核醫學基礎物理/放射性衰變定律

所有已知原子核的穩定性圖，以 Z（質子數）與 N（中子數）為座標軸繪製。顏色對應半衰期 T½ 的值，使用強對數刻度，因為半衰期在 10⁻²⁰ 到 10²⁰ 秒之間變化。

我們在上一章中從現象學的角度介紹了放射性衰變。在本章中，我們將從更一般化的分析角度考慮這一主題。

這樣做是為了使我們能夠發展一種思維方式，幫助我們從定量、數學的角度理解正在發生的事情。我們將介紹諸如衰變常數和半衰期的概念，以及用於測量放射性的單位。此外，您將有機會透過三個關於該主題的問題來加深理解。

假設

在物理學的大多數分析形式中，通常的起點是做出一些簡化情況的假設。透過簡化情況，我們可以消除無關的影響，這些影響往往會使情況變得複雜，但在這樣做的時候，我們有時會使情況變得過於簡單，以至於它變得有點過於抽象，難以理解。

出於這個原因，我們將嘗試將放射性衰變與一個更常見的情況聯絡起來，我們將使用它作為類比，希望我們能夠克服該主題的抽象特徵。我們將使用的類比是製作爆米花。

所以，想象一下在鍋裡放一些油，加入玉米粒，在爐子上加熱鍋，觀察發生的事情。您也可以嘗試一下，邊嘗試邊思考這種情況！

對於我們的放射性衰變情況，我們首先考慮一個樣本，其中包含大量相同型別的放射性原子核。例如，這就是鍋裡的未爆開的玉米粒。

其次，我們假設所有放射性原子核都透過相同的過程衰變，無論是α衰變、β衰變還是γ衰變。換句話說，我們的未爆開的玉米粒在加熱過程中會在某個階段爆開。

第三，花點時間思考一下，我們只能從統計的角度考慮正在發生的事情。如果你觀察單個玉米粒，你能確定它什麼時候會爆開嗎？不能。但是，您能確定的是，在一段時間後，大量的玉米粒會爆開。但是，對於單個玉米粒來說，確定這種情況就比較困難了。因此，我們不處理單個實體，而是考慮更大範圍內的發生情況，這就是統計學發揮作用的地方。我們可以說，放射性衰變是一個統計性的單次過程，也就是說，當一個原子核衰變後，它不能再重複這個過程。換句話說，當一顆玉米粒爆開後，它就不能再重複這個過程了。很簡單！

此外，只要一個放射性原子核沒有衰變，它在下一刻衰變的機率保持不變。換句話說，如果一顆玉米粒在某個時間點沒有爆開，它在下一秒爆開的可能性與前一秒相同。賭注是公平的！

不過，我們不要把爆米花類比推得太遠，因為我們知道，我們可以透過對鍋施加的熱量來控制爆開的速度。但是，就我們的放射性原子核而言，我們無能為力地控制正在發生的事情。原子核以什麼速度爆開（或者換句話說，衰變）不受加熱樣本的影響。無論冷卻樣本，還是施加更大的壓力，無論改變重力環境，例如把它帶到太空，還是改變其物理環境的其他方面，都不會影響到這一點。似乎只有原子核本身決定單個原子核是否會衰變。但平均而言，我們可以說它將在某個階段衰變。

放射性衰變定律

現在讓我們使用一些符號來減少描述正在發生的事情的寫作量，並利用一些數學技巧，進一步簡化情況。

假設在放射性物質樣本中，在某個時間 t 時，有 N 個原子核沒有衰變。那麼，在接下來的短暫時間內會發生什麼呢？肯定有一些原子核會衰變。但會有多少個呢？

根據我們上面的推理，我們可以說，衰變的原子核數量將取決於原子核的總數 N，以及短暫時間段的長度。換句話說，原子核越多，衰變的原子核就越多，時間段越長，衰變的原子核就越多。我們把衰變的原子核數量記為dN，把短暫的時間間隔記為dt。

所以，我們推斷出，在從 t 到 t+dt 的時間間隔內衰變的放射性原子核數量必須與 N 和 dt 成正比。因此，用符號表示為

$-dN\propto N\cdot dt\,\!$

負號表示 N 正在減小。

將該方程中的比例關係轉換為等式，我們可以寫成

$-dN=\lambda N\cdot dt\,\!$

其中比例常數 λ（讀作拉姆達）稱為衰變常數。

在 N 兩邊除以，我們可以將該方程改寫為

$-{\frac {dN}{N}}=\lambda \cdot dt$

因此，這個方程描述了任何短暫時間間隔 dt 內的情況。為了找出所有時間段內的情況，我們只需將每個短暫時間間隔內的情況加起來。換句話說，我們對上述方程進行積分。更正式地說，我們可以說，從 t = 0 到任何後面的時間 t 的時間段內，放射性原子核的數量將從 N₀ 減小到 N_t，因此

