控制系統/多項式設計

多項式設計

多項式設計是一種強大的工具，用於設計控制器和補償器系統。多項式設計通常包括兩個獨立的階段

1. 確定系統所需的響應
2. 調整你的系統以匹配所需的響應。

我們透過建立多項式（例如變換域傳遞函式）並使係數相等來找到所需的值。所有這些的目標是能夠將我們系統中的所有極點任意放置在變換域中我們想要的任何位置。換句話說，我們希望任意修改我們系統的響應以匹配任何所需的響應。本章的要求是系統完全可控且可觀測。如果這兩個條件中的任何一個不滿足，則此方法中的技術無法直接實現。

透過這種方法，假定工廠是給定的，不可改變。為了調整系統的響應，需要設計一個控制器單元來幫助系統滿足規範。由於控制器是定製設計的，因此可以任意確定控制器的響應（當然是在物理限制範圍內）。

多項式表示

假設我們有一個工廠G(s)和一個控制器C(s)。控制器和工廠都是適當的系統，由單項式分子和分母多項式組成。工廠G(s)的階數為n，是給定的，不能改變。任務是設計階數為m的控制器C(s)

$G(s)={\frac {b(s)}{a(s)}}$

$C(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}$

我們的閉環系統H(s)將具有以下傳遞函式

$H(s)={\frac {C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}}={\frac {B(s)b(s)}{A(s)a(s)+B(s)b(s)}}$

那麼我們的特徵方程是

$\alpha _{H}(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s)$

我們的工廠是給定的，所以我們知道a(s)和b(s)，但是A(s)和B(s)是作為我們控制器的一部分可配置的。為了確定這些值，我們必須選擇一個所需的響應，即我們的系統應該具有的響應。我們稱我們所需的響應為D(s)。我們可以透過求解丟番圖方程來配置我們的控制器，使其使我們的系統匹配所需的響應

$D(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s)$

丟番圖方程

丟番圖方程變為關於A(s)和B(s)多項式的未知係數的線性方程組。在某些情況下，丟番圖方程將產生唯一的結果，但也有可能產生非唯一的結果。

我們相乘多項式，然後合併s的冪

$D(s)=(A_{0}a_{0}+B_{0}b_{0})+$$(A_{0}a_{1}+A_{1}a_{0}+B_{0}b_{1}+B_{1}b_{0})s+$$\cdots +(A_{m}a_{n}+B_{m}b_{n})s^{m+n}$

現在我們可以使D(s)的係數相等，我們得到的方程組如下

${\begin{bmatrix}a_{0}&b_{0}&0&0&\cdots &0&0\\a_{1}&b_{1}&a_{0}&b_{0}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}&a_{n-1}&b_{n-1}&\cdots &a_{0}&b_{0}\\0&0&a_{n}&b_{n}&\cdots &a_{1}&b_{1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &a_{n}&b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\\\vdots \\A_{m}\\B_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}D_{0}\\D_{1}\\\vdots \\D_{n+m}\end{bmatrix}}$

這個矩陣可能很大，但模式很簡單：新系數從左側移入，舊係數從右側移出到每行。

唯一性條件

我們將稱之為S的丟番圖矩陣的維數為(n + m + 1) × (2m + 2)。如果丟番圖矩陣是方陣，則該方程的解是唯一的，因此是可逆的。如果矩陣的列數多於行數，則解將不唯一。如果矩陣的行數多於列數，則複合系統的極點不能任意放置。

如果m = n - 1，則可以滿足唯一性條件。控制器的階數必須比被控物件的階數低一個階數。如果控制器的階數更高，則解將不唯一。如果控制器的階數更低，則不能任意分配所有極點。

示例：二階系統

我們給定一個系統G(s)，並被告知我們需要設計一個具有所需系統響應D(s)的跟蹤系統。G(s)和D(s)定義如下：

$G(s)={\frac {1}{s^{2}-1}}$

$D(s)=(s+2)^{3}=s^{3}+6s^{2}+12s+8$

我們的被控物件階數為n = 2，這意味著控制器必須具有階數m = 1才能得到唯一解。此外，我們期望的響應為階數n + m = 3。我們的控制器類似於PID控制器的形式

$C(s)={\frac {B_{0}+B_{1}s}{A_{0}+A_{1}s}}$

構造丟番圖方程，得到

${\begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&0&-1&1\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\12\\6\\1\end{bmatrix}}$

最後兩行給出

$A_{1}=1$

$A_{0}=6$

前兩行給了我們

$B_{0}=14$

$B_{1}=13$

最終控制器變為

$C(s)={\frac {14+13s}{6+s}}$

示例：直升機控制

以下部分摘自 ControlTheoryPro.com，經許可轉載。

極點配置是控制器設計最直接的方法。以下是使用極點配置技術設計系統的步驟：

1. 設計從假設控制器的形式開始，以便控制給定的物件。
2. 根據該假設，形成一個符號特徵方程。
3. 此時，必須確定所需的閉環極點。
4. 通常，規範會指定過沖、上升時間等。這將導致形成一個 二階方程。大多數時候，最終的特徵方程將具有兩個以上的極點。因此，必須確定額外的所需極點。
5. 一旦確定了閉環極點，就形成一個期望的特徵方程。
6. 將符號特徵方程與期望方程中每個 s 冪的係數進行等式。
7. 使用代數來確定在假設的控制器形式下實現所需閉環極點所需的控制器係數。

