複變函式/複數/引言

本書假設您對複數有一定的瞭解。事實上，本書中的許多內容都假設您已經熟悉多元微積分。如果您之前沒有接觸過複數，建議您閱讀更詳細的介紹，其中包含更多關於複數算術的練習，本書假設您已經熟悉這些練習。這類介紹通常可以在代數（或“代數 II”）教材中找到，例如代數華夏公益教科書中關於複數的部分。

直觀地，一個複數z可以寫成以下形式

$z=x+iy$,

其中x和y是實數，i是虛數，滿足$i^{2}=-1$。我們稱x為z的實部，y為z的虛部，分別用${\text{Re }}z$和${\text{Im }}z$表示。注意，對於數字$z=3-2i$，${\text{Im }}z=y=-2$，不是$-2i$。此外，為了區分複數和純實數，我們通常用字母z和w表示複數。有一個更正式的複數定義很有用。例如，人們經常會遇到關於複數的處理方法，其中指出$i$是那個滿足$i={\sqrt {-1}}$的數字，然後我們使用$i$，使用我們通常用於算術的許多規則。不幸的是，如果不注意，這會導致困難。並非所有通常的代數規則都能以我們預期的方式延續。例如，以下計算中存在一個缺陷：$i={\sqrt {-1}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {1}{i}}=-i$，但如果沒有先清楚地瞭解複數是什麼以及允許對複數進行哪些運算，就很難指出缺陷所在。

在數學上，複數被定義為一個有序對，並賦予代數運算。

定義

一個複數z是實數的有序對。也就是說$z=(x,y)$，其中x和y是實數。所有複數的集合用符號$\mathbb {C}$表示。

這個定義最直接的結果是我們可以將複數看作平面上的一點。將這個定義與上面的直觀定義進行比較，很容易看出虛數i只是作為佔位符來表示哪個數字屬於第二個座標。

定義

我們在複平面上定義以下兩個函式。令 $z=(x,y)$ 為一個複數。我們定義實部為函式 ${\text{Re}}:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$，其定義為 ${\textrm {Re}}(z)=x$。類似地，我們定義虛部為函式 ${\textrm {Im}}:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$，其定義為 ${\textrm {Im}}(z)=y$。

我們說兩個複數相等，當且僅當它們作為有序對相等。也就是說，如果 $z=(x,y)$ 和 $w=(u,v)$，那麼 z = w 當且僅當 x = u 且 y = v。更簡潔地說，兩個複數相等，當且僅當它們的實部和虛部相等。

如果複數僅僅是有序對，那麼我們對它們就沒什麼好說的了。但是，複數是有序對，並且還包含幾個代數運算，正是這些運算使複數變得如此有趣。

定義

令 z = (x, y) 和 w = (u, v)，那麼我們定義加法為

z + w = (x + u, y + v)

乘法定義為

z · w = (x · u − y · v, x · v + y · u)

當然，我們可以將任何實數 r 看作是一個複數。使用我們對複數的直觀模型，很明顯實數 r 應該對應於複數 (r, 0)，並且在這種識別下，上述運算完全對應於實數加法和乘法的通常定義。在本文的其餘部分，我們將隨意地將實數 r 稱為複數，其中理解了上述識別。

以下關於加法和乘法的性質很容易從實數的對應運算中推匯出。它們的驗證留作讀者練習。令 z、w 和 v 為複數，那麼

• z + (w + v) = (z + w) + v	(加法結合律)；
• z · (w · v) = (z · w) · v	(乘法結合律)；
• z + w = w + z	(加法交換律)；
• z · w = w · z	(乘法交換律)；
• z · (w + v) = z · w + z · v	(分配律)。

複數加法和乘法的一個優點是，0 和 1 在複數中的作用與它們在實數中的作用相同。也就是說，0 是複數的加法單位元（意味著 z + 0 = 0 + z = z），而 1 是乘法單位元（意味著 z · 1 = 1 · z = z）。

當然，此時自然會問到減法和除法。但是，我們沒有直接給出減法和除法的公式，而是遵循其他代數主題的慣例，首先討論逆運算。

定義

令 z = (x, y) 為任何複數，那麼我們定義加法逆元 −z 為

−z = (−x, −y)

然後很容易驗證 z + −z = 0。

現在，對於任何兩個複數 z 和 w，我們定義 z − w 為 z + −w。現在我們來對乘法做同樣的事情。

定義

令 z = (x, y) 為任何非零複數，那麼我們定義乘法逆元，${\tfrac {1}{z}}$ 為

${\frac {1}{z}}={\Big (}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}{\Big )}$

