CLEP 代數/絕對值方程

絕對值

絕對值用兩個垂直線表示，$\vert$，在代數中很常見。它們表示數字在數軸上到 0 的距離。如果數字是負數，它將變為正數。如果數字是正數，它將保持為正數

$\left\vert 4\right\vert =4\,$
$\left\vert -4\right\vert =4\,$

對於正式定義

$|x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0\end{cases}}$

這可以讀作以下內容

如果 $x\geq 0$，則 $|x|=x$
如果 $x<0$，則 $|x|=-x$

正式定義只是對函式在$x$值特定限制下的表示的宣告。對於任何 $x<0$，函式在$xy$平面上的輸出與線性函式 $y=-x$的輸出相同。如果 $x\geq 0$，則輸出與線性函式 $y=x$的輸出相同。

就我們的目的而言，從技術上來說，$x\geq 0{\text{ and }}x<0$ 或 $x>0{\text{ and }}x\leq 0$ 如何定義並不重要。 只要你選擇一個並保持一致，定義方式就沒有關係。 按慣例，它通常按照開始時的正式定義來定義。

請注意，負數的相反數（負號，-）是正數。 例如，$-1$ 的相反數是 $1$。 通常，一些書籍和老師會將相反數稱為給定大小的負數。 為方便起見，可以使用這個簡寫，所以請始終記住這種語言上的捷徑。

絕對值函式的性質

我們將定義絕對值函式的性質。 瞭解這一點對於參加 CLEP 考試非常重要，因為它可以極大地加快解決絕對值方程式的速度。 最後，本節中的練習題會測試你對絕對值方程式的瞭解程度。 我們建議你盡你所能學習這些概念。 然而，當參加考試時，這並不絕對必要。

定義域和值域

設 $f(x)=|x|$，其對映為 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$。 根據定義，

$|x|={\begin{cases}-x&{\text{if}}&x<0\\x&{\text{if}}&x\geq 0\end{cases}}$.

因為它只能是 $y=-x{\text{ if }}x<0$ 和 $y=x{\text{ if }}x\geq 0$，因此不可能是 $|x|<0$。 然而，由於 $x$ 沒有限制，定義域 $A$ 也沒有限制。 因此，如果 $B$ 表示函式的值域，則 $A=\{x\in \mathbb {R} \}$ 和 $B=\{y\geq 0|y\in \mathbb {R} \}$。

定義：定義域和值域

設 $f(x)=|x|$ 其對映為 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 表示絕對值函式。如果 $A$ 是定義域，而 $B$ 是值域，那麼 $A=\{x\in \mathbb {R} \}$ 且 $B=\{y\geq 0|y\in \mathbb {R} \}$.

根據上述定義，母函式存在一個絕對最小值，它存在於原點 $O(0,0)$

偶函式還是奇函式？

回顧一下偶函式和奇函式的定義。設有一個函式 $f:A\to B$

如果 $x\in A$ 且 $f(-x)=f(x)$，則 $f$ 是偶函式。

如果 $x\in A$ 且 $f(-x)=-f(x)$，則 $f$ 是奇函式。

證明：$f(x)=|x|$ 是偶函式 設 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto |x|$。根據定義， $f(x)=|x|={\begin{cases}-x&{\text{if}}&x<0\\x&{\text{if}}&x\geq 0\end{cases}}$. 假設 $x\in A$。設 $x>0\Rightarrow -x<0$. $f(x)=x$ $f(-x)=-(-x)=x$ $\Rightarrow f(-x)=f(x)\blacksquare$

因為 $f(x)$ 是偶函式，因此它也是 *對稱* 的。 你可以在 這裡 (圖形及其性質) 找到相關內容。

一對一和滿射？

回顧單射和滿射的定義。

如果 $u,v\in A$，並且 $f(u)=f(v)\Rightarrow u=v$，那麼 $f(x)$ 是單射的。

如果對所有 $b\in B$，存在一個 $a\in A$ 使得 $f(a)=b$，那麼 $f(x)$ 是滿射的。

證明： $f(x)=|x|$ 不是單射的 假設 $u,v\in \mathbb {R}$ 並且 $f(u)=f(v)$。 透過前面的證明，我們已經證明了 $f(x)$ 是偶函式。 因此，我們可以使用值 $v=-u$ 來進行以下說明 $f(u)=f(v)\Rightarrow u\neq v$ 因此， $f(x)$ 不是單射的。

由於我們尚未建立如何透過代數運算來證明這些陳述，因此我們將隨著對這些新函式的理解加深而逐步推匯出其性質。 要判斷一個函式是否為滿射，只需檢查其定義即可（如果不能滿足定義，則說明它不是滿射）。

證明：$f(x)=|x|$ 不是滿射 假設 $b\in \mathbb {R}$。存在元素 $b=-1\in \mathbb {R}$，對於它，$f(x)=|x|\neq -1$ 對於所有 $x\in \mathbb {R}$。$\blacksquare$

您可以在這裡找到定義的回顧 這裡（函式的定義和解釋）。

母函式的截距和拐點

圖 1：$f(x)=|x|$ 在第一象限和第二象限（在 $x$ 軸上方）上繪製，只顯示正的 $y$ 值。

利用前幾節中提供的所有資訊，我們可以推匯出母函式 $f(x)=|x|$ 的圖形。它是偶函式，因此關於 $y$ 軸對稱，因為在 $x=0$ 處有一個 $x$ 截距。最後，因為我們知道定義域和值域，我們知道函式的最小值在 $O(0,0)$ 處，並且我們知道函式的定義，我們可以很容易地證明 $f(x)=|x|$ 的圖形是右側的影像（圖 1）。

從圖形中你應該看到以下內容的總結

• 定義域：$\{x\in \mathbb {R} \}$。
• 值域：$\{y\geq 0|y\in \mathbb {R} \}$。
• 在$O(0,0)$處有一個絕對最小值。
• 在$x=0$處有一個$x$軸截距。
• 在$y=0$處有一個$y$軸截距。
• 該影像是偶函式，關於$y$軸對稱。
• 該影像是非單射且非滿射的。
• 該影像沒有拐點。

