A-level 數學/OCR/C3/特殊函式和變換

模函式

模函式寫成 ${\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}$ ，它的定義是 ${\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\leq 0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$ 。你也可以寫成 ${\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b\end{vmatrix}}\Longleftrightarrow a^{2}=b^{2}$ ，因為二次方會把任何負數變成正數，然後你取平方根，函式就變回原來的函式。模函式是多對一對映，因此沒有逆函式。模函式用於當結果的值很重要而符號不重要時。只有在英國英語中才使用“模函式”這個詞，否則它被稱為絕對值函式。因此，在大多數計算器上你會看到 abs()。

求解模不等式

在求解包含模的不等式時，重要的是要記住你不能簡單地忽略模。相反，你需要使用規則： $|x|\leq b\iff -b\leq x\leq b$ 。然後像你解決一般問題一樣解決它。例如

求解 x $|3x-2|\leq 4$

$-4\leq 3x-2\leq 4$

$-2\leq 3x\leq 6$

$-2/3\leq x\leq 2$

模函式的影像

y=|f(x)| 的影像

在 $y={\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}$ 圖中，影像的負半部分關於 x 軸翻轉。下面是 ${\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}=x^{2}-5$ 的影像。

y=f(|x|) 的影像

在 $y=f\left({\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}\right)$ 圖中，影像的正半部分關於 y 軸翻轉。下面是 $f\left({\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}\right)=x^{2}-4x$ 的影像。

自然函式

自然指數函式

以 e 為底的指數函式是一個由無窮級數定義的超越函式，其近似值為 2.71828。

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots$ .

e 是數學中最重要的數字之一，因為它被用於大多數自然增長過程的計算。由於它是一個指數函式，因此它遵循所有指數函式的定律。自然指數是自然對數的逆函式，因此 $e^{\ln x}=x\,$ 。右側是 $e^{x}\,$ 的影像。

自然對數

自然對數是以 e 為底的對數函式： $\log _{e}x\,$ 。它有一個特殊的符號 $\ln x\,$ 。由於自然對數是一個對數函式，因此它遵循所有對數函式的定律。自然對數是自然指數的逆函式，因此 $\ln e^{x}=x\,$ 。右側是 $\ln x\,$ 的影像。

指數增長和衰減

自然函式的主要用途之一是計算自然增長或衰減，可以使用以下公式計算： $y\left(t\right)=y_{0}e^{kt}\,$ ，其中 y(t) 是最終值， $y_{0}$ 是初始值，k 是增長常數，t 是經過的時間。一種特殊的衰變是元素的半衰期，其中 k 定義為： $k=-{\frac {\ln 2}{\mbox{half-life}}}$ 。指數增長和衰減在從測量細菌菌落生長到計算涉及利息的應用中都有非常廣泛的應用。

指數增長的例子

一個細菌菌落開始時有 200 個細菌，2 小時後菌落增長到 600 個細菌。預測 6 小時後菌落中細菌的數量？

由此我們知道

y(t) = 600
$y_{0}$ = 200
k = x
t = 2

現在我們將這些值代入公式

$600=200e^{2k}\,$

現在我們確保 e 是單獨的

${\frac {600}{200}}=e^{2x}\,$

由於 ln 是反函式，我們用它來去除底數 e。

$\ln 3=\ln e^{2x}\,$

現在我們可以解出 x。

$1.1\approx 2x\,$ ，所以菌落的增長因子約為 0.55

現在我們可以預測 6 小時後細菌的數量。

$x=200e^{6\times .55}\,$

$x=5423\ bacteria\,$

半衰期衰減的例子

碳-14 元素的半衰期為 5730 年。100 克 C-14 樣本何時會減少到 20% 的 C-14 和 80% 的 C-12？

y(t) = 20% * 100 = 20
$y_{0}$ = 100
half-life = 5730
t = x

我們將所有已知數代入函式。請注意增長常數的特殊公式。

$20=100e^{\left(-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t\right)}$

現在我們確保 e 是單獨的

$.2=e^{\left(-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t\right)}$

由於 ln 是反函式，我們用它來去除底數 e。

$\ln .2=\ln e^{\left(-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t\right)}$

$\ln .2=-{\frac {\ln 2}{5730}}\times t$

現在我們重新排列等式以隔離 t。

$t=-5730{\frac {\ln .2}{\ln 2}}$

解出 t，我們得到該樣本將在大約 13304.6 年後減少到 20% 的 C-14 和 80% 的 C-12。

$t\approx 13304.6\ years$

函式變換

在核心 3 中，我們將變換表補充了三個反射。以下是完整的變換表。

反射

$y=-f\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 關於 x 軸的反射。
$y=f\left(-x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 關於 y 軸的反射。
$y={\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 當 y < 0 時關於 x 軸的反射。
$y=f\left({\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}\right)$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 當 x > 0 時關於 y 軸的反射。
$y=f^{-1}\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 關於直線 y=x 的反射。 $y=f\left(x\right)\,$ 必須具有 1:1 對映。

拉伸

$y=f\left(bx\right)\,$ 當 $0<b<1\,$ 時，遠離 y 軸拉伸；當 $b>1\,$ 時，朝向 y 軸拉伸。在這兩種情況下，變化量為 1/b 個單位。
$y=af\left(x\right)\,$ 當 $0<a<1\,$ 時，它會沿著 x 軸方向被拉伸；當 $a>1\,$ 時，它會沿著 x 軸方向被拉伸。在這兩種情況下，變化幅度都是 a 個單位。