微積分/預備微積分/解答

轉換為區間表示法

1. $\{x:-4<x<2\}\,$

$\mathbf {(-4,2)}$

2. $\{x:-{\frac {7}{3}}\leq x\leq -{\frac {1}{3}}\}$

$\mathbf {[-{\frac {7}{3}},-{\frac {1}{3}}]}$

3. $\{x:-\pi \leq x<\pi \}$

$\mathbf {[-\pi ,\pi )}$

4. $\{x:x\leq 17/9\}$

$\mathbf {(-\infty ,{\frac {17}{9}}]}$

5. $\{x:5\leq x+1\leq 6\}$

$4\leq x\leq 5$
$\mathbf {[4,5]}$

6. $\{x:x-1/4<1\}\,$

$x<1{\frac {1}{4}}={\frac {5}{4}}$
$\mathbf {(-\infty ,{\frac {5}{4}})}$

7. $\{x:3>3x\}\,$

$1>x$

$x<1$

$\mathbf {(-\infty ,1)}$

8. $\{x:0\leq 2x+1<3\}$

$-1\leq 2x\leq 2$

$-{\frac {1}{2}}\leq x<1$

$\mathbf {[-{\frac {1}{2}},1)}$

9. $\{x:5<x{\mbox{ and }}x<6\}\,$

這等效於 $5<x<6$
$\mathbf {(5,6)}$

10. $\{x:5<x{\mbox{ or }}x<6\}\,$

畫圖可以幫助確定所描述的數字集

集合中的數字可以位於紅色或藍色線上，因此包含了整個數軸。

$\mathbf {(-\infty ,\infty )}$

使用集合符號表示以下區間

11. $[3,4]\,$

$\mathbf {\{x:3\leq x\leq 4\}}$

12. $[3,4)\,$

$\mathbf {\{x:3\leq x<4\}}$

13. $(3,\infty )$

$\mathbf {\{x:x>3\}}$

14. $(-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}})\,$

$\mathbf {\{x:-{\frac {1}{3}}<x<{\frac {1}{3}}\}}$

15. $(-\pi ,{\frac {15}{16}})\,$

$\mathbf {\{x:-\pi <x<{\frac {15}{16}}\}}$

16. $(-\infty ,\infty )$

$\mathbf {\{x:x\in \Re \}}$

以下哪個陳述是正確的？

17. $|x+y|=|x|+|y|\,$

令 $x=-5,y=5$. 那麼

$|x+y|=|-5+5|=|0|=0$, 以及
$|x|+|y|=|-5|+|5|=5+5=10$
因此，$|x+y|\neq |x|+|y|$

錯誤

18. $|x+y|\geq |x|+|y|$

使用與上面相同的例子，我們有 $|x+y|\ngeq |x|+|y|$.
錯誤

19. $|x+y|\leq |x|+|y|$

正確

評估以下表達式

20. $8^{1/3}\,$

$(2^{3})^{1/3}=2^{1}=\mathbf {2}$

21. $(-8)^{1/3}\,$

$(-2^{3})^{1/3}=-2^{1}=\mathbf {-2}$

22. ${\bigg (}{\frac {1}{8}}{\bigg )}^{1/3}\,$

$({\frac {1}{2^{3}}})^{1/3}=(2^{-3})^{1/3}=2^{-1}=\mathbf {\frac {1}{2}}$

23. $(8^{2/3})(8^{3/2})(8^{0})\,$

$8^{{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{2}}+0}=8^{{\frac {4}{6}}+{\frac {9}{6}}}=8^{\frac {13}{6}}=(2^{3})^{\frac {13}{6}}=\mathbf {2^{13/2}}$

24. ${\bigg (}{\bigg (}{\frac {1}{8}}{\bigg )}^{1/3}{\bigg )}^{7}$

$(({\frac {1}{2^{3}}})^{1/3})^{7}=((2^{-3})^{1/3})^{7}=(2^{-1})^{7}=2^{-7}={\frac {1}{2^{7}}}=\mathbf {\frac {1}{128}}$

25. ${\sqrt[{3}]{\frac {27}{8}}}$