於高保真系統中的光碟（**CD**）。三種類型的光碟可供使用：包含軟體公司提供的程式的光碟（如 **CD-ROM** 磁碟），那些可以由使用者寫入一次的光碟（如 **CD-R** 磁碟）以及那些可擦除的光碟（如 **CD-RW** 磁碟和磁光碟）。數字多功能光碟（**DVD**）很可能是 CD-ROM 的繼任者——第一代儲存容量為 4,700 兆位元組（4.7 千兆位元組），第二代預計為 17,000 兆位元組（17 千兆位元組）。
磁帶和磁碟作為輔助儲存介質之間的一般區別在於 順序 訪問儲存在磁帶上的資訊的性質，與磁碟提供的 隨機 訪問性質形成對比。因此，基於磁碟的媒體通常比基於磁帶的媒體更快地儲存/檢索資訊。因此，許多現代輔助儲存設計基於硬碟磁碟進行例行資訊儲存，使用軟盤備份少量資訊，使用光碟備份大量資訊。
**輸入/輸出裝置** 這些元件用於使用者控制計算機，通常包括 鍵盤、 顯示裝置 和 印表機。這裡使用了各種技術——然而，細節超出了本章的範圍。這些元件還包括諸如 滑鼠、 操縱桿 和 觸控板 之類的裝置，這些裝置用於增強使用者與計算機的互動。
**計算機匯流排** 這包括計算機元件的通訊路徑——其功能類似於中樞神經系統。沿著 匯流排 傳輸的資訊型別包括指定資料和控制指令以及資訊要儲存/檢索的記憶體地址的資訊。可以預見，計算機的執行速度取決於此通訊鏈路的執行速度。此速度必須與其他元件（如 CPU 和主記憶體）的速度相容。
軟體
[edit | edit source]計算機技術不僅僅是電子硬體。為了使電子元件的組合能夠執行，需要資料和計算機指令形式的資訊。此資訊通常稱為 **軟體**。計算機指令通常包含在 計算機程式 中。
計算機程式的類別包括
- **作業系統**——用於操作計算機和管理計算機的各種資源。 作業系統 的示例包括 Windows、MacOS X、Linux 和 UNIX；
- **應用程式包**——供計算機的常規使用者使用。這些軟體包包括用於文字處理（例如 MS Word）、電子表格（例如 MS Excel）、資料庫（例如 FileMaker Pro）、圖形（例如 Adobe Illustrator）和數字影像處理（包括用於操作特定醫學成像掃描器的軟體）的程式；
- **程式設計軟體包**——用於編寫程式。用於編寫程式的常見計算機語言的示例包括 C（及其許多變體）和 Java。為了編寫此類程式，需要一些額外的軟體。這些包括
- 用於將程式文字寫入計算機的 **編輯器**（類似於用於文字處理的程式）；
- 用於操作特定常見功能的子程式的 **庫**；
- 用於將使用者編寫的程式連結到子程式庫的 **連結器**；
- 用於將使用者編寫的程式翻譯成計算機可以直接理解的形式的 **編譯器** 或 **直譯器**，即用於以數字格式編碼指令。
數字影像處理器
[edit | edit source]用於數字影像處理的計算機除了通用計算機中使用的元件外，通常還包含一些專門的元件。由於影像中包含大量資訊，因此需要高容量儲存介質以及非常高速的通訊和資料處理能力，因此需要這些專門元件。 數字影像處理 包括影像資料的處理和此類資訊的分析。影像處理的一個例子是計算機對影像的增強，以便更清晰地顯示細微特徵。影像分析的一個例子是提取表示所研究解剖區域功能方面的指數。大多數醫學成像系統提供廣泛的影像處理功能，以及有限範圍的影像分析功能。用於處理核醫學影像（包括 SPECT 和 PET）的系統還提供廣泛的資料分析功能。這種情況的出現是因為核醫學強調功能，而不是解剖結構。
下圖顯示了一個通用的數字影像處理器。圖底部陰影部分是上述通用計算機的元件。數字影像處理元件是連線到影像資料匯流排的那些元件。這些額外的元件中的每一個將在下面簡要介紹。圖頂部陰影部分是醫學成像系統中廣泛使用的外部裝置。