$-\int _{N_{0}}^{N_{t}}{\frac {dN}{N}}=\lambda \int _{0}^{t}dt$

$\therefore \ln \left({\frac {N_{t}}{N_{0}}}\right)=-\lambda t$

$\therefore {\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\text{exp}}\,(-\lambda t)$

$\therefore N_{t}=N_{0}{\text{exp}}\,(-\lambda t)$

這個最終表示式被稱為**放射性衰變定律**。它告訴我們放射性原子核的數量將隨著時間呈指數下降，下降速率由衰變常數控制。

在更詳細地研究這個表示式之前，讓我們回顧一下我們上面使用的數學方法。首先，我們使用積分學來找出一段時間內發生了什麼，方法是將我們已知的短時間內發生的事情進行積分。其次，我們使用微積分中的一個關係，即

$\int {\frac {dx}{x}}=\ln x$

其中 ln x 表示x的自然對數。第三，我們使用了對數的定義，即當

$\ln x=y\,\!$

那麼，

$x={\text{exp}}\ y\,\!$

現在，回到放射性衰變定律。該定律告訴我們，放射性原子核的數量將隨著時間呈指數下降，下降速率由衰變常數控制。下圖以圖形形式顯示了該定律

該圖繪製了任意時間t處的放射性原子核數量N_t與時間t的關係。我們可以看到，放射性原子核的數量從N₀（即t = 0時的數量）開始快速下降，然後以經典的指數方式逐漸減慢。

下圖顯示了衰變常數的影響

這裡的所有三條曲線都是指數曲線，只有衰變常數不同。注意，當衰變常數較小時，曲線下降相對緩慢；當衰變常數較大時，曲線下降速度很快。

衰變常數是單個放射性核素的特徵。有些放射性核素，例如鈾-238，具有較小的衰變常數，因此在很長一段時間內衰變速度相當慢。其他原子核，例如鎝-99m，具有相對較大的衰變常數，衰變速度快得多。

我們還可以從另一個角度來看放射性衰變定律，即繪製N_t的對數與時間的關係圖。換句話說，根據我們上面的分析，繪製表示式

$\ln \left({\frac {N_{t}}{N_{0}}}\right)=-\lambda t$

的形式

$\ln N_{t}=-\lambda t+\ln N_{0}\,\!$

注意，這個表示式只是一個y = mx + c形式的方程，其中m = -l，c = ln N₀。因此，它是一個斜率為-l的直線的方程，如下圖所示。當我們想考慮一個沒有直接指數行為複雜性的情況時，這種圖有時很有用。

半衰期

我們大多數人沒有被教導以對數或指數的方式本能地思考，即使許多自然現象都表現出指數行為。我們大多數人在學校學到的思維方式都是基於線性變化的，因此我們很難直觀地理解放射性衰變定律。因此，通常會從該定律中推匯出一個指標，幫助我們更清楚地理解正在發生的事情。

這個指標被稱為**半衰期**，它表示放射性同位素的放射性下降到一半所需的時間。從圖形的角度來看，我們可以說，當

$N_{t}={\frac {N_{0}}{2}}$

所需的時間就是半衰期

注意，半衰期並不表示物質保持放射性的時間，而僅僅是其放射性下降到一半所需的時間。下表列出了部分放射性同位素的半衰期示例。注意，其中一些同位素的半衰期相對較短。這些同位素通常用於醫學診斷，因為它們在給患者服用後不會保持放射性很長時間，因此導致患者的輻射劑量相對較低。

放射性同位素	半衰期（約）
81mKr	13 秒
99mTc	6 小時
131I	8 天
51Cr	1 個月
137Cs	30 年
241Am	462 年
226Ra	1620 年
238U	4.51 x 109 年

但當我們想要使用這些同位素時，它們確實會帶來一個後勤問題，因為附近可能沒有放射性同位素生產設施。例如，假設我們想用^99mTc進行患者研究，最近的生產這種同位素的核設施距離我們5000公里。例如，生產設施可能在悉尼，而患者可能在珀斯。在核電站生產這種同位素後，它會以6小時的半衰期衰變。所以我們把材料裝上卡車，開到悉尼機場。同位素在卡車停在悉尼的交通中時會衰變，然後在等待飛機飛往珀斯時會繼續衰變。然後在飛往珀斯時會繼續衰變，等等。當它到達我們的患者時，它的放射性將大大降低，可能已經降低到對患者的調查毫無用處。如果我們想使用^81mKr而不是^99mTc，那該怎麼辦？你將在本書的另一章中看到，像這樣的後勤挑戰催生了一些非常創新的解決方案。我們稍後再討論這個問題！