母函式的變換

很多時候，人們不會使用母函式。該函式在現實生活中許多應用中都涉及對輸入或輸出至少進行一些操作：垂直拉伸/壓縮、水平拉伸/壓縮、關於$x$軸的反射、關於$y$軸的反射以及垂直/水平平移。幸運的是，對這些函式進行操作時，變化並不大。例外情況將在後面詳細介紹。

垂直擴張/壓縮/翻轉

設$f(x)=|x|$ 且 $g(x)=A\cdot f(x)$。必須存在一個$\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0},Ay_{0}\right)\in g(x)$。因此，

• 如果$A>1$，則$g(x)$ 是$f(x)$ 的$A$ 倍擴張。
• 如果$0<A<1$，則$g(x)$ 是$f(x)$ 的$A$ 倍壓縮。
• 如果 $A<0$，那麼 $g(x)$ 是 $f(x)$ 關於 $x$ 軸的反射。

垂直平移

令 $f(x)=|x|$ 且 $g(x)=f(x)+b$。一定存在一個 $\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0},y_{0}-b\right)\in g(x)$。因此，

• 如果 $b>0$，那麼 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向上平移了 $b$。
• 如果 $b<0$，那麼 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向下平移了 $b$。

水平平移

令 $f(x)=|x|$ 且 $g(x)=f(x+a)$。一定存在一個 $\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0}-a,y_{0}\right)\in g(x)$。因此，

• 如果 $a>0$，那麼 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向左平移 $a$ 個單位。
• 如果 $a<0$，那麼 $g(x)$ 是 $f(x)$ 向右平移 $a$ 個單位。

以上未列出的性質是本章函式通用規則的例外 函式代數。這些例外並不重要。我們之前普遍發現的內容與我們上面提供的內容之間的唯一區別僅僅是我們之前部分中發現的內容的結果。

• 由於函式是偶函式且對稱，所以沒有關於 $y$ 軸的反射。
• 沒有水平伸縮和壓縮，因為它們會產生與垂直伸縮和壓縮相同的結果（稍後會證明這一點）。

我們現在擁有了關於絕對值函式所需的所有資訊。

絕對值函式的影像

本小節絕對不是可選的。你會被明確地問到這些問題，所以理解本節內容是一個好主意。如果你沒有閱讀上一小節，你就不會理解這些內容的意義。

幸運的是，繪製任意函式的基本思想主要取決於你對函式的瞭解。因此，我們可以輕鬆地繪製函式。這些例子應該進一步證實你在 函式代數 中學到的內容。

示例 1.2(a)：繪製以下絕對值函式的影像$f(x)={\frac {1}{2}}|2x+6|-5$ 方法 1：遵循函式代數中的步驟 此方法適用於任何任意函式。然而，對於絕對值函式來說，它並不總是最快的辦法。我們遵循以下步驟。設 $f(x)$ 為母函式，而 $g(x)=Af(ax+b)+c$。 將 $ax+b$ 因式分解，使得 $ax+b=a\left(x+{\frac {b}{a}}\right)$。 將 $f(x)$ 向左/右平移 ${\frac {b}{a}}$ 個單位。 水平壓縮/擴充套件$f\left(x-{\frac {b}{a}}\right)$ 倍$a$. 垂直擴充套件/壓縮/翻轉$f\left(a\left(x-{\frac {b}{a}}\right)\right)$ 倍$A$. 垂直移動$Af\left(a\left(x-{\frac {b}{a}}\right)\right)$ 向上/向下$c$ 個單位。 由於$f(x)={\frac {1}{2}}|2x+6|-5$ 有$A={\frac {1}{2}}$，$a=2$，$b=6$ 以及 $c=-5$，我們可以按照這些步驟得到我們想要的結果。因為這應該是一個複習，我們不會仔細地繪製每個步驟。因此，只顯示最終函式（和紅色母函式）。 方法 3：找到絕對最小值或最大值，繪製一半，反射。 雖然方法 1 對任何任意連續函式都有效，但方法 3 對於構成線性函式的絕對值函式來說是最快的。 首先，我們應該嘗試找到頂點。我們從函式代數知道，唯一影響偶函式頂點位置的是$x-a$ 項和整個函式的垂直移動，$c$。 將絕對值方程改寫成如下形式，將使我們能夠找到函式的頂點。 $f(x)={\frac {1}{2}}|2x+6|-5={\frac {1}{2}}|2(x+3)|-5$ 然後告訴我們頂點在$(-3,-5)$。 然後，這種方法告訴我們繪製斜率。但是，這應該如何運作呢？回顧任意絕對值函式的正式定義 $|g(x)|={\begin{cases}-g(x)&{\text{if}}&x<x_{0}\\g(x)&{\text{if}}&x\geq x_{0}\end{cases}}$ 在上面一般絕對值函式的定義中，$g(x_{0})=-g(x_{0})=0$。這意味著當$x$值對應函式的頂點時，這就是我們限制絕對值函式的方式。 在我們的例子中，$|g(x)|=|2x+6|$，其中$2(-3)+6=0$，所以$x_{0}=-3$。因此我們可以說， :$|2x+6|={\begin{cases}-2x-6&{\text{if}}&x<3\\2x+6&{\text{if}}&x\geq 3\end{cases}}$ 待續。

練習題

答對加分
答錯扣分
忽略問題的係數

對於下面所有給出的問題，$a=-2$ 且 $b=3$。建議大家完成下面所有問題
計算下列表達式的值。

1

$|a|=$

2

$|b|=$

3

$-|a|=$

4

$-|b|=$

5

${\frac {1}{a}}\cdot |b|=$

6

$a\cdot |b|=$

7

$|a-b|=$

8

$|a+b|=$

9

$b-|a|=$

10

$a-|b|=$

11

$\left\vert {\frac {b}{a}}\right\vert =$

12

$b\cdot |a|=$

絕對值性質

13 令 $y=f(x)=|x|$. 下面列出了以下性質。選擇最符合性質描述或如何證明所列性質的定義。

偶函式	非滿射	垂直平移	水平平移
				$\exists b\in \mathbb {R}$ 使得 $f(x)\neq b$.
				$f(x)$ 的值域是 $\{y|y\in \mathbb {R} \wedge y\geq 0\}$.
				$f(x)=f(-x)$.
				如果 $b<0\Leftrightarrow f(x)\neq b$，那麼 $y_{p}=f(x)+b\Rightarrow \{y_{p}\vert y_{p}\in \mathbb {R} \wedge y_{p}\geq b\}$.
				$\left(x_{0},y_{0}\right)\in f(x)\Leftrightarrow \left(x_{0}-a,y_{0}\right)\in f(x+a)$.
				$f(x)$ 是多對一函式。