**成像系統** 這是產生主要影像資訊的裝置。這些裝置的示例包括 CT 掃描器、 超聲儀、 X 射線透視系統、 MRI 系統、 伽瑪相機、 PET 掃描器 和 計算機放射成像系統。該裝置通常與其他元件物理分離，如 CT 掃描器，但也可能安裝在與其他元件相同的機櫃中——超聲儀就是這樣。成像系統產生的影像資訊被饋送到數字影像處理器的影像採集電路。
數字影像處理器到成像系統的連線通常也存在，用於控制成像系統執行的特定方面，例如 SPECT 相機的機架移動。為了清晰起見，這些額外的連線未在圖中顯示。
影像採集 此元件用於將成像系統產生的模擬資訊轉換為二進位制數字形式。用於此目的的裝置型別稱為模數轉換器 (ADC)。影像採集元件還可以包含用於操縱數字化資料的電路，以校正任何成像像差。可用於此目的的裝置型別稱為輸入查詢表。此類資料操作的示例包括超聲機上的預處理功能和數字熒光造影系統中的對數影像變換。
影像顯示 此元件有時被稱為顯示控制器，其主要用途是將數字影像轉換為適合視覺顯示裝置的形式。例如，當使用CRT 監視器時，它包含一個數模轉換器 (DAC)，當使用數字顯示器（如LCD 監視器）時，它包含一個數字影片介面 (DVI)。影像顯示元件還可以包含用於操縱顯示影像的電路，以增強其外觀。可用於此目的的裝置型別稱為輸出查詢表。此類資料操作的示例包括超聲機上的後處理功能和核醫學系統上的視窗功能。影像顯示元件提供的其他形式的影像處理可以包括影像放大、影像旋轉/映象以及在一個螢幕上顯示多個影像的功能。此元件還可以允許用患者姓名和與患者檢查相關的詳細資訊對顯示的影像進行標註。
影像記憶體 此元件通常由一塊 RAM 組成，其容量足以儲存使用者當前感興趣的多個影像。
影像儲存 此元件通常由磁碟組成，其容量足以儲存大量使用者當前不感興趣的影像，這些影像可以在需要時傳輸到影像記憶體。
影像 ALU 此元件由專門用於處理影像資料的 ALU 組成。它通常用於相對簡單的計算，例如DSA 中的影像減法以及透過對一系列影像進行平均來減少噪聲。
陣列處理器 此元件由電路組成，這些電路設計用於更復雜地操縱影像資料，並且速度高於影像 ALU。它通常包括一個額外的 CPU 以及專門的高速資料通訊和儲存電路。它可以被視為一臺獨立的專用計算機，其設計以犧牲操作靈活性為代價來提高計算速度。這種增強的速度是由並行操縱資料的能力而不是順序操縱資料的能力提供的（這是一種在通用計算中廣泛使用的方法）。例如，該陣列處理器用於計算快速傅立葉變換 以及用於橫斷面成像模式（如 CT、SPECT 和 MRI）中的影像重建 計算。
影像資料匯流排 此元件由專為影像資料設計的超高速通訊鏈路組成。
影像的數字化通常包含兩個並行過程——取樣 和量化。這兩個過程將在下面簡要描述，隨後將考慮數字影像的儲存要求。
影像取樣 此過程用於對影像中的空間資訊進行數字化。它通常透過將影像劃分為一個正方形或矩形的取樣點陣列來實現。每個取樣點被稱為影像元素——或者使用計算機術語來說是畫素。
該過程可以概括為將模擬影像數字化為 N x N 畫素資料陣列。N 的示例值包括：核醫學掃描的 128、CT 和 MRI 掃描的 512、DSA 影像的 1024 以及計算機放射影像和數字放射影像的 2048。請注意，由於現代計算技術的二進位制特性，N 的值是 2 的整數次冪。
當然，畫素數量越多，數字化影像的空間解析度就越接近原始模擬影像的空間解析度——參見下面的影像。
影像量化 此過程指的是對影像中亮度資訊的數字化。它通常透過用一個值與其亮度成正比的整數來表示畫素的亮度來實現。這個整數被稱為“畫素值”，系統可以處理的可能畫素值的範圍被稱為灰度級。當然，灰度級越高，數字化影像中的亮度資訊就越接近原始模擬影像的亮度資訊——參見下面的影像。
該過程可以被認為是將影像亮度數字化為 G 個灰度。G 的值取決於資訊的二進位制編碼特性。因此，G 通常是 2 的整數次冪，即 G=2 m，其中 m 是一個整數，它指定了儲存所需的位數。G 的示例值包括：超聲檢查中的 256 (m=8)、DSA 中的 1024 (m=10) 和核醫學中的 4096 (m=12)。
數字影像解析度 以數字格式表示影像所需的位數 b 由下式給出