通常，使用積分器將穩態誤差驅動到 0。這意味著最終的特徵方程至少比非控制系統開始時的極點多一個。

以下極點配置示例將向您展示如何決定所需的閉環極點，確定“額外”的閉環極點，並建立一個通用 PID 控制器 來實現這些所需的閉環極點。

假設一個具有以下形式的二階系統：

$H(s)=K{\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}{\mbox{ for }}0\leq \zeta \leq 1$

其中

$K$ 是系統增益

$\omega _{n}$ 是系統的固有頻率

$\zeta$ 是系統的阻尼比。

此外，我們假設一個形式的補償器

[1]

$K\left(s\right)={\frac {\left(B_{0}+B_{1}s\right)}{A_{0}+A_{1}s}}$

足以控制該物件。得到的特徵方程為

$\Phi =\left(s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}\right)\left(A_{0}+A_{1}s\right)+\left(B_{0}+B_{1}s\right)\omega _{n}^{2}$.

這可以簡化為

[2a]

$\Phi =A_{1}s^{3}+\left(2A_{1}\zeta \omega _{n}+A_{0}\right)s^{2}+\left(A1\omega _{n}^{2}+2A_{0}\zeta \omega _{n}+B_{1}\omega _{n}^{2}\right)s+\omega _{n}^{2}\left(A_{0}+B_{0}\right)$

以矩陣形式表示為

[2b]

${\begin{bmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{n}^{2}&\omega _{n}^{2}&0&0\\2\zeta \omega _{n}&0&\omega _{n}^{2}&\omega _{n}^{2}\\1&0&2\zeta \omega _{n}&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\end{bmatrix}}$

此時，我們需要決定所需的閉環極點。為此，我們需要考慮系統的超調量和穩定時間（或峰值時間）。每個的方程為

$M_{p}=e^{\left({\frac {-\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}$

$\tau _{s}={\frac {4.6}{\zeta \omega _{n}}}$

$\tau _{p}={\frac {\pi }{\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

其中

$M_{p}$ 是超調量，

$\tau _{s}$ 是 1% 穩定時間，

$\tau _{p}$ 是峰值時間。

使用超調量方程，我們發現一個常用的值，$\zeta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$，僅提供 4.3% 的超調量。觀察峰值時間方程，我們可以得知，$\omega _{n}={\sqrt {2}}$ 提供了 $\pi$ 秒的峰值時間。然而，3 秒多可能太慢了。讓我們改為目標 0.5 秒。這需要

$\omega _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{0.5}}$.

回顧

• $\zeta =\zeta _{desired}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
• $\omega _{n}=\omega _{desired}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{0.5}}=8.8858$

然而，這使我們只在目標特徵方程中得到 2 個根（極點）。由於我們希望上述引數主導閉環系統動力學，因此我們選擇一個遠高於目標自然頻率的第 3 個極點。

[3]

$\left(s+a\right)\left(s^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}s+\omega _{desired}^{2}\right)$

其中

• $a=10\omega _{desired}$ 是我們的第 3 個極點。

這個第 3 個極點是一個高頻極點，它使目標極點能夠主導閉環系統響應，同時使目標特徵方程具有正確的極點數。

我們的目標特徵方程（公式 3）可以簡化為

$\Phi _{desired}\left(s\right)=s^{3}+\left(2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a\right)s^{2}+\left(\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a\right)s+a\omega _{desired}^{2}$

這將導致

$p_{3}=1$

$p_{2}=2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a$

$p_{1}=\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a$

$p_{0}=a\omega _{desired}^{2}$

從這裡，我們回到特徵方程（公式 **2a** 或 **2b**）以確定

$A_{1}=1$

$A_{0}=2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a-2\zeta \omega _{n}$

$B_{0}={\frac {\left(a\omega _{desired}^{2}-A_{0}\omega _{n}^{2}\right)}{\omega _{n}^{2}}}$

$B_{1}={\frac {\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a-2\zeta \omega _{n}A_{0}-A_{1}\omega _{n}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}$

注意事項

這種方法可能會出現一些問題。

階數不足

如果K(s)的多項式次數為m，而G(s)的多項式次數為n，那麼我們的複合系統H(s)將具有m + n的總次數。如果我們的控制器階數不夠高，我們將無法隨意分配系統中的每個極點。從狀態空間來看，我們知道無法隨意分配的極點被稱為不可控。新增階數不足的控制器會導致系統中一個或多個極點不可控。

外部連結

• ControlTheoryPro.com 網站關於極點配置的文章

控制系統

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