微積分/複分析

複分析是研究復變數函式的學科。複分析是某些領域（例如電力工程等）中廣泛使用且強大的工具。

在我們開始之前，您可能需要回顧一下 複數

複數

複數

複函式

復變數函式是能夠取複數值（以及嚴格實數值）的函式。例如，假設 f(z) = z²。該函式在複數 z 與其平方 z² 之間建立了對應關係，就像實變數函式一樣，但使用複數。請注意，對於 f(z) = z²，如果 z 是嚴格實數，則 f(z) 將是嚴格實數。

通常我們可以將函式 f(z) 寫成 f(z) = f(x+iy) = a(x,y) + ib(x,y) 的形式，其中 a 和 b 是實值函式。

極限與連續性

與實值函式一樣，我們也對復值函式有了極限和連續性的概念 - 我們通常的δ-ε 極限定義

$\lim _{z\to w}f(z)=L$ 當且僅當對於每個 $\epsilon >0$，存在一個 $\delta >0$，使得 $|f(z)-L|<\epsilon$ 對所有 $z$ 成立，使得 $0<|z-w|<\delta$.

請注意，ε 和 δ 是實數。這在使用不等式的過程中是隱含的：只有實數是“大於零”的。

這個極限定義和實值函式的定義之間的區別之一是絕對值的含義。這裡我們指的是複數絕對值而不是實數絕對值。另一個區別在於z 接近w 的方式。對於實值函式，我們只關心z 從左側或右側接近w。在複數環境中，z 可以從二維複平面中的任何方向接近w：沿著穿過w 的任何直線，沿著以w 為中心的螺旋線等。

例如，設 $f(z)=z^{2}$。假設我們要證明 $\lim _{z\to i}f(z)=-1$。我們可以將z 寫成 $i+\gamma$，其中我們認為γ 是一個小的複數。然後請注意 $z-i=\gamma$。然後，在我們的定義中，L 為 -1，w 為 i，我們有

$|f(z)-L|=|z^{2}+1|=|(i+\gamma )^{2}+1|=|2i\gamma +\gamma ;^{2}|$

根據三角不等式，最後一個表示式小於

$2|\gamma |+|\gamma |^{2}$

為了使這個表示式小於 ε，我們可以要求

$|\gamma |<{\frac {1}{2}}\min({\frac {\epsilon }{2}},{\sqrt {\epsilon }})$

因此，對於任何 $\epsilon >0$，如果 $\delta ={\frac {1}{2}}\min({\frac {\epsilon }{2}},{\sqrt {\epsilon }})$，並且 $|z-i|<\delta$，那麼 $|f(z)-(-1)|<\epsilon$。因此，當 z 趨近於 i 時，$f(z)=z^{2}$ 的極限為 -1。

微分和全純函式

由於我們定義了極限，我們可以像平常一樣定義複函式的 導數

$\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{f(z+\Delta z)-f(z) \over \Delta z}$

只要這個極限與 Δz 趨近於零的方式無關（因為我們現在在複平面上工作，我們有更大的自由度！）。

如果對於某個值 z 或某些值的集合（一個 區域）存在這樣一個極限，我們稱該函式在該點或區域 全純。連續性和單值性是解析的必要條件；然而，連續性和單值性不足以保證解析性。

許多復值的初等函式具有與實函式相同的導數：例如 D z² = 2z。

習題

根據以上內容，回答以下問題。

1. 從極限定義中求出 z³ 的導數。
2. 將 e^z 寫成 a(x, y)+b(x, y)i 的形式

答案

1. $\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{(z+\Delta z)^{3}-z^{3} \over \Delta z}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}3z^{2}+3z\Delta z+{\Delta z}^{2}=3z^{2},$

2. $\ e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))=e^{x}\cos(y)+e^{x}\sin(y)i\,$

柯西-黎曼方程

我們可能想知道哪些複函式實際上是可微的。看起來全純函式的判據比實函式的可微性判據要嚴格得多，事實也確實如此。假設我們有一個複函式

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\;v(x,y)$,

其中 u 和 v 是實函式。此外，假設 u 和 v 在實數意義上是可微函式。那麼我們可以讓 $\Delta z$ 在可微性定義中，透過僅改變 x 或僅改變 y 來逼近 0。因此，只有當 f 滿足以下條件時，它才能在複數意義上可微

${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.\end{cases}}$

事實上，如果 u 和 v 在實數意義上是可微的，並且滿足這兩個方程，那麼 f 就是全純的。這兩個方程被稱為柯西-黎曼方程。

積分

在單變數微積分中，積分通常是在兩個實數之間計算的

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx$

在實數軸上，從 $x_{1}$ 到 $x_{2}$ 只有一個路徑。然而，在複平面中，在兩點 $z_{0}$ 和 $z_{1}$ 之間有無數條不同的路徑。因此，復積分總是沿著路徑進行，而不是在兩點之間進行。

設 $\gamma$ 是複平面中由 $z:[a,b]\to \mathbb {C}$ 引數化的路徑，設 $f(z)$ 是一個復值函式，則輪廓積分的定義類似於多元微積分中的線積分

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt$

例 設 $f(z)=z$，設 $\gamma$ 是從 0 到 1+i 的一條直線，這條曲線可以用 $z(t)=t(1+i)$ 引數化，其中 $t$ 在 0 到 1 之間變化。現在我們可以計算

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{0}^{1}(t(1+i))(1+i)dt={\frac {(1+i)^{2}}{2}}=i$

注意我們也有

$\int _{\gamma }f(z)dz={\frac {(1+i)^{2}}{2}}-{\frac {0^{2}}{2}}=i$

這表明，復反導數可用於簡化積分的計算，就像實反導數用於計算實積分一樣。

柯西定理

柯西定理指出，如果函式 $f$ 在開集 $\Omega$ 的閉包上是全純的，而 $\gamma$ 是 $\Omega$ 中的一條簡單閉曲線，那麼

$\int _{\gamma }f(z)dz=0$

這可以從格林定理的角度理解，雖然這並不能輕易地得到證明，因為格林定理只在假設 f 有連續的一階偏導數的情況下適用...

