電路理論/卷積積分/示例/example49

串聯 LRC 電路... 找出電阻兩端的電壓

已知電源電壓為 (2t-3t²)，求電阻兩端的電壓。

可以專注於 V_r 或者：電流，V_c，或 V_L，然後轉換為 V_r.. 以下是 V_R 的解。

概要

傳遞函式

$H(s)={\frac {V_{R}}{V_{S}}}={\frac {4}{4+s+{\frac {1}{0.25s}}}}$

simplify(4/(4 + s + 1/(0.25*s)))

$H(s)={\frac {4s}{s^{2}+4s+4}}$

齊次解

solve(s^2 + 4.0*s + 4.0,s)

在 s = -2 處有兩個相等的根，所以解的形式為

$V_{R_{h}}(t)=Ae^{-2t}+Bte^{-2t}+C_{1}$

特解

在長時間連線到一個單位階躍函式源之後，電感器短路，電容器開路。所有電壓降落在電容器上。電流為零。

$V{R_{p}}=0$

這也意味著 C₁ 必須為零。

初始條件

到目前為止，完整的方程是

$V_{R}(t)=Ae^{-2t}+Bte^{-2t}$

由於假設的電感器的初始條件，串聯支路的初始電流為零。這意味著 V_R = 0

$V_{R}(0)=0=A$

$A=0$

假設電容器上的初始電壓為零，則沒有電流流動，因此電阻上的壓降為零。

$i(t)={\frac {V_{R}}{4}}$

$V_{L}(t)=L{di(t) \over dt}={\frac {1}{4}}((-2A+B)e^{-2t}-2Bte^{-2t})$

$V_{L}(0)=1={\frac {B}{4}}$

$B=4$

$V_{R}(t)=4te^{-2t}$

脈衝解

對上面求導得到

$V_{R}\delta (t)=4e^{-2t}-8te^{-2t}$

卷積積分

$V_{R}(t)=\int _{0}^{t}(4e^{-2(t-x)}-8(t-x)e^{-2(t-x)})(2x-3x^{2})dx$

f := (4*exp(-2*(t-x)) - 8*(t-x)exp(-2*(t-x)))*(2*x-3*x^2);
S :=int(f,x=0..t)

$V_{R}(t)=8-8e^{-2t}-10te^{-2t}-6t$

由於V_R(t)在長時間後等於0，並且電容開啟，所以這裡不會有常數項。