絕對值方程

現在，假設我們給出了方程 $\left\vert k\right\vert =8$，並要求我們解出 $k$。哪個數字可以滿足方程 $\left\vert k\right\vert =8$？ 8 可以，-8 也可以。這就是為什麼一個方程可以有兩個解的原因。這是為什麼呢？ 下一個例子將解釋這一點。

例 2.0(a)：正式定義以下函式$f(k)=|2k+6|$ 回顧絕對值的含義：它表示該數字到起始點（內函式為零的點）的左側或右側的距離。回憶絕對值函式的正式定義 $f(x)=|x|={\begin{cases}-x{\text{ if }}x<0\\x{\text{ if }}x\geq 0\end{cases}}$ 我們想要正式定義函式 $f(k)=|2k+6|$。令 $x=k$ 首先，我們需要找到 $2k+6=0$ 的位置。 $2k+6=0$ $\Leftrightarrow 2k=-6$ $\Leftrightarrow k=-3$ 由此可以確定以下結論是正確的 $f(k)=|2k+6|={\begin{cases}-(2k+6){\text{ if }}k<-3\\2k+6{\text{ if }}k\geq 3\end{cases}}$

瞭解如何進行此操作非常重要，這樣我們就可以在本節中正式應用演算法。目前，我們將探索基於給定示例解決這些函式的方法，包括正式化演算法，我們將在後面提供。

例 2.0(b)：解出 $k$$|2k+6|=8$ 由於我們在例 0中正式定義了該函式，因此我們將把該定義寫下來。 $f(k)=|2k+6|={\begin{cases}-(2k+6){\text{ if }}k<-3\\2k+6{\text{ if }}k\geq -3\end{cases}}$ 重要的是要理解方程的含義：“存在一個函式 $y=f(k)$ 等於 $y=8$ 使得 $\exists k\in \mathbb {R}$。”正如引言中定義的那樣，以下函式是非單射且非滿射的。因此，必須存在一個 $k_{1}{\text{ and }}k_{2}$ 使得它滿足 $f(k)=8$。因此，以下必須成立 $2k+6=8\quad {\text{AND}}\quad -(2k+6)=8$. 剩下的就是對每個給定情況的 $k$ 求解這兩個方程，這些方程將根據其正負情況進行區分 負數情況 $-(2k+6)=8$ $\Leftrightarrow 2k+6=-8$ $\Leftrightarrow 2k=-14$ $\Leftrightarrow k=-7$ 正數情況 $2k+6=8$ $\Leftrightarrow 2k=2$ $\Leftrightarrow k=1$ 我們找到了 $k$ 的兩個解 $k=-7,1\blacksquare$

上面的例子展示了一種演算法，這種演算法通常在高中和許多大學中教授，因為它適用於每個絕對值方程。現在將說明該演算法的步驟。 給定 $|g(x)|+c=f(x)$

1. 將絕對值函式隔離，使其等於另一個函式，或 $|g(x)|=f(x)-c$.
2. 寫出方程，以便將複合函式解成兩個這樣的情況。 給定 $|g(x)|=f(x)-c$,

• 解出 $g(x)=f(x)-c$ 和
• 解出 $g(x)=-(f(x)-c)$.

解這些絕對值方程的基本原則是需要將絕對值單獨保留。對於大多數人來說，這已經足夠理解了，但這種說法對一些學生來說可能有點模糊。因此，這裡可能需要很多練習題。我們將把所有步驟應用於上面概述的演算法，而不是透過正式求解這些方程的過程，因為示例 1旨在表明該演算法是正確的。

