電路理論/相量/示例/示例 8

用於示例 8的串聯 RL 電路

假設電流源定義為$I_{s}(t)=120{\sqrt {2}}cos(377t+120^{\circ })$，求出所有其他電壓、電流並檢查功率。

標記迴路結點

標記用於分析的串聯 RL 電路

關鍵點在於，即使源在振盪，也不會改變任何東西。 + 和 - 仍然必須捕獲電路拓撲結構並融入方程式中。

已知量，未知量和方程式

已知量：$I_{s},R,L$

未知量：$V_{s},v_{R},v_{L}$

方程式：$v_{R}(t)=R*i(t),v_{L}=L*{d \over dt}i(t),v_{R}(t)+v_{L}(t)-V_{s}(t)=0$

微積分符號

按此順序評估端子關係

$v_{R}(t)=R*i(t)$

$v_{L}=L*{d \over dt}i(t)$

$V_{s}(t)=v_{R}(t)+v_{L}(t)$

微積分數值

RL 電路的相量 MATLAB 解決方案 .... m 檔案

$v_{R}(t)=10*120{\sqrt {2}}cos(377t+{\frac {2\pi }{3}})=1700.0*cos(377.0*t+2.09)$

$v_{L}=.01*{d \over dt}120{\sqrt {2}}cos(377t+{\frac {2\pi }{3}})=-640.0*sin(377.0*t+2.09)$

$V_{s}(t)=v_{R}(t)+v_{L}(t)=1700.0*cos(377.0*t+2.09)-640.0*sin(377.0*t+2.09)$

相量數學避免三角函式！m檔案

現在問題是如何將上面的答案轉換成一種形式，以便與其他答案進行比較，並建立我們的直覺。有三種可能的方法

尤拉

三角函式

相量（從尤拉推導而來）。

這是相量方法。注意數學是在相量域中進行的...使用複數。

$1700cos(377t+2.09)\Leftrightarrow 1700cos(2.09)+j1700sin(2.09)$

$-640sin(377t+2.09)\Leftrightarrow -640*sin(2.09)+j640*cos(2.09)$

現在數字已經在相量世界中了。下一步是將它們全部加起來。

$\mathbb {V} _{s}=1814\angle 2.45$

現在將它放回時域

$V_{s}=1814cos(377t+2.45)$

相量也是微積分的替代方法。

由於在這個微積分解中沒有計算積分，所以沒有積分常數！

相量符號

這個問題可以用拉普拉斯變換來解決，但微積分函式並不複雜。它也可以用相量來解決。問題是“應該使用哪種數學工具？”上面的微積分將答案留在了需要一些三角函式才能恢復到形式的形式

$V_{s}=V_{m}cos(\omega t+\phi )$

相量解使我們能夠接近上述解的形式。

相量解為解決所有電感和電容問題提供了一種統一的方法（一種工具）。我們將在本課程的剩餘部分使用它。

時域

$v_{R}(t)=R*i(t)$

$v_{L}=L*{d \over dt}i(t)$

$v_{R}(t)+v_{L}(t)-V_{s}(t)=0$

相量域

$i(t)\rightarrow \mathbb {I}$

$\mathbb {I} =I_{m}\angle \phi$

$\mathbb {V} _{R}=R*\mathbb {I} =R*I_{m}\angle \phi$

${d \over dt}i(t)\rightarrow j\omega \mathbb {I} =\omega \mathbb {I} \angle {\frac {\pi }{2}}=\omega I_{m}\angle ({\frac {\pi }{2}}+\phi )$

$\mathbb {V} _{L}=jL\omega \mathbb {I} =L*\omega I_{m}\angle ({\frac {\pi }{2}}+\phi )$

$\mathbb {V} _{S}=jL\omega \mathbb {I} +R*\mathbb {I} =(R+jL\omega )\mathbb {I} ={\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}\angle arctan({\frac {L\omega }{R}})*I_{m}\angle \phi$

$\mathbb {V} _{S}=I_{m}*{\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}\angle (arctan({\frac {L\omega }{R}})+\phi )$

回到時域

$V_{s}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} _{s}e^{j\omega t})=I_{m}{\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}cos(\omega t+\phi +arctan({\frac {L\omega }{R}}))$

$v_{L}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} _{L}e^{j\omega t})=I_{m}*L*\omega *cos(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})$

$v_{R}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} _{R}e^{j\omega t})=R*I_{m}cos(\omega t+\phi )$

相量數值

時域

$v_{R}(t)=10*120{\sqrt {2}}cos(377t+{\frac {2*\pi }{3}})=1700cos(377t+2.09)$

相量域

與上次不同，這次不進行時域代入，而是透過代入相量域來展示相量（虛數數學）。

$i(t)\rightarrow {\mathbb {I} }=120{\sqrt {2}}\angle {\frac {2*\pi }{3}}$

$R+jL\omega =10+.01*377j=10.6870\angle 0.3605$

${\mathbb {V} _{s}}=\mathbb {I} *(R+jL\omega )=120{\sqrt {2}}*10.6870\angle ({\frac {2*\pi }{3}}+0.3605)=1814\angle 2.45$

