核醫學基礎物理/反捲積分析

簡介

核醫學腎圖代表腎臟對注射到外周靜脈的放射性示蹤劑的反應。因此，示蹤劑到達腎臟的時間被拖延，無法直接測量其瞬時反應。 反捲積 分析，正如您將在下面看到，是一種從腎圖中推匯出瞬時反應的方法，因此可以更可靠地比較同一患者或不同患者的腎臟功能。

腎圖

在 腎圖 中，背景校正後的曲線表明每個腎臟中示蹤劑的數量如何隨時間變化。此外，每條曲線的形狀取決於示蹤劑的速率

• 透過腎動脈系統進入腎臟，以及
• 透過輸尿管離開腎臟。

示蹤劑進入腎臟的速率稱為輸入速率，I(t)，它取決於

• 腎動脈中示蹤劑的血漿濃度，P(t)，
• 腎臟從血漿中提取示蹤劑的速率。

對於從血漿中快速提取的示蹤劑（例如OIH、MAG3），提取速率取決於有效腎血漿流量(ERPF)，因此

I(t) = (ERPF) P(t)

.

對於透過腎小球濾過提取的示蹤劑（例如DTPA），提取速率取決於腎小球濾過率(GFR)，因此

I(t) = (GFR) P(t)

.

血漿濃度隨時間變化，P(t)，最初由一個尖峰組成，其幅度和持續時間取決於

• 注射速度，
• 注射部位，以及
• 示蹤劑在血液中混合的速率。

在初始尖峰之後，血漿濃度，P(t)，隨著時間的推移呈雙指數下降，這取決於

• 與血管外空間的交換速率，以及
• 腎臟對示蹤劑的吸收。

因此，血漿濃度，P(t)，取決於與腎功能無關的因素。因此，不同患者的腎圖，或同一患者在不同時間的腎圖，可能難以直接比較。

理想腎圖

如果能夠直接將示蹤劑的理想注射送入腎臟，則可以獲得理想腎圖。理論上，這種理想的注射應該產生一個輸入速率，I(t)，它由一個狄拉克函式組成，稱為脈衝輸入。

由此產生的理想腎圖稱為腎臟的脈衝響應，H(t)。

在實踐中，測量了腎臟對非理想輸入速率的反應。這種真實的反應，R(t)，可以認為是實際輸入速率和腎臟的脈衝響應的卷積的結果

R(t) = I(t) * H(t).

根據測量 R(t) 和 I(t) 來確定 H(t) 的過程稱為反捲積。換句話說，腎圖曲線的反捲積可以確定腎臟對理想注射的反應。因此，可以獲得更好的患者間和患者內的比較——至少在理論上！

卷積

在處理反捲積分析之前，我們首先要考慮 卷積 過程。

考慮以下圖中所示的腎臟的極度簡化表示模型。這種腎臟模型認為腎臟由四條路徑組成，示蹤劑在這四條路徑中均勻流動。假設示蹤劑透過最短路徑需要3分鐘，透過最長路徑需要6分鐘——（你猜對了！）透過其他兩條路徑分別需要4分鐘和5分鐘。

伽馬相機成像假設腎臟的示意圖。

當 狄拉克函式，I，作為輸入被輸入到這個模型中時，腎臟的反應將由脈衝響應，H，給出，如上所示。脈衝響應的形式可以透過考慮示蹤劑透過模型的時間過程來理解

• 在脈衝注射後的前三分鐘，脈衝響應，H，將等於1，因為所有輸入示蹤劑量都保留在伽馬相機視野中。
• 在第4分鐘，示蹤劑量將減少，因為有25%的示蹤劑已經透過最短路徑離開了視野，因此H將下降到0.75。
• 類似地，在第5分鐘，它將下降到0.5。
• 最後在第6分鐘下降到0.25——並在第7分鐘下降到零。

這裡要注意的重要一點是，脈衝響應函式的下降反映了每條路徑的轉運時間的資訊。這種下降可以透過平均轉運時間和最大轉運時間來表徵。

請注意，這個簡單的模型可以理想地擴充套件到包含大量路徑，從而生成更能代表真實腎臟反應的轉運時間。還要注意，這種建模形式可以分別應用於腎實質、腎盂和整個腎臟。

然而，不幸的是，除了可能在腎動脈注射的情況下，在實踐中幾乎不可能產生理想的脈衝輸入！然而，上述思路可以修改以包括非理想注射的影響，如下所示

對非理想輸入的響應示意圖。

在這裡，我們極度簡化的腎臟模型的輸入不是理想的脈衝注射，而是被分散開的，因此示蹤劑量隨著時間的推移呈指數下降。當假定整個腎臟對一系列脈衝輸入的響應等於對每個脈衝的單獨響應之和時，我們可以推斷出