示例 2.0(c): 解出 $k$$3|2k+6|=12$ 我們將向您展示兩種求解此方程的方法。第一種是標準方法，第二種將向您展示一些通常不教的內容。 標準方法：用其倒數乘以常數倍數。 我們必須將兩邊都除以 $3$，以便將絕對值單獨保留。我們將使用與第一個示例中類似的推理設定兩個不同的方程 $2k+6=4\quad {\text{OR}}\quad 2k+6=-4$. 然後，我們將透過從兩邊減去 6 並將兩邊除以 2 來解出，以便將 $k$ 單獨保留，得到 $k=-5,-1$. 我們將把求解部分留給讀者作為練習。 另一種方法：“分配”三到絕對值中。 請密切注意此處列出的步驟和推理，因為這種方法可行的原因與使用這種技巧的人一樣重要，如果不是更重要的話。讓我們首先概括一下問題。設有一個正非零常數倍數 $c$ 乘以絕對值方程 $|2k+6|$ $c\cdot |2k+6|=|c|\cdot |2k+6|\quad {\text{OR}}\quad c\cdot |2k+6|=|-c|\cdot |2k+6|$. 假設這兩個式子都成立。如果兩個式子都成立，那麼你就可以將正常數 $c$ 分配到絕對值符號內。否則，這種方法就是錯誤的！ ${\begin{aligned}|c|\cdot |2k+6|&=|c(2k+6)|&\qquad |-c|\cdot |2k+6|&=|-c(2k+6)|\\&=|2ck+6c|&\qquad &=|-2ck-6c|=|-(2ck+6c)|\\&=|1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}&\qquad &=|-1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}\end{aligned}}$ 注意這兩個方程式用紅色突出顯示的答案相同，這意味著只要常數倍數 $c$ 的值是正的，你就可以將 $c$ 分配到絕對值符號內。然而，這種“分配律”需要一個前提：兩個絕對值的乘積等於乘積的絕對值。我們需要先證明這一點，才能在證明中使用它。對於發現這個錯誤的學生來說，你可能擁有良好的邏輯思維能力，或者對細節有敏銳的觀察力。 證明$|b|\cdot |c|=|bc|$ 從我們已知的內容開始 $|x|={\begin{cases}x,&{\text{if}}&x\geq 0\\-x,&{\text{if}}&x<0\end{cases}}$ 如果 $a<0$，那麼 $|a|=-a\geq 0$。否則，如果 $a\geq 0$，那麼 $|a|\geq 0$. 令 $b,c\in \mathbb {R}$，$|b|=B$，$|c|=C$，並且 $b\cdot c=m$。以下三種情況適用 $bc=m<0\Rightarrow |m|=-m>0$。這僅僅意味著對於一些乘積 $bc$ 等於一個負數 $m$，該乘積的絕對值為 $-m$，即該乘積到零的距離。因為 $m<0$，將兩邊乘以 $-1$ 將會把小於號變成大於號，或者 $m<0\Leftrightarrow -m>0$。 $bc=m=0\Rightarrow |m|=m=0$。對於一些乘積 $bc$ 等於一個數 $m=0$，該乘積的絕對值為 $0$。 $bc=m>0\Rightarrow |m|=m>0$。對於一些乘積 $bc$ 等於一個正數 $m$，該乘積的絕對值為 $m$。 鑑於 $|bc|=|m|$ 總是會得到一個正數（和零），我們可以得出結論，該函式等價於以下函式 $|b\cdot c|=|m|={\begin{cases}m,&{\text{if }}m\geq 0\\-m,&{\text{if }}m<0\end{cases}}$ 令 $|b|\cdot |c|=B\cdot C=n$。因為 $|b|=B>0$ 且 $|c|=C>0$，$B\cdot C=n>0$。這意味著 $n=|n|$。因此，$|b|\cdot |c|=|n|$。這使我們得出結論： $|b|\cdot |c|=n=|n|={\begin{cases}n,&{\text{if }}n\geq 0\\-n,&{\text{if }}n<0\end{cases}}$ $|bc|=|m|$ 意味著 $bc\geq 0\vee bc<0$。但是，$|b|\cdot |c|=n$ 其中 $n=|n|$。我們已經證明了 $\forall b,c\in \mathbb {R}$，我們總是會看到 $|bc|>0$ 並且 $|b|\cdot |c|>0$。此外，我們已經知道 $|x|>0$，這意味著即使 $x<0$，$|x|>0$。因此，$|m|=n=|n|$. 因此，$\forall b,c\in \mathbb {R}$，$|b|\cdot |c|=|bc|\blacksquare$. 這個證明的一個好處是我們可以用它來推斷任何函式乘以另一個函式的結果將是絕對值內函式的乘積。我們只需要假設它等於某個其他函式，而不是某個其他數字，正如這個證明中隱含的那樣。唯一需要做的改變就是簡單地將所有變數定義為函式。 透過確認一般情況，我們可以在再次遇到這種技巧時使用它。讓我們將此屬性應用於原始問題（這給了我們下面綠色的結果） $3|2k+6|={\color {green}|6k+18|=12}$ 這都意味著 $6k+18=12\quad {\text{OR}}\quad 6k+18=-12$. 從那裡，簡單的代數運算將表明原始問題的答案再次是 $k=-5,-1$.

讓我們稍微改變一下前面的問題，使常數倍數變為負數。在不改變其他內容的情況下，結果會是什麼？讓我們來看看。

例 2.0(d)：解出 $k$$-4|2k+6|=8$ 我們將嘗試用兩種不同的方法解決這個問題：標準方法和其他方法，我們將在後面解釋。 標準方法：用其倒數乘以常數倍數。 像前一個問題一樣進行除法，所以方程將變成這樣：$|2k+6|=-2$。回憶一下絕對值代表什麼：它是一個數字到起點零的距離，無論是在左邊還是右邊。透過這一點，你注意到什麼奇怪的東西了嗎？當你計算絕對值時，你總是會得到一個正數，因為距離必須始終為正數。因為這意味著邏輯上不可能的情況，所以存在沒有真實解。請注意，我們明確地提到了“真實”解。這是因為我們確信實數集 $\mathbb {R}$ 中不存在解。然而，可能存在一些集合，它們對這種型別的方程有解。由於這種可能性，我們需要在數學上嚴格並明確地說明“沒有實數解”。 其他方法：“分佈”絕對值中的常數倍數。 在這裡，我們注意到常數倍數 $c<0$。問題是，不存在這樣的 $g$，使得 $|g|<0$。這種情況只有在 $-|g|<0$ 時才成立，因為 $-|g|<0\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|g|>0$ 利用這個性質，我們只能將常數倍數分佈為 $|c|$，並在絕對值之外乘以負 $-1$ 作為因子。因此， $-4|2k+6|=-|8k+24|=8\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|8k+24|=-8$ 似乎其他方法讓我們將一個常數乘以它的逆數，分別作用於等式兩邊。無論哪種方式，這種“其他方法”仍然給了我們相同的答案：沒有實數解。

