電路理論/相量/示例/示例 9

用於示例 9的並聯 RL 電路

假設電壓源由 $V_{s}(t)=120{\sqrt {2}}cos(377t+120^{\circ })$定義，求出所有其他電壓、電流並檢查功率。

標記迴路和節點

用於分析的標記並聯 RL 電路

在並聯電路中，所有器件的電壓都相同。

已知量、未知量和方程

已知量：$V_{s},R,L$

未知量：$I_{s},i_{R},i_{L}$

方程：$V_{s}(t)=R*i_{R}(t),V_{s}=L*{d \over dt}i_{L}(t),i_{R}(t)+i_{L}(t)-I_{s}(t)=0$

初始條件

在這個問題中，假設初始條件為零是不可能的。

檢視端子關係

$V_{s}=V_{L}=L*{d \over dt}i_{L}(t)$

V_S 在 t=0₊ 時具有非零值。這意味著 ${d \over dt}i_{L}(t)=V_{s}/L$。這就是一個初始條件。另一個初始條件是 i_L(0₊) = 0。

微積分符號表示

按以下順序評估端子關係

$i_{R}(t)={\frac {V_{s}}{R}}$

$i_{L}(t)=\int {\frac {V_{s}}{L}}dt$

$i_{s}(t)=i_{R}(t)+i_{L}(t)$

微積分數值

RL 電路的相量 MATLAB 解法 .... m 檔案

$V_{s}(t)=120{\sqrt {2}}\cos(377t+2.09)$

$R=10$

$L=.01$

$i_{R}=12{\sqrt {2}}\cos(377t+2.09)$

$i_{L}=\int {\frac {120{\sqrt {2}}\cos(377t+2.09)}{.01}}dt=45\sin(377t+2.09)+C_{1}$

$i_{L}(0)=0=45\sin(2.09)+C_{1}$

$C_{1}=-39$

$i_{L}=45\sin(377t+2.09)-39$

$I_{s}(t)=12{\sqrt {2}}\cos(377t+2.09)+45\sin(377t+2.09)-39$

相量數學避免使用三角函式！ m 檔案

下一步是將答案組合成一個具有相移的餘弦項，以便它可以與 $i_{L}$ 和 $i_{R}$ 進行比較。-39 變成了直流偏置。

組合正弦項和餘弦項的最簡單方法是相量。

以下是相量方法。注意數學是在相量域中完成的...使用虛數。

$12*{\sqrt {2}}*(377t+2.09)\Leftrightarrow 12*{\sqrt {2}}cos(2.09)+j12*{\sqrt {2}}sin(2.09)$

$45sin(377t+2.09)\Leftrightarrow 45*sin(2.09)-j45*cos(2.09)$

現在數字在相量世界中。下一步是將它們全部加起來。

$\mathbb {I} _{s}=48.1\angle 0.884$

現在將結果轉換回時域。

$I_{s}=48.1\cos(377t+0.884)-39$

相量符號

時域

$i_{R}=V_{s}/R$

$i_{L}=\int {\frac {V_{s}}{L}}dt$

$i_{S}=i_{R}+i_{L}$

相量域

$V_{s}(t)\rightarrow \mathbb {V}$

$\mathbb {V} =V_{m}\angle \phi$

$\mathbb {I} _{R}={\frac {\mathbb {V} }{R}}={\frac {V_{m}}{R}}\angle \phi$

$\int V_{s}(t)dt\rightarrow {\frac {\mathbb {V} }{j\omega }}={\frac {\mathbb {V} }{\omega }}\angle {\frac {-\pi }{2}}={\frac {V_{m}}{\omega }}\angle (\phi -{\frac {\pi }{2}})$

$\mathbb {I} _{L}={\frac {V_{m}}{\omega L}}\angle (\phi -{\frac {\pi }{2}})$

$\mathbb {I} _{S}={\frac {V_{m}}{R}}\angle \phi +{\frac {V_{m}}{\omega L}}\angle (\phi -{\frac {\pi }{2}})$

$\mathbb {I} _{S}=V_{m}*{\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {1}{(L\omega )^{2}}}}}\angle (\phi -arctan({\frac {R}{L\omega }}))$

回到時域

$I_{L}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {I} _{L}e^{j\omega t})={\frac {V_{m}}{\omega L}}*cos(\omega t+\phi -{\frac {\pi }{2}})+C_{1}$

$I_{s}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {I} _{s}e^{j\omega t})=V_{m}{\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {1}{(L\omega )^{2}}}}}cos(\omega t+\phi -arctan({\frac {R}{L\omega }}))+C_{1}$

$I_{R}(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {I} _{R}e^{j\omega t})={\frac {V_{m}}{R}}cos(\omega t+\phi )$