留給讀者驗證 $z\cdot {\tfrac {1}{z}}=1$。

現在我們可以定義除法為 ${\tfrac {z}{w}}=z\cdot {\tfrac {1}{w}}$。與實數一樣，除以零仍然是未定義的。為了使最後這個定義更有意義，引入複數上的另外兩個運算是有幫助的。第一個是絕對值。

定義

令 z = (x, y) 為任何複數，那麼我們定義複數絕對值，記為 |z| 為

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

請注意，|z| **始終** 是一個實數，並且 |z| ≥ 0 **對於任何** z 都成立。

當然，根據絕對值的這個定義，如果 z = (x, y) ，那麼 |z| 就與向量 (x, y) 的模相同。

在介紹第二個定義之前，請注意，我們直觀的定義只是要求我們找到一個平方等於 -1 的數。當然， i² = (−i)² = −1 ，因此作為起點，可以選擇 -i 作為最基本的虛數。這個想法激發了以下定義。

定義

設 z = (x, y) 是任何複數，則我們定義 z 的 **共軛** ，記為 ${\bar {z}}$ 為

${\bar {z}}=(x,-y).$

根據這個定義，很容易驗證 $z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}$ ，因此將兩邊除以 |z|² ，我們得到 $z\cdot {\tfrac {\bar {z}}{|z|^{2}}}=1$ 。將此與上面乘法逆元的定義進行比較。

回顧一下，平面上的每個點都可以用直角座標表示，例如 (x, y) ，當然數字分別表示到 x 軸和 y 軸的距離。但這個點也可以用極座標 (r, θ) 表示，其中第一個數字表示到原點的距離，第二個數字是連線原點和點的一條線段與正 x 軸形成的角度。由於複數可以簡單地看作平面上的點，我們可以立即推匯出複數的極座標表示。像往常一樣，我們可以令一個點 z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) ，其中 $\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 。θ 的選擇不是唯一的，因為正弦和餘弦是 2π 週期的。一個 θ 值，使得 z = (r cos θ, r sin θ) 稱為 z 的 **輻角** 。如果我們將 θ 的選擇限制在 0 ≤ θ < 2π ，那麼只要 z ≠ 0 ，θ 的選擇就是唯一的。這通常被稱為 **輻角的主值分支** 。

作為簡寫，我們可以寫成 $\operatorname {cis} \,\theta =\cos \theta +i\sin \theta$ ，因此 $z=r\operatorname {cis} \theta$ 。這種表示法簡化了乘法和求冪運算，因為

$z_{1}z_{2}\,\!$	$=(r_{1}\operatorname {cis} \theta _{1})(r_{2}\operatorname {cis} \theta _{2})$
	$=r_{1}r_{2}\left[\left(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1}\right)\left(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}\right)\right]$
	$=r_{1}r_{2}\left[\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)+i\left(\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\right]$
	$=r_{1}r_{2}\left(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\right)$
	$=r_{1}r_{2}\operatorname {cis} (\theta _{1}+\theta _{2})$

根據基本三角恆等式。應用此公式可以簡化許多複數計算。

使用歸納法，我們可以證明

$z^{n}=r^{n}\operatorname {cis} (n\theta )$,

對所有正整數 $n$ 成立。

現在我們已經建立了複數的基本概念，我們繼續討論複平面拓撲性質。

習題

1. 用 ${\bar {z}}_{1}$ 和 ${\bar {z}}_{2}$ 表示 ${\overline {(z_{1}+z_{2})}}$.
2. 用 ${\bar {z}}_{1}$ 和 ${\bar {z}}_{2}$ 表示 ${\overline {z_{1}z_{2}}}$.
3. 證明覆平面上的絕對值滿足 **三角不等式**。也就是說，證明

   $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|.$

4. 證明覆平面上的絕對值滿足 **反三角不等式**。也就是說，證明

   $|z_{1}+z_{2}|\geq {\big |}|z_{1}|-|z_{2}|{\big |}.$

5. 給定一個非零複數 $z=r\operatorname {cis} (\theta )$，確定 $r'$ 和 $\theta '$，使得 ${\frac {1}{z}}=r'\operatorname {cis} (\theta ')$。
6. 確定 ${\text{Re }}z$ 和 ${\text{Im }}z$ 的公式，以 $z$ 和 ${\bar {z}}$ 表示。
7. 找到 $n$ 個不同的複數 $z_{k}$，$k=0,\ldots ,n-1$，使得 $z_{k}^{n}=z$。提示：使用上面給出的 $z_{k}^{n}$ 公式和 $2\pi$ 週期性 $\cos(\theta )$ 和 $\sin(\theta )$。

接下來