這次的問題會有點不同。請記住我們一直在所有示例中牢記的原則，並且要小心，因為這個問題設定了一個陷阱。

例 2.0(e)：解出 $x$$|3x-3|-3=2x-10$ 有很多方法可以嘗試找到這個問題的解。我們將用標準方法來做，並允許任何學生以他們想要的方式來做。 $|3x-3|-3=2x-10\qquad {\text{Add the }}3{\text{ to both sides.}}$ $|3x-3|=2x-7$ 由於絕對值已被隔離，我們可以從通用步驟開始。假設 $2x-7>0$，我們可以開始列出這兩個方程 (1) $3x-3=2x-7$ (2) $3x-3=-(2x-7)$ 這些方程僅在 $2x-7>0$ 時才成立。現在，假設此條件為真。讓我們求解每個方程的 $x$ 方程 (1) $3x-3=2x-7\qquad {\text{Add }}3{\text{ and subtract }}2x{\text{ on both sides.}}$ $x=-4$ 方程 (2) $3x-3=-(2x-7)\qquad {\text{Distribute }}-1{\text{.}}$ $3x-3=-2x+7\qquad \quad {\text{Add }}3{\text{ and add }}2x{\text{ on both sides.}}$ $5x=10\qquad \qquad \qquad \quad {\text{Divide }}5{\text{ on both sides.}}$ $x=2$ 我們得到了方程的兩個潛在解。嘗試根據你目前對這個問題的瞭解，回答為什麼我們說它們是潛在的。 為什麼我們說我們有兩個潛在解？ 因為我們必須假設 $2x-7>0$ 且 $|3x-3|=2x-7$ 對給定的 $x$ 成立。 因此，我們必須驗證這些方程的解是否存在。所以，讓我們將這些值代入方程 $|3(-4)-3|=2(-4)-7$. 注意到等式右邊是負數。同時，等式左邊和右邊並不相等。因此，這不是一個解。 $|3(2)-3|=2(2)-7$. 注意到等式右邊仍然是負數。同時，等式左邊和右邊並不相等。因此，這也不能是一個解。 這個方程有 **沒有實數解**。更具體地說，它有 **兩個無關解**（也就是說，我們找到的解在將它們代回原方程後無法滿足等式性質）。

儘管我們按照從第一個問題開始的步驟進行，我們還是得到了兩個無關解。這不是步驟本身的錯誤，而是方程本身的一個簡單結果。因為等式左邊必須始終為正數，所以這意味著等式右邊也必須為正數。除此之外還有一個限制條件，那就是兩邊在只給出正值的情況下可能不相等。這完全是關於函式性質的問題。

**示例 2.0(f)**：求解 $a$$6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|$ 這裡需要用到我們學過的一切性質，所以希望你沒有跳過任何東西。如果我們知道我們將在這個問題中使用的性質，這將使我們的生活更容易。 $6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|\qquad {\text{Distribute, so to speak, the constant terms.}}$ $\left\vert 5a+{\frac {1}{2}}\right\vert =|9a+9|$ 看第二個方程可能是第一個發現荒謬之處。然而，應用絕對值的根本性質就足以解決這個問題。 (3) $5a+{\frac {1}{2}}=|9a+9|$ (4) $5a+{\frac {1}{2}}=-|9a+9|$ 一次剝開一層問題。對於這個問題，我們將根據方程的來源對它們進行分類；這應該可以解釋破折號：3-1 是從 (3) 中推匯出來的第一個方程，例如。 (3-1) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (3-2) $9a+9=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ (4-1) $-(9a+9)=5a+{\frac {1}{2}}$ (4-2) $-(9a+9)=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ 我們可以證明一些方程是等價的。例如，(3-1) 和 (4-2) 是等價的，因為將 (4-2) 兩邊除以 $-1$ 可以得到 (3-1)。此外，(3-2) 和 (4-2) 是等價的（將方程 (4-2) 兩邊乘以 $-1$）。在確定所有等價的方程後，將 $-1$ 分配到相應的括號中。 (5) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (6) $9a+9=-5a-{\frac {1}{2}}$ 現在剩下的就是解方程。我們將此步驟留作讀者的練習。有兩個可能的解：$a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}$。剩下的就是驗證當看這些特定的 $a$ 值時，問題中的方程是否成立。 $a=-{\frac {19}{28}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {19}{28}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {19}{28}}\right)+9\right\vert$ 為真。兩邊得到相同的值：${\frac {81}{8}}=10.125$。 $a=-{\frac {17}{8}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {17}{8}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {17}{8}}\right)+9\right\vert$ 為真。兩邊得到相同的值：${\frac {81}{28}}\approx 2.893$。 因為兩個解都是真，所以這兩個解是 $a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}\blacksquare$。