下表顯示了以不同空間解析度對影像進行數字化以獲得一系列灰度級所需的位數。可以看出，要實現醫學成像中使用的解析度，需要非常大的值（您可以透過練習來確認表中帶星號的值代表 0.25 兆位元組）。因此，儲存這些影像所需的計算機記憶體量非常大，並且處理如此大量資料時，處理時間可能相對較長。數字影像的這一特點導致需要專門用於影像資料的硬體，這些硬體與通用計算機的元件分開，正如我們上面所描述的那樣——儘管隨著技術的不斷發展，這種區別正在逐漸消失。
| N x N | m = 8 | m = 10 | m = 12 |
|---|---|---|---|
| 128 x 128 | 131,072 | 163,840 | 196,608 |
| 256 x 256 | 524,288 | 655,360 | 786,432 |
| 512 x 512 | 2,097,152* | 2,621,440 | 3,145,728 |
| 1024 x 1024 | 8,388,608 | 10,485,760 | 12,582,912 |
| 2048 x 2048 | 33,554,432 | 41,943,040 | 50,331,648 |
對比度增強 作為數字影像處理的一種非常常見的形式（也稱為視窗）的示例，將在下面進行描述。它只是現代系統上提供的大量資料操作過程中的一個。對比度增強是一種灰度級變換形式，其中影像中實際的畫素值被處理後的畫素值替換，用於顯示目的。
該過程通常使用數字影像處理器的影像顯示元件的輸出查詢表部分執行。因此，影像記憶體中的原始資料不會受到此過程的影響，因此從操作的角度來看，可以在獲得不令人滿意的輸出影像的情況下輕鬆檢索原始影像資料。此外，該過程可以使用現代電子技術以非常高的速度實現，因此，從操作的角度來看，可以實現使用者互動。
以下圖示了可用於對比度增強的查詢表 (LUT) 的示例。此資訊通常使用儲存在影像記憶體中的實際畫素值與用於顯示目的的畫素值的圖形來表示。該過程通常使用數字影像處理器的控制檯上的兩個控制元件來控制——電平控制元件和視窗控制元件。需要注意的是，不同系統之間這些控制元件的名稱及其確切操作可能存在差異，但這裡描述的通用方法足以滿足我們的目的。從圖中可以看出，電平控制著低於該閾值的畫素顯示為黑色的閾值，而視窗控制著類似的閾值，用於白色輸出。這兩個控制元件的同步使用允許應用可變寬度的灰度級視窗，該視窗可以放置在灰度級的任何位置。因此，影像中細微的灰度級變化可以得到增強，從而以更高的清晰度進行顯示。在核醫學中，這種形式的數字影像處理的常見應用是從影像中去除背景計數。
核醫學中使用的其他形式的對比度增強包括使用具有對數、指數或其他非線性輸入/輸出關係的 LUT——例如，使用對數 LUT 來容納一個灰度級上的廣泛計數範圍。彩色 LUT 也非常流行，其中影像的數字對比度解析度由一系列不同的顏色表示——例如彩虹方案，如圖所示——或者由一種或少量顏色的色調錶示。
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紅色、綠色和藍色通道分別由具有相應顏色的圖表示。
單擊此處以檢視演示各種 CLUT 對融合的 SPECT/CT 研究的影響的 QuickTime 電影（約 9 兆位元組）。
數字影像處理的其他示例在下面的圖中進行了說明
有關現代個人計算機的影像處理功能的詳細介紹，請參閱此外部連結。
數字影像處理的另一種常見形式是對影像應用幾何變換，以放大或縮小特定細節，或校正成像系統引入的幾何失真。影像縮放可以在顯示控制器中使用**畫素複製**過程輕鬆實現，其中每個畫素顯示 N2 次，其中 N 是縮放因子，如下所示
然而，這種方法的一個缺點是，放大後的影像可能具有塊狀外觀，反映了每個有效畫素的較大尺寸。雖然應用平滑濾波器可以減少這種畫素化效果，但可以使用空間插值技術生成更賞心悅目的結果。在這裡，未知畫素的畫素值使用已知相鄰畫素的畫素值估計。假設上面的影像再次放大，並假設這次已知畫素分佈在放大影像的角落，如下所示