$I_{L}$ 涉及了相量域中的積分，因此在其時域方程中添加了一個常數。

使用相量而不是微積分來解決問題 m-filec

相量數值

如果像上面那樣可以用符號形式求解，那麼在相量域中進行數學運算就沒有意義了。

時域

$i_{r}(t)={\frac {120*{\sqrt {2}}}{10}}\cos(377t+2.09)=17.0cos(377t+2.09)$

$i_{L}(t)={\frac {120*{\sqrt {2}}}{.01*377}}\cos(377t+2.09-{\frac {\pi }{2}})+C_{2}=45\cos(377t+0.524)+C_{1}$

$0=45\cos(0.524)+C_{1}$

$C_{1}=-39.0$

$i_{s}(t)=120*{\sqrt {2}}*{\sqrt {{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{(.01*377)^{2}}}}}\cos(377t+{\frac {2*\phi }{3}}-\arctan({\frac {10}{.01*377}}))-39$

$i_{s}(t)=48.1\cos(377t+0.844)-39$

這些數字與上面用微積分計算的結果相同...

模擬

$Vs$, $I_{s}$, $i_{L}$, 以及 $i_{R}$ 來自模擬的 模擬 在下面繪製。

circuitlab.com 模擬，電流流入一個產生 180° 相移的器件

符號	顏色	方程式
$I_{s}$	棕色	$48.1\cos(377t+50.6^{\circ })-39$
$i_{L}$	橙色	$45\cos(377t+30^{\circ })-39$
$i_{R}$	示例	$17\cos(377t+120^{\circ })$
Vs</math>	藍色	$170\cos(377t+120^{\circ })$

顯示當 circuitlab 跳過 initial=no 時會發生什麼...

模擬與數學結果一致。Circuitlab 模擬需要取源電流才能獲得正確的相位。這可以透過使用一個正弦波源跨接一個電阻器來測試 circuitlab 來觀察。

模擬還表明積分常數取決於源的相位角。

週期檢查

上面的週期看起來在 16ms 和 17ms 之間，更接近 17ms。這與公式一致

$\omega =2\pi *f$

$f={\frac {\omega }{2\pi }}$

$T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {2\pi }{377}}=16.7ms$

幅值檢查

如果測量峰峰值，模擬幅值與數值答案的雙倍幅值相匹配。積分常數添加了一個直流偏置，在本例中為負。

相位檢查

無論電流源還是電壓源驅動電路，電壓始終會領先於電感器中的電流（想想端子關係或 ELI）$90^{\circ },{\frac {\pi }{2}}$ 或 ${\frac {1}{4}}$ 週期。

功率分析

這些常數將在此分析中新增一些直流功率或有功功率。在不知道它們是什麼的情況下，我們無法計算它們的影響。因此，現在我們堅持使用相量域功率分析

$\mathbb {V} _{s}=120{\sqrt {2}}\angle 2.09$

$\mathbb {I} _{s}=48.1\angle 0.884$

$\mathbb {I} _{s}^{*}=48.1{\sqrt {2}}\angle -0.884$

如果 :$\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi _{v}\quad$，以及 $\quad \mathbb {I} =M_{i}\angle \phi _{i}$，那麼

$\mathbb {S} =\mathbb {V} \mathbb {I} ^{*}={\frac {M_{v}M_{i}}{2}}\angle (\phi _{v}-\phi _{i})={\frac {120{\sqrt {2}}*48.1}{2}}\angle (2.09-0.884)=4081\angle 1.206=1456+3813j$

並且

$cos(1.206)=.357$

這是一個很差的功率因數。公用事業的視在功率遠遠大於客戶願意支付的功率。如上所述的純感性負載在大型電機中很常見工業環境，在那裡工業工程師正在與電力公司工程師進行交流。可能需要功率調節器才能將該功率因數恢復到更接近 1 的水平。公用事業公司將根據視在功率收費……這對他們來說是真正的 $$$。

值	單位	描述
$4081$	伏安 va	視在功率是電力公司管理的內容：他們設計的峰值功率，他們必須提供的峰值功率
$.357$	無量綱	功率因數，有功功率與視在功率的比值，理想情況下為1
$1456$	瓦 W	有功功率、平均功率、有效功率... 消費者想要支付的功率（瓦特小時）
$3813$	無功功率 var	無功功率... 為什麼房間裡的所有插座不能在同一個斷路器上

直覺

ELI... 電壓超前於電感器中的電流

積分常數很重要。初始條件很重要。相量不處理這些。

連線到電源的純感性負載會產生不良的功率因數。

如果積分常數出現，並且沒有微分方程，則必須使用初始條件計算積分常數。

電源的相角影響積分常數。