複分析/復可微

定義（復可微）:

設 $U\subseteq \mathbb {C} ^{n}$，設 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一個函式。設 $z\in U$。我們說 $f$ 在 $z$ 處是復可微 當且僅當存在一個 $\mathbb {C}$-線性函式 $T:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 使得

$f(w)=T(w)+o(\|z-w\|)$.

在 $n=1$ 的情況下，這個條件等價於極限存在

$\lim _{w\to z}{\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}$.

實際上，如果這個極限是 $\alpha \in \mathbb {C}$，那麼上述定義中的 $\mathbb {C}$-線性對映就是乘以 $\alpha$，反之，任何線性對映 $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 僅僅是乘以 $\mathbb {C}$ 中的一個元素，它就是極限。

命題（奧斯古德引理）:

設 $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ 是一個連續函式。

柯西-黎曼方程

假設 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一個在球體 $B_{r}(z_{0})$ 內復可微的函式，其中 $z_{0}\in U$ 是 $U$ 中的一個元素，而 $r>0$ 是一個小的常數（我們將稱之為“半徑”）。

一個複函式可以被唯一地寫成 $f(z)=u(z)+iv(z)$ 的形式，其中 $u$ 和 $v$ 是函式 $\mathbb {C} \to \mathbb {R}$。函式 $u$ 對應於 $f$ 的實部，而函式 $v$ 對應於 $f$ 的虛部，因此對於所有 $z\in U$

$u(z):=\operatorname {Re} (f(z))$，$v(z):=\operatorname {Im} (f(z))$。

由於 $f$ 假設是復可微的，所以 $h$ 從哪個方向接近 $0$ 都不應該有影響。 尤其是，$h$ 可以沿著複平面的 $x$ 軸

$\{(x,y)\in \mathbb {C} |y=0\}$

或者 $y$ 軸（定義方式類似）。

定義（柯西-黎曼方程）:

定理（柯西-黎曼方程）:

令 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一個連續可微函式，並且 $z_{0}\in U$。 那麼 $f$ 是全純的當且僅當它滿足柯西-黎曼方程。

命題（全純函式的成分滿足的微分方程）:

令 $f:U\to \mathbb {C}$ 是全純的，並且寫為 $f=u+iv$，其中 $u,v:U\to \mathbb {R}$ 是實值函式。 那麼我們有

$\partial _{x}^{2}u+\partial _{y}^{2}u=0$

和

$\partial _{x}^{2}v+\partial _{y}^{2}v=0$.

證明： 由柯西-黎曼方程和克萊羅定理，我們有

$\partial _{x}^{2}u=\partial _{x}\partial _{y}v=\partial _{y}\partial _{x}v=-\partial _{y}^{2}u$

和

$\partial _{x}^{2}v=-\partial _{x}\partial _{y}u=-\partial _{y}\partial _{x}u=-\partial _{y}^{2}v$. $\Box$

注意，這意味著 $u$ 是一個 調和函式。

計算規則

在實可微函式的情況下，我們有諸如鏈式法則、乘積法則甚至逆函式法則之類的計算規則。在複函式的情況下，實際上我們有完全相同的規則。

定理 2.2:

令 $f,g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 為複函式。

1. 如果 $f$ 和 $g$ 在 $z_{0}$ 處復可微，且 $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$，則函式 $z\mapsto \alpha f(z)+\beta g(z)$ 在 $z_{0}$ 處復可微，且 $(\alpha f+\beta g)'(z_{0})=\alpha f'(z_{0})+\beta g'(z_{0})$ (導數的線性性)
2. 如果 $f$ 和 $g$ 在 $z_{0}$ 處復可微，那麼 $f\cdot g$ 也是復可微的（關於複數乘法的逐點乘積！），我們有 **乘積法則** $(f\cdot g)'(z_{0})=f(z_{0})g'(z_{0})+f'(z_{0})g(z_{0})$
3. 如果 $f$ 在 $z_{0}$ 處復可微，並且 $g$ 在 $f(z_{0})$ 處復可微，那麼 $g\circ f$ 在 $z_{0}$ 處復可微，我們有 **鏈式法則** $(g\circ f)'(z_{0})=g'(f(z_{0}))f'(z_{0})$
4. 如果 $f$ 是雙射的，在 $z_{0}$ 的鄰域內復可微，並且 $f'(z_{0})\neq 0$，那麼 $f^{-1}$ 在 $(f^{-1})'(f(z_{0}))={\frac {1}{f'(z_{0})}}$ （**逆函式法則**）
5. 如果 $f,g$ 在 $z_{0}$ 處可微，並且 $g(z_{0})\neq 0$，那麼 $\left({\frac {f}{g}}\right)'(z_{0})={\frac {f'(z_{0})g(z_{0})-g'(z_{0})f(z_{0})}{g(z_{0})^{2}}}$ （**商法則**）

證明:

首先注意到加法和乘法的對映

$+:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

和

$\cdot :\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

是連續的；實際上，例如，令 $B_{r}(z_{0})\subset \mathbb {C}$ 為一個開球。取 $0<\epsilon \leq 1$ 使得 $B_{\epsilon }(ab)\subset B_{r}(z_{0})$。現在假設我們有