從上表可以看出，其他同位素的半衰期非常長。例如，²²⁶Ra 的半衰期超過 1500 年。這種同位素過去曾用於醫學治療。想想這裡出現的物流問題。它們顯然與將材料從生產點運輸到使用點無關。但它們與材料到達使用點後的儲存方式有關。我們必須有一個儲存設施，以便材料能夠安全地長期儲存。但是要儲存多久呢？用於醫學的放射性物質數量的一般經驗法則是，放射性將在大約 10 個半衰期內保持顯著。所以，我們必須有一個安全的環境來儲存²²⁶Ra 大約 16000 年！這個儲存設施必須能抵禦地震、爆炸等許多不可預見事件，並以我們的孩子、孩子們的孩子能夠理解的方式儲存。這是一個非常嚴肅的任務！

衰變常數和半衰期之間的關係

基於以上內容，您應該能夠理解衰變常數和半衰期之間存在關係。例如，當衰變常數很小時，半衰期應該很長，相應地，當衰變常數很大時，半衰期應該很短。但是這種關係的本質到底是什麼呢？

我們可以透過使用半衰期的定義並將其應用於放射性衰變定律來輕鬆回答這個問題。

再次，該定律告訴我們，在任何時間點 t

$N_{t}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)\,\!$

而半衰期的定義告訴我們

$N_{t}={\frac {N_{0}}{2}}$

當

$t=t_{\frac {1}{2}}$

因此，我們可以透過用以下方式替換 N_t 和 t 來重新編寫放射性衰變定律

${\frac {N_{0}}{2}}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$

因此

${\frac {1}{2}}={\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$

$\therefore 2^{-1}={\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$

$\therefore \ln 2^{-1}=-\lambda t_{\frac {1}{2}}$

$\therefore \ln 2=\lambda t_{\frac {1}{2}}$

$\therefore 0.693=\lambda t_{\frac {1}{2}}$

$t_{\frac {1}{2}}={\frac {0.693}{\lambda }}$

和

$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}$

最後兩個等式表達了衰變常數和半衰期之間的關係。您將在解決與放射性相關的數值問題時發現它們非常有用，通常它們是解決數值問題的第一步。

放射性的單位

放射性的 SI 或公制單位以亨利·貝克勒爾的名字命名，以紀念他發現放射性，被稱為貝克勒爾，符號為 Bq。 貝克勒爾定義為產生每秒 1 次衰變的放射性物質的量。

在醫學診斷工作中，1 Bq 是一個相當小的放射性劑量。事實上，如果你把它想象成一個微不足道的放射性劑量，很容易記住它的定義。出於這個原因，千貝克勒爾 (kBq) 和兆貝克勒爾 (MBq) 更常被使用。

放射性的傳統單位以瑪麗·居里命名，稱為居里，符號為 Ci。 居里定義為產生每秒 3.7 x 10¹⁰ 次衰變的放射性物質的量。換句話說，每秒 370 億次衰變，正如您可能理解的那樣，這是一個相當大的放射性劑量。對於醫學診斷工作，毫居里 (mCi) 和微居里 (µCi) 因此更常被使用。

為什麼有兩個單位？實質上，就像所有其他計量單位一樣，它取決於你身處世界哪個地方。例如，公里在歐洲和澳大利亞被廣泛用作距離單位，英里在美國被使用。因此，如果你在閱讀一本美國教科書，你可能會發現居里被用作放射性單位，如果你在閱讀一本澳大利亞書籍，它很可能指的是貝克勒爾，如果你在閱讀一本歐洲書籍，則兩種單位都可能被使用。因此，您會發現瞭解和理解這兩個單位是必要的。

多項選擇題

點選 這裡訪問關於放射性衰變定律的 MCQ。

問題

下面給出三個問題，以幫助您加深對本章內容的理解。第一個問題相對簡單，將檢驗您對放射性衰變定律以及半衰期的概念的應用。第二個問題更具挑戰性，將幫助您將放射性衰變定律與放射性物質樣品中衰變的放射性原子核數量聯絡起來。第三個問題將透過從稍微不同的角度提出一個類似的問題來幫助您理解在第二個問題中使用的方法。

問題 1

(a) ^99mTc 的半衰期為 6 小時。經過多長時間，將剩下 1/16 的放射性同位素？

(b) 用另一種方法驗證您的答案。

答案:

(a) 從我們之前建立的衰變常數和半衰期之間的關係開始，我們可以按如下方式計算衰變常數

$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}={\frac {0.693}{6}}=0.1155\ {\text{hr}}^{-1}$

現在應用放射性衰變定律，

$N_{t}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)\,\!$

我們可以將其改寫為以下形式

${\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\text{exp}}\,(-\lambda t)$

