微積分/極限/解答

基本極限練習

1. $\lim _{x\to 2}[4x^{2}-3x-1]$

由於這是一個多項式，可以直接代入2。這將得到 $4(4)-2(3)-1=16-6-1=\mathbf {9}$

2. $\lim _{x\to 5}x^{2}$

$5^{2}=\mathbf {25}$

3. $\lim _{x\to {\frac {\pi }{4}}}{\Big [}\cos ^{2}(x){\Big ]}$

$\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}=\mathbf {\frac {1}{2}}$

4. $\lim _{x\to 1}{\Big [}5e^{x-1}-5{\Big ]}$

$5e^{1-1}-5=5e^{0}-5=5-5=\mathbf {0}$

單側極限

計算以下極限或說明極限不存在。

5. $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {x^{3}+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}}}$

因式分解為 ${\frac {x^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {x+1}{x+2}}$。在此形式中，我們可以看到在 $x=0$ 處存在一個可去間斷點，並且極限為 $\mathbf {\frac {1}{2}}$

6. $\lim _{x\to 7^{-}}[|x^{2}+x|-x]$

$|7^{2}+7|-7=\mathbf {49}$

7. $\lim _{x\to -1^{+}}{\sqrt {1-x^{2}}}$

${\sqrt {1-x^{2}}}$ 當 $x^{2}<1$ 時有定義，所以極限為 ${\sqrt {1-1^{2}}}=\mathbf {0}$

8. $\lim _{x\to -1^{-}}{\sqrt {1-x^{2}}}$

${\sqrt {1-x^{2}}}$ 當 $x^{2}>1$ 時無定義，所以 **極限不存在**。

9. $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {|x|}{x}}$

如果從左側逼近，則 $|x|=-x$。因此， $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {|x|}{x}}={\frac {-x}{x}}=\mathbf {-1}$

10. $\lim _{x\to 1^{-}}\arcsin(x)$

$\arcsin(x)=\sin ^{-1}(x)$ 在 $x\in \left[-1,1\right]$ 上定義，所以極限為 $\arcsin(1)=\mathbf {\frac {\pi }{2}}$.

雙邊極限

計算以下極限或說明極限不存在。

11. $\lim _{x\to -1}{\frac {1}{x-1}}$

$\mathbf {-{\frac {1}{2}}}$

12. $\lim _{x\to 4}{\frac {1}{x-4}}$

${\begin{aligned}&\lim _{x\to 4^{-}}{\frac {1}{x-4}}=-\infty \\&\lim _{x\to 4^{+}}{\frac {1}{x-4}}=\infty \end{aligned}}$
極限不存在。

13. $\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}$

$\lim _{x\to 2^{-}}{\frac {1}{x-2}}=-\infty$
$\lim _{x\to 2^{+}}{\frac {1}{x-2}}=+\infty$
極限不存在。

14. $\lim _{x\to -3}{\frac {x^{2}-9}{x+3}}$

$\lim _{x\to -3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x+3}}=\lim _{x\to -3}x-3=-3-3=\mathbf {-6}$

15. $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}$

$\lim _{x\to 3}{\frac {(x-3)(x+3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=3+3=\mathbf {6}$

16. $\lim _{x\to -1}{\frac {x^{2}+2x+1}{x+1}}$