$(c,d)\in B_{\delta }(a)\times B_{\delta }(b)$,

其中 $\delta$ 稍後確定。然後我們有

$|cd-ab|=|(a+z)(b+w)-ab|=|aw+bz+wz|$,

其中 $|w|,|z|<\delta$。選取

$\delta ={\frac {\epsilon }{3\max\{1,|a|,|b|\}}}$,

我們根據三角不等式得到

$|aw+bz+wz|\leq |aw|+|bz|+|wz|<\epsilon$,

因此 $\cdot ^{-1}(B_{r}(z_{0}))$ 是開集。如果 $U\subseteq \mathbb {C}$ 是一個開集，那麼 $\cdot ^{-1}(U)$ 也會是開集，因為 $U$ 是開球的並集，而函式的逆像與並集可交換。

加法的證明非常類似。

但從這兩個結論可以得出，如果 $f,g$ 是這樣的函式：

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=a$ 且 $\lim _{z\to z_{0}}g(z)=b$,

那麼

$\lim _{z\to z_{0}}(f(z)+g(z))=a+b$

和

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)g(z)=ab$;

事實上，這是由 $+$ 和 $\cdot$ 在相應 *點* 上的連續性推匯出來的。特別地，如果 $f$ 是常數（比如 $f\equiv \alpha$，其中 $\alpha \in \mathbb {C}$ 是一個固定的複數），我們會得到類似於以下的結論：

$\lim _{z\to z_{0}}\alpha g(z)=\alpha \lim _{z\to z_{0}}g(z)$.

1. 現在假設確實 $f,g:U\to \mathbb {C}$ ($U$ 是開集，因此我們在 $z_{0}$ 附近有一個鄰域，並且導數的定義意味著 $h$ 趨於零的方向無關）在 $z_{0}\in U$ 可微。我們將有

$\lim _{h\to 0}{\frac {\alpha f(z_{0}+h)+\beta g(z_{0}+h)-(\alpha f(z_{0})+\beta g(z_{0}))}{h}}=\alpha \lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}+\beta \lim _{h\to 0}{\frac {g(z_{0}+h)-g(z_{0})}{h}}=\alpha f'(z_{0})+\beta g'(z_{0})$.

4. 確實讓 $f:U\to V$ 是 $U$ 和 $V\subseteq \mathbb {C}$ 之間的雙射，它在 $z_{0}\in U$ 的鄰域內可微。根據反函式定理，$f^{-1}$ 在 $f(z_{0})$ 處是實可微的，並且根據實數的鏈式法則，我們有

$I_{2}=(f^{-1})'(f(z_{0}))\cdot f'(z_{0})$ ($I_{2}$ 表示 $\mathbb {R} ^{2\times 2}$ 中的單位矩陣，單撇號（例如 $f'(z_{0})$）表示函式 $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 的雅可比矩陣，視為 函式 $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，" $\cdot$" 表示矩陣乘法），

因為我們只需對函式 $f^{-1}\circ f$ 進行微分。然而，將 $\mathbb {C}$ 和 $\mathbb {R} ^{2\times 2}$ 視為 $\mathbb {R}$-代數（或環；對於我們的目的而言，這並不重要），我們有一個代數同態（或環同態）

$\Phi :\mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{2\times 2},x+iy\mapsto \left(\right)$.

此外，由於柯西

全純函式（和亞純函式）

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 為複平面上的開集，令 $f:U\to \mathbb {C}$ 為一個在 $U$ 上覆可微的函式（也就是說，在 $U$ 的每一個點上）。那麼我們稱 $f$ 在 $U$ 上是 *全純* 的。

如果 $U$ 恰好等於 $\mathbb {C}$，使得 $f$ 在每一個複數上覆可微，那麼 $f$ 被稱為 **整函式**。我們將在三角函式章節中看到整函式的例子，其中指數函式、正弦函式和餘弦函式扮演著核心角色。另一類重要的整函式是 *多項式*。

多項式是整函式

在代數中，人們研究多項式環，例如 $\mathbb {R} [x]$，$\mathbb {C} [z]$ 或者更一般地，$R[x]$，其中 $R$ 是一個環（然後有一些定理可以“提升” $R$ 的性質到 $R[x]$，例如，如果 $R$ 是一個整環、唯一分解整環或諾特環，那麼 $R[x]$ 也是一個整環、唯一分解整環或諾特環）。

現在 $\mathbb {C} [z]$ 的所有元素都是整函式。這是這樣看到的：

類似於實分析（證明完全相同），函式 $z\mapsto z^{n}$ 是復可微的。因此，任何多項式

$p(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ ($a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C}$ 為復係數，即常數)

根據線性關係，它是復可微的。

我們也可以定義 $\mathbb {Q} (i)$，它是 $\mathbb {Q}$ 在 $\mathbb {C}$ 中的擴充套件。事實證明，該擴充套件等於

$\{x+iy|x,y\in \mathbb {Q} \}$.

由此，產生一個多項式環 $\mathbb {Q} (i)[z]$。現在令 $K\subseteq \mathbb {C}$ 為複平面上的任何緊集，甚至是有界集。然後，透過直接論證，可以很容易地看出，關於一致收斂拓撲，$\mathbb {Q} (i)[z]$ 在 $\mathbb {C} [z]$ 中是稠密的。或者，可以發現

練習

1. 證明，只要 $f,g:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 是全純的，那麼 ${\bar {\partial }}(f_{k}\circ g)=\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial z_{l}}}{\frac {\partial g_{l}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}+\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {\bar {z}}_{l}}}{\frac {\partial {\bar {g}}_{l}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}$