生物物理學/斯特林近似

直接計算熵需要我們計算階乘。計算相對較小的數字的階乘不是問題（至少對於計算機來說）。但是，一旦你開始在具有非常大量的粒子數和能量包（摩爾級或 $10^{23}$）的系統中工作，就清楚地看到，直接計算階乘是不可行的。相反，必須開發熵的近似值。我們將更仔細地研究被稱為斯特林近似的內容。

回想一下，理想固體的多重性 Ω 是 $\Omega ={\frac {(N+n-1)!}{n!(N-1)!}}$
而熵是
$S=k_{B}{\rm {ln}}(\Omega )$.
$S=k_{B}{\rm {ln}}({\frac {(N+n-1)!}{n!(N-1)!}})$.
根據對數規則，
${\frac {S}{k_{B}}}=[{\rm {ln}}(N+n-1)!-{\rm {ln}}(n!)-{\rm {ln}}(N-1)!]$.

所有項本質上都是階乘的對數，所以讓我們研究一般情況。

當包含的整數跨越一個大的範圍（即阿伏伽德羅常數）時，自然對數的積分近似等於所有整數的自然對數的總和。

${\rm {ln}}(x!)={\rm {ln}}((x)(x-1)(x-2)(x-3)...(2)(1))$,
這意味著根據對數規則 ${\rm {ln}}(x!)={\rm {ln}}(x)+{\rm {ln}}(x-1)+{\rm {ln}}(x-2)+...+{\rm {ln}}(2)+{\rm {ln}}(1)$，或者
${\rm {ln}}(x!)=\sum \limits _{i=0}^{x}{\rm {ln}}(i)$.
對於非常大的值（想想摩爾數量級的範圍），這可以用以下公式近似
${\rm {ln}}(x!)\approx \int _{1}^{x}{\rm {ln}}(i)di$，其解為 $\int _{1}^{x}{\rm {ln}}(i)di=i{\rm {ln}}(i)-i{\Big |}_{1}^{x}$。
根據微積分基本定理，${\rm {ln}}(x!)\approx x{\rm {ln}}(x)-x+1$。對於非常大的數字，1 可以忽略不計，因此 ${\rm {ln}}(x!)\approx x{\rm {ln}}(x)-x$。因此，我們得到了以下近似值

${\rm {ln}}(N+n-1)\approx (N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-(N+n-1)$

${\rm {ln}}(x!)\approx n{\rm {ln}}(n)-n$

${\rm {ln}}(N-1)\approx (N-1){\rm {ln}}(N-1)-(N-1)$

因此 $(N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-{\rm {ln}}(n)-{\rm {ln}}(N-1)\approx (N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-(N+n-1)-n{\rm {ln}}(n)+n-(N-1){\rm {ln}}(N-1)+(N-1)$。

簡化後，
$(N+n-1){\rm {ln}}(N+n-1)-n{\rm {ln}}(n)-(N-1){\rm {ln}}(N-1)$

再次強調，我們假設這些數字非常大，使得 1 可以忽略不計。因此，$(N+n){\rm {ln}}(N+n)-n{\rm {ln}}(n)-(N){\rm {ln}}(N)$

因此，熵可以用$S=k_{B}[(N+n){\rm {ln}}(N+n)-n{\rm {ln}}(n)-(N-1){\rm {ln}}(N-1)]$ 近似表示。 記住，在對數前面乘以的數字可以寫成對數內部數字的冪，所以 $S=k_{B}[{\rm {ln}}((N+n)^{(N+n)})-{\rm {ln}}(n^{n})-{\rm {ln}}(N^{N})]$， 或者 $S=k_{B}{\rm {ln}}[{\frac {(N+n)^{(N+n)}}{(n^{n})(N^{N})}}]$。 對於計算，第一個方程式更好，因為它在取對數之前沒有進行指數運算。