絕對值方程在現實世界中非常有用，通常用於建模。我們將介紹一個標準建模問題的示例，然後介紹一個在幾何學中的不尋常應用（示例 WIP）。

示例 2.0(g)：窗戶安裝 問題：阿爾弗德想要安裝一個窗戶，使窗戶的長度變化為房間長度的 70%。房間高 45 英尺，長 70 英尺。如果居中的窗戶佔據了整個牆壁的垂直高度 (a) 不包括窗戶的牆壁最大表面積是多少？ (b) 假設房間有一個矩形的$\displaystyle 70\times 30$ 底部和屋頂，並且這種窗戶設計重複房間的所有側面（除了兩個門側），那麼房間內部不包括窗格的表面積是多少？ 答案: (a) $\displaystyle 945{\text{ ft}}^{2}$ (b) $\displaystyle 13,440{\text{ ft}}^{2}$ 解釋: 這道題最難的部分是試圖理解情況。一旦學生理解了所提出的問題，其餘步驟大部分都很簡單。 我們將使用用於解決許多線性方程文字題的程式，因為它可以幫助我們將大量資訊壓縮成更“小塊”的東西。 列出有用資訊（可選第二步，或必要的第一步）。 畫圖（可選第二步，或必要的第一步）。 根據列表查詢解決問題的工具。 建立並求解方程。 圖 3：對於一個$\displaystyle 70\times 45{\text{ ft}}^{2}$ 的牆壁，如果窗戶的長度是房間長度的 70%，那麼不包括窗戶的牆壁的最大面積是多少？ 我們將使用這些步驟來完成專案 (a) 和 (b)。 首先，我們將列出如下資訊 窗戶的長度變化為房間長度的 70%。 房間高 45 英尺。 房間長 70 英尺。 窗戶佔據了整個牆壁的垂直高度。 窗戶根據牆壁的長度居中（由前一項確定）。 房間有一個矩形的底部$\displaystyle 75\times 35{\text{ ft}}^{2}$ 接下來，根據我們的列表繪製情況。一個好的草圖（圖 3）可以告訴你比列表更多資訊。因此，如果你列出了問題中提供的資訊，則此步驟可能是可選的。這就是為什麼如果你列出了問題中提供的資訊，則此步驟可能是可選的。 從我們的草圖（解決問題的工具）中，我們可以得出求解$x$，牆壁的邊長，的方程。因為絕對值描述了距離（或長度），而我們希望長度是房間長度的 70%，所以我們可以得出這樣的結論 $\displaystyle |70-2x|={\frac {7}{10}}\cdot 70=49$ 由此，我們可以解出方程。 $\displaystyle {\begin{aligned}70-2x&=49&70-2x&=-49&{\text{原始方程}}\\-2x&=-21&-2x&=-119&{\text{等式減法性質}}\\x&={\frac {21}{2}}=10.5{\text{ ft}}&x&={\frac {119}{2}}=59.5{\text{ ft}}&{\text{等式除法性質}}\end{aligned}}$ 在我們的情況下，考慮$\displaystyle x=59.5$ 沒有意義，因為它會導致窗戶的負長度，所以我們拒絕$\displaystyle x=59.5$。在處理文字題時，始終要牢記上下文。 此資訊對於專案 (b) 非常有用。對於 (a) 部分，它要求我們找到不包括窗戶的牆壁側面的面積。這告訴我們牆壁的面積，根據我們的草圖，是 $\displaystyle xh+xh=2xh=2\cdot \left({\frac {21}{2}}\right)\cdot 45=945{\text{ ft}}^{2}$ $\displaystyle \blacksquare$ 專案 (b) 給出了以下資訊，以及我們在 (a) 中找到的資訊 矩形 $\displaystyle 75\times 35$ 底座和屋頂。 無窗的牆壁是 $\displaystyle A=945{\text{ ft}}^{2}$. 兩側沒有窗戶，這意味著牆壁的表面積是 $\displaystyle A=45\times 70=3,150{\text{ ft}}^{2}$ 不會為專案 (b) 提供草圖。在所有資訊都已清除的情況下，我們可以輕鬆找到不包含所有窗戶的表面積。 $\displaystyle S=2\cdot \left(75\times 35{\text{ ft}}^{2}\right)+2\cdot \left(945{\text{ ft}}^{2}\right)+2\cdot 3,150{\text{ ft}}^{2}=13,440{\text{ ft}}^{2}$ $\displaystyle \blacksquare$

下一個問題通常需要一些三角學才能輕鬆解決。但是，如果有一個額外的資訊，就可以使用絕對值屬性來解決以下問題。

示例 2.0(h)：鋪設屋頂（改編自 三角學書籍 1） 圖 2：屋頂的平面圖如上圖所示。我們想僅使用所給的圖形來找到圖形的面積，而絕對不使用三角學。 一位工程師計劃建造一個屋頂，其 $\displaystyle 30$ m. 的框架底座和 $\displaystyle 100$ m. 的周長。屋頂坡度與底座的夾角為 $\displaystyle \theta$。斜面是全等的。提供了斜屋頂的參考影像（圖 2）（沒有笛卡爾平面）。已知三角形的面積是 $\displaystyle {\frac {1}{2}}bh$，距離公式是 $\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$，求屋頂三角形橫截面的面積。 答案 $A=474.342{\text{ m}}^{2}$ 圖 3 解釋 以下問題要求您思考什麼是不會改變的，以便成功確定哪種情況可以讓以下所有情況都成為可能。在討論這個稍微違反我們的演算法的問題中的一個區別之前，我們將首先將我們的問題解決步驟應用到這個問題上。我們將首先繪製它。 繪製 我們可以從圖 3 中獲得大量資訊。 $a>0$ $b>0$ $c<0$ $f(x)=-a|x|$；具體來說，$f(b)=-a|b|=c$ 和 $f(b)=-a|-b|=c$. $d={\sqrt {15^{2}+\left(f(b)\right)^{2}}}$ $b=15$，因為根據上述距離公式，$\Delta x=15$ 對於 $d$。 $a,b,c$ 的值是常數。高度 $h=c$ 是常數，底邊長度也是常數，因此 $a,b$ 也是常數。 工具查詢 我們的圖紙幫助我們獲得了大量資訊。已知周長為 $100{\text{ m}}$，這意味著距離是 ${\begin{aligned}2d+30&=100\\2d&=70\\d&=35{\text{ m}}\end{aligned}}$ 然而，圖 3 告訴我們 $d={\sqrt {15^{2}+\left(f(b)\right)^{2}}}$。因此，根據傳遞性， ${\begin{aligned}{\sqrt {15^{2}+\left(a|b|\right)^{2}}}&=35\\15^{2}+a^{2}b^{2}&=35^{2}&|b|=b{\text{ and }}(ab)^{2}=a^{2}b^{2}\\15^{2}\left(1+a^{2}\right)&=35^{2}&b=15{\text{ and distributive property.}}\\1+a^{2}&={\frac {49}{9}}&{\text{Division property of equality.}}\\a&={\sqrt {\frac {40}{9}}}&{\text{Subtraction and exponent property of equality.}}\end{aligned}}$ 在瞭解垂直收縮後，我們可以確定三角形的高度。然後，我們可以計算面積。 $h=c=15{\sqrt {\frac {40}{9}}}\approx 31.623{\text{ m}}$ 因此，三角形的面積為： $A={\frac {1}{2}}\cdot 15\cdot 15{\sqrt {\frac {40}{9}}}\approx 474.342{\text{ m}}^{2}\blacksquare$

注意我們不需要求解關於$x$ 的特定值，因為這是絕對值方程。對於這個問題，絕對值方程的唯一必要方面是圖形屬性和一些邏輯。從某種程度上來說，這是最簡單的絕對值問題。然而，它所需的創造性彌補了問題的“簡單性”。

練習題

1 $|k+6|=2k$

$k=$

2 $|7+3a|=11-a$

$a\in \{$ , $\}$

3 $|2k+6|+6=0$

有多少個解？

絕對值不等式

需要注意的是，任何函式都可以小於任何其他函式。例如，$2x-5<54-13x$ 對於 $x<{\frac {59}{13}}=3+{\frac {14}{15}}$ 具有任何解。只要 $x$ 的值在這個範圍內，函式 $2x-5$ 小於 $54-13x$ 的輸出。$f(x)=|x|$ 的不等式代數需要更多的演示才能理解。雖然我們使用的這些方法不會被證明，但我們的例子和解釋應該能很好地直觀地理解絕對值不等式的求解方法。

