控制系統/離散時間穩定性
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離散時間或數字系統的穩定性分析類似於連續時間系統的分析。然而，兩者之間存在足夠的差異，因此需要單獨的章節來進行說明。
如果存在一個正的常數 L，使得以下條件成立，則 LTI 因果系統是一致 BIBO 穩定的
![{\displaystyle x[n_{0}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6475aebd307d5c470fd8e34059615fcb0cd4861)
![{\displaystyle \|u[n]\|\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303eccf67e1d761aa092eee351727bc3108d9e09)
意味著
![{\displaystyle \|y[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8bf7f608ba8292dd99c8721ea388a903cfa32e)
我們可以將離散時間系統的脈衝響應矩陣定義為
[脈衝響應矩陣]
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c7e26c324cb2aad5a5940457bfba00e3f77ce)
或者，在一般時變情況下
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c455ebe07eb605f959ad30aa1c65f4093b0783)
當且僅當存在一個正的常數 L，使得對於所有非負的 k，以下公式成立時，數字系統是 BIBO 穩定的
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\|G[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c006c870844644293fd834f0c0e1250b8fb800d)
當且僅當傳遞函式矩陣中每個傳遞函式的每個極點的幅值小於 1 時，MIMO 離散時間系統才是 BIBO 穩定的。所有傳遞函式的所有極點都必須存在於 Z 平面的單位圓內。
李雅普諾夫穩定性定理有一個離散版本適用於數字系統。給定離散李雅普諾夫方程
[數字李雅普諾夫方程]
我們可以使用這個版本的李雅普諾夫方程來定義離散時間系統穩定性的條件
- 李雅普諾夫穩定性定理（數字系統）
- 如果一個具有系統矩陣 A 的數字系統漸近穩定，當且僅當存在一個唯一的矩陣 M，對於每個正定矩陣 N，它都能滿足李雅普諾夫方程。
G(z) 的每個極點都是系統矩陣 A 的一個特徵值。但 A 的每個特徵值不一定是 G(z) 的極點。與傳遞函式的極點類似，系統矩陣的所有特徵值的大小必須小於 1。用數學公式表示為
如果系統矩陣 A 的特徵值或傳遞函式的極點的大小大於 1，則系統不穩定。
數字計算機系統存在一個固有問題，因為可實現的計算機系統使用有限字長來處理資料。一些問題包括：
- 實數只能用有限精度表示。通常，計算機系統只能將一個數字精確地表示到有限的小數位數。
- 由於上述原因，具有反饋的計算機系統在每次程式迭代時都會累積誤差。演算法中的一步中的微小誤差會導致程式後期出現較大誤差。
- 計算機系統中的整數具有有限長度。因此，整數會根據計算機系統的設計，要麼 **溢位**，要麼 **飽和**。這兩種情況都會導致結果不準確。