問題告訴我們 N₀ 減少到其值的 1/16，即

${\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\frac {1}{16}}$

因此

${\frac {1}{16}}={\text{exp}}\,(-0.1155t)$

我們需要為此求解 t。一種方法如下

$16^{-1}={\text{exp}}\,(-0.1155t)$

$\therefore -\ln 16=-0.1155t\,\!$

$t={\frac {\ln 16}{0.1155}}=24\ {\text{hours}}$

因此，需要 24 小時才能剩下 1/16 的放射性。

(b) 驗證此答案的一種方法是使用半衰期的定義。我們被告知 ^99mTc 的半衰期為 6 小時。因此，經過六個小時，將剩下放射性的一半。

因此，經過 12 小時，將剩下四分之一；經過 18 小時，將剩下八分之一；經過 24 小時，將剩下十六分之一。我們得到了與 (a) 部分相同的答案。所以我們一定是正確的！

請注意，如果我們處理的是放射性減半、四分之一等等的相對簡單的情況，第二種方法很有用。但是，假設問題問需要多長時間才能使放射性降至其初始值的十分之一。在這種情況下，從半衰期定義中推論比較困難，而上面 (a) 部分使用的數學方法將更容易得出答案。

問題 2

給定t_1/2: 1620 年和阿伏伽德羅常數：6.023 x 10²³，求 1 g ²²⁶Ra 樣品的放射性。

答案:

我們可以像在問題 1(a) 中一樣開始答案，使用以下公式從半衰期計算衰變常數

$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}={\frac {0.693}{1620}}=4.28\cdot 10^{-4}\ {\text{year}}^{-1}$

$\therefore \lambda =1.36\cdot 10^{-11}s^{-1}$

請注意，上面將“每年”轉換為“每秒”時使用的年長為 365.25 天，以考慮閏年。此外，轉換為“每秒”單位的原因是，放射性的單位表示為每秒衰變的原子核數量。

其次，我們可以計算出 1 克 ²²⁶Ra 包含

$N={\frac {({\text{Avogadro No.}})({\text{Mass}})}{\text{Mass Number}}}={\frac {(6.023\cdot 10^{23})(1g)}{226}}=2.7\cdot 10^{21}\ {\text{nuclei}}$

第三，我們需要用單位時間內衰變的原子核數來表示放射性衰變定律。我們可以透過以下方式對該方程進行微分來實現這一點。

$N=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)$

$\therefore {\frac {dN}{dt}}=N_{0}\cdot -\lambda \ {\text{exp}}\,(-\lambda t)=-\lambda N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)$

$\therefore {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N$

$\therefore \left|{\frac {dN}{dt}}\right|=\lambda N$

將上述結果表示為絕對值的原因是，為了去除負號，因為我們已經知道該數字在減少。

現在我們可以輸入我們上面推匯出的 λ 和 N 的資料。

$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=(1.36\cdot 10^{-11})(2.7\cdot 10^{21})$

$\therefore \left|{\frac {dN}{dt}}\right|=3.6\cdot 10^{10}\ {\text{decays per second}}$

因此，我們 1 克 鐳-226 樣品的放射性約為 1 居里。

這不是一個令人驚訝的答案，因為居里的定義最初被設想為 1 克 鐳-226 的放射性！

問題 3

^99mTc 的最小質量是多少，才能具有 1 MBq 的放射性？假設半衰期為 6 小時，阿伏伽德羅常數為 6.023 x 10²³。

答案

從衰變常數和半衰期之間的關係開始

$\lambda ={\frac {0.693}{6}}=0.1155\ {\text{hour}}^{-1}=3.21\cdot 10^{-5}$

其次，該問題告訴我們放射性為 1 MBq。因此，由於 1 MBq = 1 x 10⁶ 次衰變每秒，

$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=\lambda N=1\cdot 10^{6}\ {\text{dps}}$

$\therefore N={\frac {\left|{\frac {dN}{dt}}\right|}{\lambda }}={\frac {1\cdot 10^{6}}{3.21\cdot 10^{-5}}}=3.116\cdot 10^{10}$

最後，這些原子核的質量可以按如下方式計算

${\text{Mass of N nuclei}}={\frac {({\text{No. of Nuclei}})({\text{Mass No.}})}{\text{Avogadro Number}}}$

$={\frac {(3.116\cdot 10^{10})(99)}{6.023\cdot 10^{23}}}=5.122\cdot 10^{-12}\ {\text{g}}$

換句話說，僅僅超過 5 皮克的 ^99mTc 可以每秒發射一百萬個伽馬射線。該結果強化了一個重要的點，你將在輻射防護方面學到，那就是你應該像對待病原菌一樣對待放射性物質！