輪廓積分

進行積分的輪廓

柯西定理可以用來計算許多瑕積分（瑕積分是指積分割槽間中包含無窮大）。例如，考慮

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\lim _{\epsilon \to 0,R\to \infty }\int _{\epsilon }^{R}{\frac {\sin x}{x}}dx$

因為

$\Im (e^{iz})=\sin z$

我們考慮

$f(z)={\frac {e^{iz}}{z}}$

現在我們對上圖所示的凹半圓形輪廓進行積分。我們對輪廓的每個部分進行如下引數化

$\gamma _{1}(t)=t$, $t\in [-R,-\epsilon ]$

$\gamma _{2}(t)=t$, $t\in [\epsilon ,R]$

$\gamma _{3}(t)=\epsilon e^{it}$, $t\in [0,\pi ]$

$\gamma _{4}(t)=Re^{it}$, $t\in [0,\pi ]$

根據柯西定理，整個輪廓的積分值為零。所以，

$0=\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)dz+\int _{\gamma _{2}}f(z)dz-\int _{\gamma _{3}}f(z)dz+\int _{\gamma _{4}}f(z)dz$

現在我們分別處理這些積分。

$\int _{\gamma _{1}}f(z)dz=\int _{-R}^{-\epsilon }{\frac {e^{iz}}{z}}dz=-\int _{\epsilon }^{R}{\frac {e^{-iz}}{z}}dz$

$\int _{\gamma _{2}}f(z)dz=\int _{\epsilon }^{R}{\frac {e^{iz}}{z}}dz$

回憶複數正弦的定義，

$\int _{\gamma _{1}}f(z)dz+\int _{\gamma _{2}}f(z)dz=\int _{\epsilon }^{R}{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{z}}dz=2i\int _{\epsilon }^{R}{\frac {\sin x}{x}}dx$

現在我們評估另外兩個積分

$\int _{\gamma _{3}}f(z)dz=\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{-\epsilon e^{it}}i\epsilon e^{it}}{\epsilon e^{it}}}dt=i\int _{0}^{\pi }e^{-\epsilon e^{it}}dt$

當 $\epsilon \to 0$ 時，被積函式趨近於 1，所以

$\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{3}}f(z)dz=i\int _{0}^{\pi }dt=\pi i$

第四個積分等於零，但這個有點難證明。它的形式與第三段類似

$\int _{\gamma _{4}}f(z)dz=\int _{0}^{\pi }e^{-Re^{it}}dt$

這個被積函式更難，因為它不一定在任何地方都趨近於零。這個困難可以透過將積分分開來克服，但這裡我們簡單地假設它為零。

結合所有內容，我們現在有

$\int _{\gamma }f(z)dz=0=2i\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx-\pi i$

因此，

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}$

柯西積分公式

柯西積分公式描述了全純函式在一個集合上的行為，該行為基於其在該集合邊界上的行為。 如果$\Omega$ 是一個具有分段光滑邊界的開集，並且 $f$ 在 ${\bar {\Omega }}$ 中是全純的，那麼

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial \Omega }{\frac {f(\zeta )d\zeta }{\zeta -z}}\ \ \ \forall z\in \Omega$

這是一個非凡的事實，在多元微積分中沒有對應的結論。 它表明，如果我們知道全純函式沿著閉曲線的取值，那麼我們也知道它在曲線內部的任何地方的取值。

因為 $z\in \Omega$ 是一個開集，因此對於所有 $\zeta \in \partial \Omega$ 都有 $\zeta -z\neq 0$。 因此，柯西積分公式中的被積函式關於 z 是無限可微的，透過反覆對等式兩邊求導，我們得到

$f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial \Omega }{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -z)^{n+1}}}\ \ \ \forall z\in \Omega ,n\in \mathbb {N}$

這個結果表明，全純性比可微性是一個更強的要求。 在複平面上，如果一個函式在一個開集中只有一個導數，那麼它在這個開集中有無窮多個導數。

柯西定理的推論

柯西定理和積分公式有一些強大的推論

• 冪級數的收斂性 如果一個函式在一個圓盤中是全純的，那麼它的泰勒級數在這個圓盤中收斂。
• 劉維爾定理 如果一個函式在整個 $\mathbb {C}$ 中有界且全純，那麼它等於一個常數。
• 代數基本定理 任何具有復係數的次數大於零的多項式都有一個復根。 這是劉維爾定理的一個簡單推論。
• 函式的相等性 如果兩個函式 $f$ 和 $g$ 在一個連通的開集 $\Omega$ 上是全純的，並且在該集合中的任何圓盤上 $f(z)=g(z)$，那麼對於所有 $z\in \Omega$ 都有 $f(z)=g(z)$。