$\mathbb {V} _{L}=I_{m}*\omega *L\angle (\phi +{\frac {\pi }{2}})=120{\sqrt {2}}*377*.01\angle ({\frac {2*\pi }{3}}+{\frac {\pi }{2}})=640\angle 3.67$

使用相量而不是微積分來解決問題 m-filec

回到時域

$V_{s}(t)=1811cos(377t+2.45)$

$v_{L}(t)=640cos(377t+3.67)$

$v_{R}(t)=1700cos(377t+2.09)$

比較

僅 $V_{s}$ 是用相量 $1811$ 和微積分/相量 $1814$ 方法計算得出的。 $1814$ 這個數字可以在微積分方法和相量方法的相量數學中找到。 但是這兩個部分的相量數學在相量域中都有一箇中間計算 R + jLw。 為相量解編寫了一個 matlab 指令碼，它只是插入了時域符號解。 這不允許由重複使用數字引起的 matlab 中的誤差累積......並得出了 $1811$。

目標是將數字輸入計算器一次，或者輸入 matLab 一次，並直接從給定數字計算答案，而無需任何中間計算。

模擬

上面圖示的 模擬 中的 Vs、VL 和 I。

週期檢查

上面的週期似乎介於 16ms 和 17ms 之間，更接近 17ms。 這與公式一致

$\omega =2\pi *f$

$f={\frac {\omega }{2\pi }}$

$T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {2\pi }{377}}=16.7ms$

幅度檢查

上面的 Vs 的幅度似乎接近 2000 伏。 這接近數學中的 1811/1814。

i(t) 的幅度似乎是 $120*{\sqrt {2}}$。

VL 的幅度似乎高於 500 伏，可能是數學中的 640 伏。

由於接地選擇的緣故，Vr 無法繪製。 注意 Vr 和 VL 共享相同的 -。 它們可以用示波器或上面的模擬器測量。 Vr 無法測量。

瞬態響應檢查

瞬態響應不同。 直線和從 0 以上開始看起來很奇怪。 由於這是一個穩態分析，因此要儲存直到以後再深入研究。 否則，一切都與由電壓源驅動時相同。

相位檢查

電壓始終領先電感中的電流（想想端點關係或 ELI）$90^{\circ },{\frac {\pi }{2}}$ 或 ${\frac {1}{4}}$ 週期，無論電流源還是電壓源驅動電路。

電壓檢查

可以再次進行相量數學以確保它們檢查，但這是最初產生值的數學。 這裡的目標是進行快速現場檢查。 此檢查不好，但很快。 它可以檢測到許多錯誤。 至少它增強了我們對答案的信心。 需要插入

$v_{L}=L*{d \over dt}i(t),v_{R}(t)+v_{L}(t)-V_{s}(t)=0$

並確保它們的和為零。

$V_{s}(t)=1811cos(377t+2.45)$

$v_{L}(t)=640cos(377t+3.67)$

$v_{R}(t)=1700cos(377t+2.09)$

選擇 t = 1

$V_{s}(t)=1811cos(377+2.45)=-1410$

$v_{L}(t)=640cos(377+3.67)=-560$

$v_{R}(t)=1700cos(377+2.09)=-857$

上面的等式成立。上面的實際數字需要更高的精度（小數位數）才能更接近於零。

功率分析

功率分析植根於相量域！

$\mathbb {V} _{s}=1814\angle 2.45$

$\mathbb {I} =120{\sqrt {2}}\angle 2.09$

$\mathbb {I} ^{*}=120{\sqrt {2}}\angle -2.09$

如果 :$\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi _{v}\quad$，並且 $\quad \mathbb {I} =M_{i}\angle \phi _{i}$，那麼

$\mathbb {S} =\mathbb {V} \mathbb {I} ^{*}={\frac {M_{v}M_{i}}{2}}\angle (\phi _{v}-\phi _{i})={\frac {120{\sqrt {2}}*1814}{2}}\angle (2.45-2.09)=15400\angle 0.36=14400+5420j$

並且

$cos(.36)=.936$

功率更大……由於電阻的存在，功率提高了 100 倍，但相位角保持不變。這意味著功率因數也保持不變。

值	單位	描述
$15400$	伏安 va	視在功率，電力公司管理的指標：設計和供應的峰值功率
$.936$	無量綱	功率因數，有功功率與視在功率之比，理想值為 1
$14400$	瓦 W	有功功率、平均功率、有功功率……消費者願意支付的功率（瓦特小時）
$5420$	無功功率 var	無功功率 ... 為什麼一個房間裡並非所有插座都連線到同一個斷路器

直覺

ELI ... 電壓領先電感中的電流

導數導致滯後 ... 時間延遲 ... 在正弦波中為正角度。