圓錐曲線/識別圓錐曲線

識別圓錐曲線

如果圓錐曲線以標準形式給出，那麼它們很容易繪製。不幸的是，情況往往並非如此。圓錐曲線可以用以下形式的多項式表示：$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$，為了繪製這些曲線，需要將它們轉換回標準形式。但是，在你這樣做之前，公式：$B^{2}-4AC$可以用來在開始繪製之前確定原始方程的圓錐曲線型別

• $B^{2}-4AC=0$: 拋物線
• $B^{2}-4AC<0$: 橢圓
• $B^{2}-4AC>0$: 雙曲線

首先，如果 B 不為零，則圖形表示旋轉的圓錐曲線。按照軸旋轉中給出的說明確定如何將其轉換為非旋轉形式。然後將此轉換為本節後面詳細介紹的圓錐曲線的標準形式，並在與 x 軸和 y 軸成適當角度的座標系中繪製圖形。

如果 B 等於零，則使用配方法和代數操作來獲得圓錐曲線的標準形式。

示例

示例 1: (橢圓) ${\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{25}}y^{2}-{\frac {2}{3}}x-{\frac {8}{25}}y+{\frac {16}{25}}=0$

首先需要對 x 和 y 項進行配方法。首先我們從 x 開始。雖然在這種情況下 b 看起來是 $-{\frac {2}{3}}$，但必須記住 $x^{2}$的係數必須等於 1。因此：${\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {2}{3}}x$
$={\frac {1}{9}}[x^{2}-6x]$
現在，b = -6。 $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {-6}{2}}\right)^{2}=9$。因此
$={\frac {1}{9}}[x^{2}-6x+9-9]$
$={\frac {1}{9}}[(x-3)^{2}-9]$
$={\frac {1}{9}}(x-3)^{2}-1$
對 y 做同樣操作： ${\frac {1}{25}}y^{2}-{\frac {8}{25}}y$
$={\frac {1}{25}}[y^{2}-8y]$
現在，b = -8。 $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {-8}{2}}\right)^{2}=16$。所以
$={\frac {1}{25}}[y^{2}-8y+16-16]$
$={\frac {1}{25}}[(y-4)^{2}-16]$
$={\frac {1}{25}}(y-4)^{2}-{\frac {16}{25}}$
然後，將這些代回原始方程： $\left({\frac {1}{9}}(x-3)^{2}-1\right)+\left({\frac {1}{25}}(y-4)^{2}-{\frac {16}{25}}\right)+{\frac {16}{25}}=0$
簡化為 ${\frac {(x-3)^{2}}{9}}+{\frac {(y-4)^{2}}{25}}=1$ 這是橢圓的標準形式。為了驗證我們的答案，我們可以使用公式 $B^{2}-4AC$ 從原始方程中獲得值。代入後得到： $(0)^{2}-4\left({\frac {1}{9}}\right)\left({\frac {1}{25}}\right)=-{\frac {4}{225}}$ 小於零。因此，該圓錐曲線是橢圓，這證實了我們之前的答案。

示例 5： (旋轉的橢圓) $6x^{2}+{\sqrt {3}}xy+7y^{2}-36=0$

它包含一個xy項意味著這是一個旋轉的圓錐曲線。它的旋轉角度由下式給出：$tan2\theta ={\frac {B}{A-C}}={\frac {({\sqrt {3}})}{(6)-(7)}}$
所以 $2\theta =atan\left({\frac {({\sqrt {3}})}{(6)-(7)}}\right)$
$2\theta =atan(-{\sqrt {3}})$
$2\theta ={\frac {-\pi }{3}}$
$\theta ={\frac {-\pi }{6}}$
這告訴我們這個圓錐曲線已經旋轉了 $-{\frac {\pi }{6}}$ 弧度，即 -30° 逆時針方向，這也等於 ${\frac {\pi }{6}}$ 弧度或 30° 順時針方向繞原點旋轉。
然後你可以進行以下替換，以獲得相同但未旋轉的圓錐曲線的表示式

• $x=Xcos\theta -Ysin\theta$
• $y=Xsin\theta +Ycos\theta$
  

在本例中，$\theta$ 為 $-{\frac {\pi }{6}}$。請確保您不會混淆符號，因為這將使進一步的計算無效。使用的角度值始終是逆時針方向的數量。因此，將 $\theta =-{\frac {\pi }{6}}$ 代入前面的公式將得到

• $x=Xcos{\frac {-\pi }{6}}-Ysin{\frac {-\pi }{6}}$
• $y=Xsin{\frac {-\pi }{6}}+Ycos{\frac {-\pi }{6}}$
  

簡化為

• $x={\frac {\sqrt {3}}{2}}X-{\frac {1}{2}}Y$
• $y=-{\frac {1}{2}}X+{\frac {\sqrt {3}}{2}}Y$
  

將這些代入旋轉後的方程，得到
$6\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}X-{\frac {1}{2}}Y\right)^{2}+{\sqrt {3}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}X-{\frac {1}{2}}Y\right)\left(-{\frac {1}{2}}X+{\frac {\sqrt {3}}{2}}Y\right)+7\left(-{\frac {1}{2}}X+{\frac {\sqrt {3}}{2}}Y\right)^{2}-36=0$
展開括號得到
$6\left({\frac {3}{4}}X^{2}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}XY+{\frac {1}{4}}Y^{2}\right)+{\sqrt {3}}\left(-{\frac {\sqrt {3}}{4}}X^{2}+{\frac {1}{2}}XY+{\frac {\sqrt {3}}{4}}Y\right)+7\left({\frac {1}{4}}X^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}XY+{\frac {3}{4}}Y^{2}\right)-36=0$
展開括號併合並同類項，最終得到
$\left(6\times {\frac {3}{4}}+{\sqrt {3}}\times {\frac {-{\sqrt {3}}}{4}}+7\times {\frac {1}{4}}\right)X^{2}+\left(6\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {3}}\times {\frac {1}{2}}+7\times {\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right)XY+\left(6\times {\frac {1}{4}}+{\sqrt {3}}\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}+7\times {\frac {3}{4}}\right)Y^{2}-36=0$
簡化為
${\frac {11}{2}}X^{2}+0XY+{\frac {15}{2}}Y^{2}-36=0$
由於現在沒有 XY 項，這意味著這是一個非旋轉圓錐曲線方程。現在剩下的只是一些代數操作，使其變成標準形式。
${\frac {11}{2}}X^{2}+{\frac {15}{2}}Y^{2}=36$
${\frac {X^{2}}{\frac {2}{11}}}+{\frac {Y^{2}}{\frac {2}{15}}}=36$
${\frac {X^{2}}{{\frac {2}{11}}\times 36}}+{\frac {Y^{2}}{{\frac {2}{15}}\times 36}}=1$
${\frac {X^{2}}{\frac {72}{11}}}+{\frac {Y^{2}}{\frac {24}{5}}}=1$
這是橢圓的標準形式，你可以用它來找到軸長、偏心率、焦點以及其他任何東西。但是請記住，這必須以之前找到的相對於 x 軸的 ${\frac {-\pi }{6}}$ 角進行繪圖。你可以使用上面相同的公式來找到非旋轉橢圓上點的旋轉位置。
當點 (x, y) 繞原點旋轉 $\theta$ 角時，變為 (X, Y)，其中

• $X=xcos\theta +ysin\theta$
• $Y=-xsin\theta +ycos\theta$