示例 3.0(a): $|10-20x|<50$ 首先，讓我們使用上一節中演示的方法來簡化以下表達式（將絕對值內部的表示式進行因式分解，並將常數項移出）。請記住，由於我們正在改變檢視方程的 sides，50 現在位於左側而不是右側，我們還必須“翻轉”不等式以與原始方程保持一致。 ${\begin{aligned}50&>|10-20x|\\&>|10\cdot (1-2x)|\\&>10\cdot |1-2x|\end{aligned}}$ 從這裡開始，應該很容易看出 $|1-2x|<5$ 讓我們進一步分析這種情況。 上述等式表示 $y=|1-2x|$ 小於函式 $y=5$。 我們需要確保內部值小於五。 因為絕對值描述了距離，所以函式有兩個現實。 設 $A(x)=|1-2x|$ $A(x)=|x|={\begin{cases}1-2x,&{\text{if}}&x\geq {\frac {1}{2}}\\-(1-2x),&{\text{if}}&x<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ 因為函式 $A(x)$ 有兩部分， 我們希望每部分都小於 5， $1-2x<5$ 以及 $-(1-2x)<5$ 我們將在下一個示例中演示更常見的程式。 現在，這種直覺應該開始形成代數分析的想法。 我們將先解決左側，然後解決右側的情況。 求解 $x$ 在 $|1-2x|<5$ 中。 左側情況: $1-2x<5$ 回想一下，將兩邊乘以負因子需要我們“翻轉”不等式。 因此，求解 $x$ $\Leftrightarrow x>-2$ 右側情況: $-(1-2x)<5$ $\Leftrightarrow 1-2x>-5$ $\Leftrightarrow x<3$ 我們發現了一種可能的數值分佈，使得以下方程成立，其中 $|2x-5|<5$，並且對於 $x$ 在 $-2$ 和 $3$ 之間（不包含端點）的數值範圍內。

以上示例是對求解不等式原理的一種直觀解釋。從技術角度來說，我們可以證明為什麼我們必須以這種方式對絕對值不等式進行“操作”（執行上述步驟）。然而，這會過於技術化，並涉及大量的泛化，可能會使學生感到困惑，而不是啟發。如果學生認為挑戰值得，那麼他們可以嘗試證明我們推匯出的步驟。這被認為是標準程式（根據許多高中教材）。

1. 簡化，直到只留下“絕對值符號內的表示式”。
2. 透過取絕對值符號內的表示式，並根據不等式關係，得到“左側”的值；對於“右側”方程，取絕對值符號內的相同表示式，將相關項取反並翻轉不等式符號，然後求解。
3. 將 $x$ 重寫為必要的符號形式。

雖然該過程可能看起來很複雜，但實際上我們只是試圖儘可能地將演算法具體化。實際上，我們將展示將此演算法應用於上述問題的簡易性。

例 3.0(a) (重複): $|10-20x|<50$ 讓我們直接跳到最簡化的形式。 $|1-2x|<5$ 現在讓我們應用上述演算法。 $1-2x<5$ 和 $1-2x>-5$（注意，對於右側方程，我們取反並翻轉不等式符號）。 然後，我們將求解。 求解 $x$ 在 $|1-2x|<5$ 中。 左側情況: $1-2x<5$ 回想一下，將兩邊乘以負因子需要我們“翻轉”不等式。 因此，求解 $x$ $\Leftrightarrow x>-2$ 右側情況: $1-2x>-5$ $\Leftrightarrow x<3$

該過程存在兩個可能的原因。首先，它使我們能夠快速求解“右側”方程中的 $x$，而無需進行求解 $x$ 所需的兩倍的乘法次數（減少了我們翻轉不等式符號的次數）。其次，它使我們能夠更多地關注絕對值方程背後的概念（符號內的值將為正，因此，我們希望找到所有能夠找到所有可能解的值）。

不過，請記住我們是透過應用絕對值的函式定義來找到該過程的。實際上，我們對絕對值方程做了完全相同的事情。該演算法在應用於不等式時的唯一區別在於，不等式透過引入一個新的概念來“複雜化”非單射絕對值函式。透過找到兩個解，我們為 $x$ 的值提供了兩個可能的範圍。

希望這個例子能夠進一步闡明許多高中生認為在求解絕對值不等式和等式時是“黑魔法”的部分。接下來的例子應該只會希望進一步鞏固所學概念。請記住，如果有人不喜歡上面重複示例中介紹的演算法，他們完全可以使用其他演算法。多選的優點是可以使用任何方法，只有答案的正確性會被考慮。

