電路理論/卷積積分/示例/example49/Vc

串聯LRC電路...求電阻兩端的電壓

已知電源電壓為 (2t-3t²)，求電阻兩端的電壓。

這是V_c的解。

概述

傳遞函式

$H(s)={\frac {V_{C}}{V_{S}}}={\frac {\frac {1}{0.25s}}{4+s+{\frac {1}{0.25s}}}}$

simplify((1/(s*0.25))/(4 + s + 1/(0.25*s)))

$H(s)={\frac {4}{s^{2}+4s+4}}$

齊次解

solve(s^2 + 4.0*s + 4.0,s)

在s = -2處有兩個相等的根，因此解的形式為

$V_{C_{h}}(t)=Ae^{-2t}+Bte^{-2t}+C_{1}$

特解

長時間連線到單位階躍函式源後，電感器短路，電容器開路。所有壓降都出現在電容器上。電流為零。

$V_{C_{p}}=1$

這也意味著C₁仍然未知。

初始條件

到目前為止，完整的方程為

$V_{C}(t)=1+Ae^{-2t}+Bte^{-2t}+C_{1}$

在 t = ∞ 時，B 項的值是多少？

limit(B*t*exp(-t),t = infinity)

Mupad 說 0。這意味著在 t = ∞ 時

$1=1+C_{1}$

$C_{1}=0$

電容器兩端的初始電壓為 0，因此

$0=1+A+C_{1}$

$A=-1$

串聯支路的初始電流為零，因為假設電感器的初始條件。這意味著 i(0) = 0，因此

$i(t)=C*{dV_{C}(t) \over dt}={\frac {1}{4}}((-2A+B)e^{-2t}-2Bte^{-2t})$

$0={\frac {1}{4}}(-2A+B)$

$B=2A$

$B=-2$

這意味著 i(t) =

$i(t)={\frac {1}{4}}((-2(-1)+(-2))e^{-2t}-2(-2)te^{-2t})=te^{-2t}$

$V_{R}(t)=4*i(t)=4te^{-2t}$

脈衝解

對上述公式求導得到

$V_{R}\delta (t)=4e^{-2t}-8te^{-2t}$

卷積積分

$V_{R}(t)=\int _{0}^{t}(4e^{-2(t-x)}-8(t-x)e^{-2(t-x)})(2x-3x^{2})dx$

f := (4*exp(-2*(t-x)) - 8*(t-x)exp(-2*(t-x)))*(2*x-3*x^2);
S :=int(f,x=0..t)

$V_{R}(t)=8-8e^{-2t}-10te^{-2t}-6t$

由於長時間後 V_R(t) = 0 ... 並且電容開啟，因此不會有任何常數。