插值過程的任務是根據角畫素的已知畫素值計算未知畫素的畫素值。最簡單的方法是線性插值，其中假設已知畫素的畫素值之間存線上性關係。假設我們希望估計上圖中紅色陰影畫素的畫素值。在二維線性插值的情況下，也稱為**雙線性插值**，第一步是計算位於矩陣頂行的位置 (x,0) 的畫素的畫素值，如黃色陰影所示，如下所示
其中 x：沿水平軸的分數距離。
類似地，位於矩陣底行的位置 (x,1) 的黃色陰影畫素的畫素值使用以下公式計算
最後，可以透過對這兩個計算的（黃色陰影）畫素值進行線性插值來獲得圖中未知的紅色陰影畫素的畫素值，如下所示
其中 y：沿垂直軸的分數距離。
此過程應用於影像中的所有未知畫素。示例影像如下所示
除了線性之外，還可以應用其他函式，例如二維**多項式**和**三次樣條**插值，以產生更賞心悅目的結果。但是請記住，插值資料不是真實的，這種方法只是為了改善前面提到的簡單縮放技術的塊狀性質而生成畫素值的估計值。我們將在關於X 射線 CT 的章節中進一步考慮影像插值的應用。
傅立葉變換 – 圖示文集
[edit | edit source]許多教科書中對傅立葉變換（**FT**）的處理使用了許多醫學科學學生感到陌生的數學水平。這裡將採用一種不同的方法，基於圖示文集，試圖更有效地傳達變換所基於的概念。它絕不替代嚴格的數學處理，而僅僅是為了支援您對**影像濾波**的理解。
此演示將證明影像可以從**空間**和**空間頻率**兩個角度考慮。空間視角是表示影像資料的傳統方式，與距離和時間等現實世界引數相關。影像也可以被認為是由大量相互作用的空間頻率組成。我們將使用一個相當簡單的影像來開始考察這方面，然後考慮一個更復雜的影像，即胸部X光片，即由非常廣泛的空間頻率組成的醫學影像示例。FT 將影像資料從**空間**表示轉換為**空間頻率**表示，而**逆 FT**執行相反的操作 – 請參見右側的圖。
下方面板（a）顯示了一幅以 45 度角相對於水平方向執行的正弦亮度模式影像。面板（b）中沿線 AB 的畫素值圖示表明了一維中的這種正弦模式。它也可以透過繪製面板（b）中存在的正弦波的振幅與其空間頻率的關係來以不同的方式表示。這在面板（c）中顯示。後一個圖證實了影像中只有一種空間頻率占主導地位，正如預期的那樣。這種型別的圖被稱為**一維傅立葉譜**，它使用影像資料的**一維傅立葉變換**。請注意，面板（b）和（c）僅在一個維度上說明了頻率資訊。
當頻率資訊以二維顯示時，如面板（d）中所示，則稱為**二維傅立葉譜**，這是使用影像資料的二維傅立葉變換實現的。它沿其垂直和水平軸顯示了垂直和水平影像維度的空間頻率，原點位於中心（用白色小點表示）。面板（d）中看到了另外兩個點，它們旁邊有輕微的水平條紋 – 一個位於原點的左上方，另一個位於原點的右下方。它們對應於面板（a）中正弦波的頻率。由於 FT 會為頻率生成正值和負值，因此生成的兩個頻率將如所示在原點兩側顯示。
當胸部X光片被轉換為空間頻率域時，將獲得更復雜的二維傅立葉譜，如下一幅圖所示。變換後的資料顯示了廣泛的空間頻率，具有顯著的垂直和水平特徵，正如預期的那樣，因為 X 光片中顯示了水平肋骨和垂直脊柱。
FT 及其逆變換的一種潛在用途是從數字影像中去除不需要的或損壞的資料，此過程在下面的最後一張圖中說明。透過將剛剛分析的兩個影像相加，可以生成損壞影像的極端示例，如面板 (a) 中所示。面板 (b) 中的傅立葉譜描繪了求和影像的頻率特徵。透過編輯頻率域中的資料，可以去除正弦模式所致的不希望出現的特徵，如面板 (c) 中所示，然後執行逆傅立葉變換以恢復很大程度上沒有偽影的影像，如面板 (d) 中所示。
從這三個例子中可以得出的關鍵發現是，影像資料的**空間**和**空間頻率**表示是完全等效的。頻率表示在資料操作方面具有許多優勢。總的來說，FT 及其逆變換為我們提供了將資料從現實世界轉換為空間頻率世界，反之亦然的工具。
我們在關於傅立葉方法的章節中對傅立葉變換進行了更正式的處理。