例 3.0(b): $15x-|12x+10|>13x$ 解釋稍後給出

例 3.0(c): $\left\vert {\frac {5}{12}}x-87\right\vert \leq 100$ 解釋稍後給出

例 3.0(d): $15x-|12x+10|>13x$ 解釋稍後給出

示例介紹稍後給出。

例 3.0(e): 可變溫度問題 問題：在沒有空調的情況下，房間的夏季平均溫度約為$21^{\circ }{\text{C}}$。 溫度變化取決於周圍環境的溫度條件。 沒有空調，溫度與平均值的最高變化是$4^{\circ }{\text{C}}$。 當空調開啟時，房間的溫度是時間的函式$t$（以小時為單位），由$C(t)=-{\frac {3}{2}}t+20$給出。 溫度的最大偏差不應超過$5^{\circ }{\text{C}}$。 (a) 寫出分別表示房間在沒有空調和有空調的情況下溫度的方程式。 (b) 確定夏季房間沒有空調的最低溫度值。 (c) 空調必須在什麼時間停止執行，才能使溫度最多下降$5^{\circ }{\text{C}}$？ 答案: (a) $|T-20|\leq 4$ 以及 $\left\vert {\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$。 (b) $T_{min}=16^{\circ }{\text{C}}$。 (c) $3{\tfrac {1}{3}}$ 小時。 解釋：在處理文字問題時，最好將問題改寫為代數或“圖示”形式（即畫出問題）。 你也可以同時使用這兩種方法，正如我們很快就會做的那樣。 溫度變化情況 畫出情況的圖片（更準確地說是草圖）的好處是能夠更容易地解釋情況。 畢竟，我們都是視覺型的人，所以看圖片比看文字更容易理解。 幾何的直觀性也有利於代數解釋。 讓我們重新閱讀沒有空調的情況。 "沒有空調，溫度與平均值的最高變化是$4^{\circ }{\text{C}}$。" 這給了我們很多資訊。 我們知道$T_{\text{max}}=T_{\text{avg}}+4$ 以及 $T_{\text{min}}=T_{\text{avg}}-4$，因此為了將其保留為一個單獨的方程式，最好將其寫成絕對值方程式。 對於這種情況， (8) $|T-20|\leq 4$ 瞭解為什麼這是真的非常重要。回想一下絕對值表示內部值的距離。如果$0$是參考點，那麼為了從$20$得到$0$，你需要從當前值$T$中減去20。因此，這個等式是正確的。現在讓我們看看空調的情況。 “當空調開啟時，房間的溫度是一個以時間為自變數的函式，由$C(t)=-{\frac {3}{2}}t+20$給出。溫度的最大偏差應該不超過$5^{\circ }{\text{C}}$。” 根據句子的措辭，溫度$T=C(t)$是基於時間的，溫度最多隻能比平均溫度高$5^{\circ }{\text{C}}$。根據與等式（8）相同的邏輯， (9) $|C(t)-20|\leq 5$ 等式（9）保持相同形式，以顯示這兩個等式的相似性，並與設定文字的措辭更加相關。使用傳遞性，可以進一步簡化等式以得到 (10) $\left\vert -{\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$ 回想一下$|(-1)x|=1\cdot |x|$，其中$c=-1$。由於這個性質，可以進一步簡化等式以得到部分（a）的最終等式 (11) $\left\vert {\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$ 這充分回答了專案（a），這可能是問題中最難的部分。但是，有了得到的兩個等式，（8）和（11），我們可以回答專案（b）和（c）。讓我們用我們對問題的理解重新閱讀部分（b）和（c） “確定夏季沒有空調時房間的最低溫度值。” 本質上，這是要求考生使用（8）找到$T_{\text{min}}$的值。之前的例子應該已經幫助你準備瞭解決絕對值不等式。 在$|T-20|\leq 4$中求解$T$。 正數情況: $T-20\leq 4$ $\Leftrightarrow T\leq 24$ 負數情況: $T-20\geq -5$ $\Leftrightarrow T\geq 16$ 由於問題要求的是環境溫度房間的最小溫度值，$T_{min}$，這裡正確的答案是$T_{min}=16^{\circ }{\text{C}}$。請記住，由於問題的措辭（“最多”意味著小於或等於），我們可以在此處使用等號。另外，請始終記住在文字問題中新增單位。 “空調必須在什麼時間停止，才能使溫度下降最多$5^{\circ }{\text{C}}$？” 從本質上講，這要求考生使用最簡化的方程式，即方程式（10），找到時間$t$（以小時為單位）的值。 在$\left\vert {\frac {3}{2}}t\right\vert \leq 5$中解出$t$。 正數情況: ${\frac {3}{2}}t\leq 5$ $\Leftrightarrow t\leq {\frac {10}{3}}$ 負數情況: ${\frac {3}{2}}t\geq -5$ $\Leftrightarrow t\geq -{\frac {10}{3}}$ 由於實際上只考慮正數情況（我們只關注時間$t\geq 0$），空調允許的最大時間是$t={\frac {10}{3}}=3{\tfrac {1}{3}}$小時。

課程回顧

絕對值（用 | 表示）表示數字在數軸上與 0 的距離。這實際上使負數變為正數，而正數保持不變。要解涉及絕對值的方程，必須將絕對值單獨放在一邊，並將其設定為另一邊的正負值，因為這是絕對值可以輸出的兩個解。但是，請檢查最後得到的解；有些可能在右側產生負數，這是不可能的，因為絕對值符號的所有輸出都是正數！

課程測驗

計算每個表示式。

1

$|-4|=$

2

$|6-8|=$

解方程求 $a$ 的值。對於無解的方程，在兩個輸入框中或右側輸入框中輸入 NS（區分大小寫）。對於任何代入方程後不成立的**無意義解**，在右側輸入框中或兩個輸入框中輸入 XS（區分大小寫）。將解從小到大排列。

3 $|3a-4|=5$

$a\in \{$ $,$ $\}$

4 $5|2a+3|=15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

5 $3|4a-2|-12=-3$

$a\in \{$ $,$ $\}$

6 $|a+1|-18=a-15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

7 $2\left\vert {\frac {a}{2}}-1\right\vert -2a=-4a$

$a\in \{$ $,$ $\}$

閱讀以下情景，然後回答所給的提示或問題。對於無解的方程，在兩個輸入框中或右側輸入框中輸入 NS（區分大小寫）。對於任何代入方程後不成立的無意義解，在右側輸入框中或兩個輸入框中輸入 XS（區分大小寫）。將解從小到大排列。

8 附近河流的水流速度與平均速度 $20{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$ 相差 $1.5{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。設 $s$ 代表河流的速度。選擇**所有**可能描述該情景的方程。

	$|s-1.5|=20$
	$|s+1.5|=20$
	$|20-s|=1.5$
	$|s-20|=1.5$
	$|s+20|=1.5$
	$|1.5-s|=20$

9 一條水平人工河的平均速度為 $-4{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。速度與阻擋水流的岩石質量 $r$（以千克為單位）成正比。假設這條河當天速度最多偏離 $6{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。如果比例常數為 $k={\frac {2}{5}}$ 米每千克秒，當天河裡的岩石最大質量是多少？

	$5$ 千克。
	$15$ 千克。
	$25$ 千克。
	$35$ 千克。