$R_{1}=I_{1}H_{1}Dt\,\!$

$R_{2}=(I_{1}H_{2}+I_{2}H_{1})Dt\,\!$

$R_{3}=(I_{1}H_{3}+I_{2}H_{2}+I_{3}H_{1})Dt\,\!$

$R_{4}=(I_{1}H_{4}+I_{2}H_{3}+I_{3}H_{2}+I_{4}H_{1})Dt\,\!$

等等。

其中Dt是每次測量示蹤劑數量所用的時間間隔。

因此，一般來說

$R_{i}=\sum _{j=1}^{i}I_{j}H_{i-j+1}\Delta t$

其中i = 1, 2, 3, 4, .....

將這種關係表示為一個連續函式（而不是離散函式），我們得到所謂的卷積積分

$R(t)=\int _{0}^{t}I(\tau )H(t-\tau )d\tau$

通常寫成以下形式

$R(t)=I(t)\cdot H(t)\,\!$

換句話說，真實腎圖曲線R(t)可以看作是理想腎圖曲線H(t)與真實輸入函式I(t)卷積的結果。

上面描述的模型是線性系統的典型例子，即系統對一系列脈衝輸入的響應，是由對每個脈衝的單獨響應之和得到的。線性系統還假設在測量期間示蹤劑的流動在系統中是恆定的，即該系統被假定為平穩的。換句話說，對於腎圖來說，假設在研究過程中腎清除率和尿流量保持恆定。腎清除率在腎圖的初始階段之後可以假定為保持恆定，因為所用示蹤劑的量很小（無論是O¹²³IH、^99mTc-MAG3還是^99mTc-DTPA）都不會影響腎功能。然而，對於尿流量來說，情況並非如此，因為觀察到腎盂排洩經常發生“爆發”，而不是連續流動。注意，這種非平穩性會導致在應用反捲積分析時出現重大問題。

反捲積

反捲積是用於從I和R的測量值中確定H的數學過程。應用於腎圖的反捲積技術包括

• 矩陣求逆 - 將卷積積分表示為矩陣形式，如

$R=I\cdot HDt\,\!$

可以求解得到

$H={\frac {1}{\Delta t}}I^{-1}\cdot R$

其中I^-1是矩陣I的逆矩陣。

• 傅立葉變換 - 計算卷積積分的傅立葉變換（FT），即

$FT[R(t)]=FT[I(t)]\cdot FT[H(t)]\,\!$

H(t)可以從以下公式確定

$H(t)=IFT\left\lbrack {\frac {FT\,[R(t)]}{FT\,[I(t)]}}\right\rbrack$

即：將R(t)的傅立葉變換除以I(t)的傅立葉變換，並計算結果的逆傅立葉變換（IFT）。

這兩種技術對測量中的統計波動非常敏感，因此在進行傅立葉變換之前，通常會對R(t)和I(t)的測量曲線進行平滑處理。

在臨床實踐中，可以使用背景校正後的腎圖曲線作為R(t)，並且可以使用例如心臟上的血管感興趣區域（RoI）作為I(t)的測量值。反捲積後獲得的脈衝響應H(t)的形式與下圖所示類似。

使用反捲積腎圖獲得的脈衝響應的一般形式。

H₀是時間t = 0時的脈衝響應，可以證明它等於腎臟攝取常數。指示示蹤劑透過腎臟所需時間的指標可以包括最小、平均和最大轉運時間，以及轉運時間範圍。還可以透過對H(t)進行微分來生成轉運時間譜。

最後，應該注意的是，反捲積分析中並不嚴格要求背景減除腎圖，可以使用原始腎圖曲線直接進行分析。原因可以透過考慮從原始資料測量的總體響應函式來自腎臟響應函式和組織響應函式之和來解釋，如下圖所示。

腎臟和組織響應函式疊加的示意圖。

腎臟轉運時間仍然可以從組合響應函式中獲得，並且可以看出，攝取常數可以透過外推來確定。